Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos
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- Isabel Aguilera Castellanos
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1 Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Teoría Macroeconomica III Universidad Autoónoma de Madrid Octubre 2010 Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
2 1 Sumario 2 El agente representativo en 2 períodos Restricción presupuestaria Preferencias Problema de Decisión del Agente 3 Solución Completa Decisión de Consumo (dado x) Condiciones Optimas del Trabajo Elasticidad de Sustitución Intertemporal del Trabajo Hechos Estilizados (EE.UU.) Decisiones de Consumo y Trabajo en 2 Períodos Decisión de Consumo en 2 Períodos Oferta de Trabajo en 2 Períodos Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
3 Sumario En el Tema 3, analizamos el problema de un agente que vivía dos períodos y decidía cuánto consumir en cada uno. Para simplificar la exposición asumimos que el nivel de ingreso en cada período era exógeno. En esta sección vamos a endogeneizarlo. En particular, supondremos que un agente puede obtener un salario w 1 en el primer período y un salario w 2 en el segundo. Dados los salarios y la tasa de interés R, el agente decide cuánto consumir y cuánto trabajar en cada período. Es decir, elige c 1, c 2, l 1 and l 2. Por el momento, continuaremos ignorando el problema de las empresas y tomaremos w 1 y w 2 como dados. También ignoraremos el dinero. Es decir, todos los precios son en términos reales. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
4 Restricción presupuestaria Denotemos los salarios en los períodos 1 y 2 con w 1 y w 2, y la tasa de interés (exógena) entre dos períodos con R. La restricción presupuestaria en el primer período es y en el segundo período c 1 + b 1 = w 1 l 1, (1) c 2 = w 2 l 2 + (1 + R)b 1. (2) Nótese que la única diferencia entre las notas de clase anteriores y éstas es que ahora tenemos w 1 l 1 y w 2 l 2, en lugar de y 1 e y 2. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
5 Restricción presupuestaria Al igual que antes, podemos simplificar estas dos restricciones y obtener una única restricción. De (1), obtenemos reemplazándola en (2), Lo cual se puede escribir como b 1 = w 1 l 1 c 1, c 2 = w 2 l 2 + (1 + R)(w 1 l 1 c 1 ). c R + c 1 = w 1 l 1 + w 2l R. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
6 Restricción presupuestaria Restricción presupuestaria c R + c 1 = w 1 l 1 + w 2l R. La interpretación es análoga al caso anterior: el agente tiene un ingreso w 1 l 1 en el primer período, y w 2 l 2 en el segundo. Entonces, w 2l 2 1+R representa el valor actual de la renta futura (en el segundo período). Dados los recursos totales de los que dispone el individuo a lo largo de su vida, w 1 l 1 + w 2l 2 1+R, decide cuánto consumir en cada período teniendo en cuenta el tipo de interés. 1 Recordemos que 1+R representa el precio relativo de bienes en el segundo período. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
7 Preferencias Tenemos que especificar las preferencias del individuo como función de cuatro variables: c 1, c 2, l 1 y l 2. Al igual que antes, asumiremos que las preferencias son separables: U(c 1, l 1, c 2, l 1 ) = u(c 1 ) + v(1 l 1 ) + β[u(c 2 ) + v(1 l 2 )], donde c representa el nivel de consumo y 1 l el nivel de ocio. Cada agente cuenta con 1 unidad de tiempo en cada período. Nótese que el agente descuenta tanto el consumo en el segundo período como el ocio. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
8 Preferencias Supondremos que la utilidad marginal del consumo en cada período es positiva U(c 1, l 1, c 2, l 1 ) c 1 > 0 and U(c 1, l 1, c 2, l 1 ) c 2 > 0. y que la utilidad marginal es decreciente en el consumo, 2 U(c 1, l 1, c 2, l 1 ) (c 1 ) 2 < 0 and 2 U(c 1, l 1, c 2, l 1 ) (c 2 ) 2 < 0, La utilidad marginal del trabajo es negativa, U(c 1, l 1, c 2, l 1 ) l 1 < 0 and U(c 1, l 1, c 2, l 1 ) l 2 < 0, ya que a los agentes no les gusta trabajar. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
9 El problema de optimización El problema del agente es max u(c 1 ) + v(1 l 1 ) + β[u(c 2 ) + v(1 l 2 )] c 1,c 2,l 1,l 2 sujeto a c R c 2 = w 1 l R w 2l 2 Para resolver este problema utilizaremos el Lagrangiano. max {u(c 1 ) + v(1 l 1 ) + β[u(c 2 ) + v(1 l 2 )] c 1,c 2,l 1,l 2 donde λ es el multiplicador. + λ[w 1 l R w 2l 2 c R c 2]}, (3) Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
