PROGRAMACIÓN DINÁMICA

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1 PROGRAMACIÓN DINÁMICA PERCY HUAMÁN PALOMINO * 9 de junio de 2014 Pilar fundamental de la macroeconomía moderna. Es una herramienta o técnica para resolver problemas dinámicos estocásticos; entre ellos los Modelos de Equilibrio General Dinámicos (DSGE), Modelos Bayesianos. Nos permite simplificar modelos complejos de infinitos períodos a modelos simples de dos periódos. Índice I Modelos Dinámicos 2 II Ecuación de Bellman 3 III Modelos Real Business Cycle 5 IV Referencias 7 * Economista y Administrador de Negocios: estudié Economía Avanzada en Banco Central de Reserva del Perú - BCRP, Derecho Económico en Escuela Nacional de la Competencia y Propiedad Intelectual - INDECOPI, ambos cursos de extensiones universitarias y la Licenciatura en la Universidad Nacional Federico Villarreal. Cualquier comentario y/o sugerencia a [email protected] o visite esta página arat uv ida. 1

2 Parte I Modelos Dinámicos Max J {u t+k } = β k f(x t+k, u t+k,t ) x t+1 = f(x t, u t,t ) x 0 = x 0 Donde: u t : Conjunto de variables de control. x t : Conjunto de variables de estado. u t+k ɛω Se busca determinar la trayectoria óptima de la variables de control, los cuales van a afectar a la variable de estado para maximixar la función de utilidad de agente económico. Para que la función objetivo converja en el infinito necesitamos que el factor de descuento sea menor a 1; β < 1. Veamos algunas aplicaciones: Max J {C t+k,a t+k+1 } = β k U(C t+k ) A t+1 = Y t + R t A t C t A 0 = Ā0 A: Ahorros. Y : Ingresos. C: Consumo Ω: Conjunto de números reales. Función de política C t = h(a t ) C t ɛω Función valor; Se define como el valor máximo que puede alcanzar la función objetivo, una vez que se ha elegido de manera óptima los controles desde el momento t hastael final del problema y partiendo desde el estado inicial. Para encontrar la función de política(h) necesito V (x 0 ): el cuál es valor máximo que se obtiene al resólver la siguiente expresión; { } V (x 0 ) = Max {U t+k } β k F (X t+k, U t+k,t ) V (x 0 ): Función de utilidad indirecta (función valor). Es la utilidad máxima que se obtiene al consumir los valores óptimos U(C 1, C 2 ). C i = f(p, (Y )) i=1,2 V (P, Y ) = Max {C 1,C 2} {U(C 1, C 2 )} 2

3 Ejemplo: U(C 1, C 2 ) V (P, Y ) = Max {C 1,C 2} {U(C 1, C 2 )} Y = C 1 + P C 2 La función de política C i = h(p, (Y )) i=1,2 Veamos un caso de Microeconomía: P 1 = 1, P 2 = P Max αln(x 1) + (1 α)ln(x 2 ) {x 1,x 2} Se obtiene los valores óptimos; I = p 1 x 1 + p 2 x 2 x 1 = α I p 1 x 2 = (1 α) I p 2 x i = h(p i, I) Dados estos se obtiene la Función de Utilidad Indirecta o la Función Valor: V (P, I) = αln(α I ) + (1 α)ln((1 α) I ) p 1 p 2 Parte II Ecuación de Bellman La ecuación de Bellman, también conocida como la ecuación de programación dinámica, es una condición necesaria para la optimalidad asociada con el método de optimización matemática conocida como la programación dinámica. Casi cualquier problema que se puede resolver utilizando la teoría de control óptimo también se puede resolver mediante el análisis de la correspondiente ecuación de Bellman. La ecuación de Bellman se aplicó por primera vez a la teoría de la ingeniería de control y otros temas de matemáticas aplicadas, y, posteriormente, se convirtió en una herramienta importante en la teoría económica. Una política óptima tiene la propiedad de que, cualesquiera sean el estado y las decisiones iniciales tomadas (es decir, el control), las restantes decisiones deben constituir una política óptima con independencia del estado resultante de la primer decisión. V t (X t, U t, t) = Max {U tɛω} {F (X t, U t, t) + βv t+1 (X t+1, U t+1, t + 1)} Logra convertir un problema de periódo infinito a uno de 2 periodos. T, calcular {U t+k }, nos permite determinar U tɛω. Veamos, nos piden determinar la ecuación de Euler, dado la siguiente expresión; 3

