Técnicas de optimización. Introducción.

Transcripción

1 Técnicas de optimización. Introducción. Diego A. Patino Pontificia Universidad Javeriana 18 de julio de / 20

2 Definición Composición Tipos de problemas Ejemplos 2/ 20

3 Qué es optimización? 3/ 20

4 Qué es optimización? Solución de un cubo Rubiks Distribución de energía en una red a partir de un generador y de acuerdo con el costo Problema de cartera (Bolsa de valores) 3/ 20

5 Qué es optimización? Algunos otros problemas que podemos responder Cuál es la figura geométrica que puede abarcar más área? Cuales son los valores R, L y C en un circuito para obtener la máxima transferencia de potencia? Cuál es la curva que permite que una partícula se mueva de un punto a otro en tiempo mínimo? Cómo diseñar estructuras de aeronaves para que tengan un peso mínimo? 4/ 20

6 Qué es optimización? Algunos otros problemas que podemos responder Cuál es la figura geométrica que puede abarcar más área? Cuales son los valores R, L y C en un circuito para obtener la máxima transferencia de potencia? Cuál es la curva que permite que una partícula se mueva de un punto a otro en tiempo mínimo? Cómo diseñar estructuras de aeronaves para que tengan un peso mínimo? La optimización es un conjunto de métodos utilizados para la toma de decisiones. 4/ 20

7 Definición Un problema de optimización requiere poder expresar un costo como una función matemática f(x). La optimización busca el máximo o el mínimo de esta función. 30 mín{f(x)} = máx { f(x)} x R x R Problema: Minimizar f(x) sobreromáximizar f(x) sobre R Valor optimo de X, minimo de f(x) Valor optimo de X, maximo de f(x) / 20

8 Definición Un problema de optimización requiere poder expresar un costo como una función matemática f(x). La optimización busca el máximo o el mínimo de esta función. 30 mín{f(x)} = máx { f(x)} x R x R Problema: Minimizar f(x) sobreromáximizar f(x) sobre R Valor optimo de X, minimo de f(x) Valor optimo de X, maximo de f(x) Optimización es la minimización de una función f(x). 5/ 20

9 Definición Un problema de optimización requiere poder expresar un costo como una función matemática f(x). La optimización busca el máximo o el mínimo de esta función. 30 mín{f(x)} = máx { f(x)} x R x R Valor optimo de X, minimo de f(x) Problema: Minimizar f(x) sobreromáximizar f(x) sobre R Valor optimo de X, maximo de f(x) Optimización es la minimización de una función f(x). Optimización=programación matemática investigación de operaciones. 5/ 20

10 1947: Método simplex (Dantzig). 1951: Condiciones de Kuhn Tucker (Kuhn y Tucker). 1957: Programación dinámica (Bellman). Algo de historia Cálculo de variaciones Cálculo diferencial Análisis convexo Metodos computacionales 1960: Programación no lineal (Zoutendijk y Rosen). Mitad del siglo 20, la optimización avanza gracias a los computadores. 1994: Teoría de juegos (Nash). Últimos 20 años: Algoritmos genéticos y redes neuronales. 6/ 20

11 Composición Encontrar X {x 1,x 2,...,x n } tal que minimice f(x,ξ) sujeto a las restricciones g j (X) < 0, j = 1,2,...,m l j (X) = 0, j = 1,2,...,p 7/ 20

12 Composición Encontrar X {x 1,x 2,...,x n } tal que minimice f(x,ξ) sujeto a las restricciones g j (X) < 0, j = 1,2,...,m l j (X) = 0, j = 1,2,...,p Un problema de optimización está compuesto por: Conjunto de variables de diseño o de decisión X con sus dominios {x 1,x 2,...,x n }. Parámetros ξ. Restricciones de desigualdad g j (X). Restricciones de igualdad l j (X). Función objetivo o de costo f(x,ξ). 7/ 20

13 Composición Las variables de diseño deben tener un conjunto admisible y éste se encuentra de acuerdo con la física del problema. A este conjunto se le denomina espacio de la variable de diseño o espacio de diseño. Las restricciones que reflejan ciertos requerimientos de diseño se les denomina restricciones de diseño. Las restricciones que representan las limitaciones físicas se les denomina restricciones geométricas. 8/ 20

14 Ejemplo: Composición Considere un problema de diseño de un sistema de engranajes, considere la distancia d fija, el ángulo de presión y los materiales conocidos. Encuentre los componentes del problema. 9/ 20