10 Las condiciones de primer orden Hay cuatro condiciones de primer orden: c 1 : u (c 1 ) λ = 0, c 2 : βu (c 2 ) λ R = 0, l 1 : v (1 l 1 ) + λw 1 = 0, l 2 : βv (1 l 2 ) + λ w R = 0. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
11 La decisión de consumo intertemporal Note que de las dos primeras CPO (correspondientes a c 1 and c 2 ), podemos obtener u (c 1 ) = u (c 2 ) β(1 + R), }{{}}{{} CM BM lo cual iguala el beneficio y coste de ahorrar una unidad extra. Esta condición es exactamente igual a la que obtuvimos la clase pasada. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
12 La oferta de trabajo Dado que la 1ra CPO implica que u (c 1 ) = λ, podemos reescribir la 3ra CPO (correspondiente a l 1 ) así L l 1 = v (1 l 1 ) + λw 1 = 0 v (1 l 1 ) }{{} CM = u (c 1 ) w 1 }{{} BM Lo cual indica que un aumento del salario en el primer período se corresponde con una disminución del ocio en el mismo período. y la 4ta ecuación (correspondiente a l 2 ) de la siguiente manera L = βv (1 l 2 ) + λ w 2 l R = 0 ( βv (1 l 2 ) }{{} CM = βu (c 2 )w 2 }{{} BM = u (c 1 ) w R ) Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
13 Oferta de Trabajo Intertemporal Ahora tenemos que encontrar l 1 y l 2 Podemos reescribir la 3ra CPO (correspondiente a l 1 ) así L l 1 = v (1 l 1 ) + λw 1 = 0 λ = v (1 l 1 ) w 1 y la 4ta ecuación (correspondiente a l 2 ) de la siguiente manera L l 2 = βv (1 l 2 ) + λ w R = 0 λ = βv (1 l 2 ) (1 + R) w 2. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
14 Oferta de Trabajo Igualando las dos ecuaciones obtenemos Lo cual puede reescribirse como v (1 l 1 ) w 1 = βv (1 l 2 ) (1 + R) w 2.. v (1 l 1 ) v (1 l 2 ) = β(1 + R)w 1 w 2. (4) Esta relación es clave para determinar su elección de trabajo en cada período (o a lo largo de la vida). Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
15 Utilidad Logarítmica Ahora veamos el caso general, donde el agente trabaja y obtiene ingresos en ambos períodos En este caso el problema es max {ln c 1 + ln(1 l 1 ) + β (ln c 2 + ln(1 l 2 )) c 1,c 2,l 1,l 2 + λ[wl R wl 2 c R c 2]}. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
16 Condiciones de Primer Orden Las cuatro CPO s: c 1 : 1 c 1 λ = 0, (5) c 2 : β 1 c 2 λ R = 0, (6) l 1 : 1 1 l 1 + λw 1 = 0, (7) l 2 : β 1 1 l 2 + λ w R = 0. (8) Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
17 Las decisiones de consumo Note que de las dos primeras CPO (correspondientes a c 1 and c 2 ), podemos obtener 1 c 1 }{{} CM = 1 β(1 + R), c } 2 {{} BM lo cual iguala el beneficio y coste de ahorrar una unidad extra. Esto nos da una relación entre consumo presente y futuro, c 2 = β(1 + R)c 1. (9) esta condición es exactamente igual a la que obtuvimos la clase pasada. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
18 Las decisiones óptimas (dado x) Nuevamente, denotemos el valor actual de la renta a lo largo de la vida con x, x = w 1 l 1 + w 2l R, Dado x, tenemos o También sabemos que, c R + c 1 = x. (1 + β)c 1 = x = c 1 = x 1 + β. c 2 = c 1 β(1 + R) = β x(1 + R). 1 + β Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
19 Las decisiones óptimas de consumo (dado x) Las decisiones óptimas de consumo son c 1 = x 1 + β c 2 = β x(1 + R) 1 + β Nótese que, si tomásemos a x como dado, éstas serían exactamente iguales a las decisiones de consumo de la clase anterior. Podemos concluir que introducir la elección de oferta de trabajo no modifica las decisiones de consumo. La oferta de trabajo determina x (como veremos mas adelante), y una vez que x está determinado, el agente decidirá en que momento consumir. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
20 La decisión de ahorro (dado x) Como tenemos que b 1 = w 1 l 1 c 1 = w 1 l 1 = w 1 l 1 w 1l 1 + w 2l 2 1+R 1 + β = β 1 + β b 1 = w 1 l 1 c 1, c 1 = x 1 + β x 1 + β [ w 1 l 1 w 2l 2 β(1 + R) = (1 + β)(w 1l 1 ) w 1 l 1 w 2l 2 1+R 1 + β Obviamente, la decisión de ahorro es idéntica a la de la clase anterior dado x. ]. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
21 Condiciones Optimas del Trabajo Ahora tenemos que encontrar l 1 y l 2 Podemos reescribir la 3ra CPO (correspondiente a l 1 ) así L = 1 + λw 1 = 0 l 1 1 l 1 1 λ = w 1 (1 l 1 ) y la 4ta ecuación (correspondiente a l 2 ) de la siguiente manera L = β 1 + λ w 2 l 2 1 l R = 0 β(1 + R) λ = w 2 (1 l 2 ). Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