4 Max J = β k U(C t+k ) {C t+k,a t+k+1 } A t+1 = Y t + R t A t C t A 0 = Ā0 Se tiene la ecuación de Bellman; C t+k, A t+k+1 ɛω V t (C t, A t+1 ) = Max C t,a t+1 {U(C t ) + βv t+1 (C t+1, A t+2 )} Hay 2 tipos de mercado: El de dinero y de bienes y servicios. Optimizo respecto (variables de control) al ahorro (A) o al consumo(c), dado la Conclusión de Walras; en el cual: Sí(n 1) mercados esta en equilibrio, entonces el el mercado (n) también se encontrará en equilibrio. = U(c t) C t +β C t }{{} { } Vt+1 (C t+1, A t+2 ) = 0 (0.1) Donde {.} teorema de la Envolvente. Donde = 1, acontinuación optimizo la ecuación de Bellman respecto al ahorro del periódot. c t = U(c t) C t + β V t+1(c t+1, A t+2 ) A t C t A t A t Nota: Cálculo de variaciones - Optimización Libre. f(x, a) Max {x} x: Variable a: Parámetro o constante. C.P.O. f x (x, a) = 0 v(a) = f x (x, (a), a) x = x(a) v(a) a = {f x (x, (a), a)} x a + f a(x, (a), a) = f a (x, (a), a) = U(c t) C t + β V t+1(c t+1, A t+2 ) = U(c t) R t + 0 A t C t A }{{} t A t C t Iteramos un periódo la última expresión (buscamos Vt+1(Ct+1,At+2) ) y remplazamos en (1) : V t+1 (C t+1, A t+2 ) = U(c t+1) + β V t+2(c t+2, A t+3 ) = U(c t+1) R t+1 (0.2) }{{} V t+1 (C t+1, A t+2 ) = U(c t+1) R t+1 = U(c { } t) Ct = 1 C t }{{} +β { } U(ct+1 ) R t+1 = 0 (0.3) Se obtiene la ecuación de Euler: trayectoria óptima que debe seguir la variable de control (solamente la trayectoria óptima). U(c t ) C t = β U(c t+1) R t+1 4

5 La ecuación de Euler con incertidumbre U(c t ) C t = βe t { } U(ct+1 ) R t+1 E t (.): esperanza matemática dado la información hasta el periódo t ( se analiza con agentes de expectativas racionales que utilizan toda la información disponible del mercado). Parte III Modelos Real Business Cycle Considere una economía poblada por un continuo de personas de vida infinita. En un principio, cada persona está dotada de unidades k o de capital y, además, con una unidad de tiempo por periodo. Las personas buscan maximizar el flujo descontado de su utilidad periódica, donde el factor de descuento es β, 0 < β < 1 La utilidad periódica viene dada por : u(c t, l t ) = ln(c t ) + Aln(l t ), donde 0 < A, c denota el consumo periódico y la l cantidad periódica de ocio. Hay un solo bien que consigue producido por el capital, k, y h el trabajo, de acuerdo con y t = Zkt θ h (1 θ) t, 0 < θ < 1 capital se amortizará o depreciará totalmente en el proceso de producción. Hay un gobierno en esta economía. El consumo del gobierno no tiene impacto en la función de producción o de la función de utilidad. Cada período t, el gobierno consume una proporción fija γ de la producción, en la que 0 < γ < 1. El gobierno equilibra su presupuesto cada periodo con recaudación de impuestos que se sabe que son proporcionales a la producción. 1. Establezca la ecuación de Bellman para este entorno, y derivar las condiciones de primer orden y la ecuación de Euler ( s ). 2. En cuanto a la condición de primer orden para la decisión de trabajo / ocio, en qué circunstancias será esa decisión será independiente de la cantidad de capital y el nivel de tecnología, Z? 3. Utilice la condición de Euler con el fin de verificar si las circunstancias que se han identificado en 2) tienen en este caso particular. 4. Cuál es el impacto del consumo del gobierno en la oferta de trabajo? SOLUCIÓN Dotación incial k 0 ; capial inicial. Las familias desean maximizar su utilidad β t U(c t, l t ), tienen gasto en consumo p t c t y ahorran a t el cuál rinde una r t en el próximo periodo, además es una economía cerrada. Las firmas producen y t = Zkt θ h 1 θ t, donde θ es la participación de la inversión en capital en la produción final. Asumimos que se paga a los factores de producción r t y w t y además el capital se deprecia δ totalmente cada periodo. Hay un gobierno en la economía, el gasto de consumo del gobierno (como una especie de transferencias) no tiene impacto en la producción o en la función de utilidad. En cada periodo t el gobierno consume una fracción γ fija del producto y balancea su restricción presupuestaria con impuestos t 1 proporcionales al producto, G = T = γy t = t 1 Y t. Desarrollemos las ecuaciones: Función de objetivo β t U(c t, l t ) (0.4) Restricción presupuestaria (Ingresos y egresos respectivamente) Ley de movimiento de capital w t h t + r t k t + G = p t c t + i t + T (0.5) k t+1 = (1 δ)k t + i t (0.6) 5