15 Composición Supongamos restricciones de la forma g j (X) 0. x 2 g 3 = 0 g 2 = 0 g 4 = 0 g 5 = 0 g 1 = 0 x 1 10/ 20

16 Composición Supongamos restricciones de la forma g j (X) 0. x 2 Punto inaceptable g 3 = 0 g 2 = 0 Punto libre g 4 = 0 Punto limite aceptable g 5 = 0 g 1 = 0 Punto limite inaceptable x 1 11/ 20

17 Composición Acerca de la función objetivo: Depende del criterio de diseño que se desee minimizar o maximizar. Puede representar múltiples criterios. Cómo? Se debe escoger adecuadamente para que el problema tenga solución y tenga sentido. Un problema de optimización se puede resolver fácilmente de manera gráfica (cuando es posible) con la ayuda de las curvas de nivel de la función objetivo. 12/ 20

18 Composición Ejemplo: Encontrar el valor de X = [x 1,x 2 ] T que soluciona el problema de optimización: mín x 1,x 2 2x 1 x 2 s.t. x x 2 4 x 1 +x 2 2 2x 1 3 x 1 0,x / 20

19 Clasificación de los problemas de optimización Basada en la existencia de restricciones. Con restricciones. Sin restricciones. Basada en la naturaleza de las variables de diseño: Encontrar parámetros. Encontrar funciones. Basada en la estructura física del problema: Problemas de control óptimo. Problemas de control no óptimo o cuasi-óptimo. Basada en la naturaleza de las ecuaciones. Programación lineal. Programación no lineal. Programación cuadrática. Programación geométrica. 14/ 20

20 Clasificación de los problemas de optimización Basada en el conjunto de las variables de diseño. Programación entera. Programación real. Basada en la aleatoreidad de las variables. Programación deterministica. Programación estocástica. Basada en el número de funciones objetivos Mono-objetivo. Multi-objetivo. 15/ 20

21 El problema de transporte Ejemplo: Cierto producto debe enviarse en determinadas cantidades u 1,...,u m desde cada uno de los m orígenes, y recibirse en cantidades v 1,...,v n en cada uno de los n destinos. El problema consiste en determinar las cantidades x ij que deben enviarse desde el origen i al destino j para minimizar el costo del envío. Plantear el problema de optimización. De que tipo de problema se trata según la clasificación anterior? 16/ 20

22 El paquete postal Un paquete postal es una caja de dimensiones x, y y z. Suponga que se tiene un requerimiento que la altura más el perímetro de la base no puede exceder 108 cm. Formular el problema de optimización si se busca maximizar el volumen del paquete. Determine el tipo de problema de optimización. 17/ 20

23 Problema de manufactura Una empresa fabrica dos productos, A y B usando dos materiales diferentes y limitados por unidades. La máxima cantidad de material disponible por día es de 1000 y 250 unidades, respectivamente. La producción de 1 u. del producto A requiere 1 u. del material 1 y 0,2 u. del material 2. La producción de 1 u. de B requiere 0,5 u. del material 1 y 0,5 u. del material 2. El costo por u. del material 1 y 2 es 0,375 0,00005u 1 y 0,76 0,0001u 2 respectivamente, donde u i denota el número de unidades del material usado i. Los precios de venta de A y B, p A y p B son: p A = 2 0,0005x A 0,00015x B p B = 3,5 0,0002x A 0,0015x B x A y x B es el número de productos A y B vendidos. Formular el problema de maximización de la rentabilidad asumiendo que la empresa puede vender todas las unidades que fabrica. 18/ 20

24 Problema de carga Un camión lleva artículos de 5 tipos diferentes. El peso w i, volumen v i y el valor monetario c i de cada tipo de artículo para la venta está dado por la siguiente tabla: Tipo w i [Kg] v i [m 3 ] c i Encontrar el número de artículos de cada tipo x i (i = 1,2,3,4,5) para que el valor monetario de la carga sea el máximo. El peso total no puede exceder 2000Kg y el volumen 2500m 3 respectivamente. 19/ 20

25 Problema de flujo en una red Considerese una red de transporte a través de la cual desea mandarse un producto homogéneo desde ciertos puntos de la red, llamados nodos fuente, hasta otros nodos de destino, llamados sumideros. Además de estas dos clases de nodos, la red puede contener nodos intermedios, donde no se genera ni se consume el producto que está fluyendo por la red. Se desea minimizar el costo de transporte del producto. Formular el problema de optimización / 20