6 Desarrolemos por dos métodos; Langrageano o Bellman, con lo cual, podemos llegar al mismo resultado. Langrageano C.P.O. l = Max β t {U(c t, l t ) + λ t (w t h t + r t k t + p t c t k t+1 + (1 δ)k t T )} Uc t = λ t p t (0.7) Uh t = λ t w t (0.8) λ t = βλ t+1 {(1 δ) + r t+1 } (0.9) Se obtienen las siguientes ecuaciones de Oferta de trabajo y la ecuación de consumo intertemporal o ecuación de Euler. ( ) ct A = w t (0.10) 1 h t p t [ ] [ ] ct pt 1 = βe t ((1 δ) + r t+1 ) (0.11) c t+1 p t+1 Veamos por Programación Dinámica, por Bellman; Definamos V t como la función valor que maximiza la función de utilidad indirecta de los agentes económicos. Donde V t (c t, k t+1 ) = MaxU(c t ) + βv t+1 (c t+1, k t+2 ) V t (c t, k t+1 ) = U(c t) c t + β V t+1(c t+1, k t+2 ) (0.12) k t+1 c t k t+1 k t+1 c t k t+1 = 1 p t V t (c t, k t+1) = U(c t) k t c t Donde ct k t = (1 δ)+rt p t, iteramos un periódo ct+1 k t Se obtiene: V t+1 (c t+1, k t+2 ) k t+1 c t + β V t+1(c t+1, k t+2 ) (0.13) k t k t = (1 δ)+rt+1 p t+1, de la misma forma toda la ecuación = U(c { } t+1) c t+1 β Vt+2 (c t+2, k t+3 ) + = 0 c t+1 k t+1 k t+1 (0.14) La ecuación 14 se remplaza en 12 y se obtiene la ecuación de Euler e igualamos a cero por ser condiciones de optimización. V t (c t, k t+1 ) = U(c t) c t + β U(c t+1) c t+1 = 0 (0.15) k t c t k t+1 c t+1 k t+1 Esta última es la misma que la ecuación 11 del Langrageano: 1. 1 = βe t [ ct c t+1 ] [ pt p t+1 ] ((1 δ) + r t+1 ) 2. La decisión óptima ( trabajo ) de las familias es independiente de la inversión en capital y del nivel c de tecnología, A t 1 h t = wt p t ; las familias ofrecen su trabajo a las empresas en el mercado dado la importancia que le da al ocio, nivel de consumo y a su poder adquisitivo. 3. La ecuación de Euler es un caso particular [ ] [ cuando ] el capital se deprecia totalmente, la expresión c queda de la siguiente forma: 1 = βe t pt t c t+1 p t+1 (r t+1 ), por lo tanto todo el nivel de ahorro cada año se destina a la invesión en capital, se reemplaza cada periódo. 4. El impacto del gasto de gobierno (como un transferencia) no tiene impacto en la decisión de trabajo de las familias, dado que es amortiguado completamente por el impuesto en la misma magnitud. Donde la política del gobierno mantener un presupuesto equilibrado (T = G, además t 1 = γ) 6

7 Parte IV Referencias Sargent(1987). Stockey y Lucas(1987). Notas de Clases BCRP, UNI, LAMBDA. 7