22 Condiciones Optimas del Trabajo Igualando las dos ecuaciones obtenemos Lo cual puede reescribirse como 1 β(1 + R) = w 1 (1 l 1 ) w 2 (1 l 2 ). 1 l 1 1 l 2 = 1 w 2. (10) (1 + R)β w 1 Al igual que c 2 = c 1 β(1 + R), esta relación es clave para determinar su elección de trabajo en cada período. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
23 Condiciones Optimas del Trabajo Primero, notemos que ( ) 1 l1 1 l 2 ( w2 w 1 ) > 0. Con lo cual, cuando el salario relativo w 2 w 1 aumenta, 1 l 1 1 l 2 también lo hace. El agente decide consumir relativamente menos ocio en el segundo período. Tiene sentido? Si el salario en el segundo período es relativamente alto, el individuo prefiere trabajar más en ese período. Esto provoca una disminución en la demanda del ocio en t = 2. El coste de oportunidad del ocio esta dado por el salario que deja de percibir el agente al no trabajar. Incrementos en w 2 hacen el ocio mas costoso en el segundo período. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
24 Condiciones Optimas del Trabajo Tambien notemos que ( ) 1 l1 1 l 2 (1 + R) < 0. con lo cual, al aumentar 1 + R, el ratio 1 l 1 1 l 2 disminuye. Si el tipo de interés aumenta, el agente demanda relativamente mas ocio en el segundo período. Tiene sentido? Cuando el tipo de interés es alto, el consumo futuro se hace mas barato. Esto induce a los agentes a trabajar mas en el presente y ahorrar para el futuro. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
25 Elasticidad de Sustitución Intertemporal del Trabajo Utilizando (10), podemos calcular la elasticidad [( 1 l1 1 l 2 )] ( 1 l1 1 l 2 ) [( w2 w 1 )] ( w2 w 1 ) [( )] ( ) = 1 l1 w2 1 l 2 w 1 [( )] ( ), w2 1 l1 w 1 1 l 2 la cual nos indica cuánto ocio presente están dispuestos a sustituir los agentes por ocio futuro ante un cambio en el salario relativo. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
26 Elasticidad de Sustitución Intertemporal del Trabajo Primero, notemos que con lo cual [( 1 l1 1 l 2 )] [( w2 w 1 )] [( 1 l1 1 l 2 )] [( w2 w 1 )] = ( w2 w 1 ) ( 1 l1 1 l 2 ) = 1 (1 + R)β, 1 (1 + R)β ( ) w2 w 1 1 w 2 (1+R)β w 1 = 1. Con preferencias logarítmicas, la elasticidad es igual a 1. Si ( aumenta 1%, entonces 1 l1 1 l 2 )también va a aumentar en 1%. ( ) w2 w 1 Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
27 W eekly hours worked Horas Trabajadas (USA 2000)) Age Men Women Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
28 Hourly W age Salario Medio por Hora (USA 2000) Age Men Women Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
29 Hourly W age Horas Trabajadas y Salario Medio por Hora (USA 2000) Male Female Age Hourly wage Weekly hours worked Graphs by Sex Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
30 Hourly W age Horas Trabajadas y Salario Medio por Hora (Mujeres-USA 2000) Never married Ever married Age Hourly wage Weekly hours worked Graphs by evermar Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
31 (mean) hourwage Salario horario por Nivel de Educación (USA 2000) Age Less HS HS Some college College + Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
32 (mean) uhrswork Horas Trabajadas por Nivel de Educación (USA 2000) Age Less HS HS Some college College + Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
33 Mean houly wage Salario y Horas Trabajadas por Nivel de Educación (USA 2000) Less HS HS Some College College Age Hourly Wage Weekly Hours of work Graphs by educ Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
34 Horas Trabajadas y Salario Medio (Histórico Anual) Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
35 Tendencias en Horas Trabajadas Cambio Porcentual Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
36 Participación Laboral Femenina y trabajo en el Hogar Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
37 Volviendo a las CPO La CPO para l 1 (7) es Y CPO para c 1 (5) tenemos Esto implica que Entonces 1 1 l 1 + λw 1 = 0. 1 c 1 = λ. 1 1 l 1 = 1 c 1 w 1. c 1 = w 1 w 1 l 1 = w 1 l 1 = w 1 c 1. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
38 Decisión de Consumo en 2 Períodos De CPO para l 2 (8), obtenemos Entonces, o β 1 1 l 2 + λ w R = 0. β 1 1 l 2 = 1 c 1 w R. c 1 β(1 + R) = w 2 w 2 l 2, w 2 l 2 = w 2 c 1 β(1 + R) = w 2l R = w R c 1β. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
39 Decisión de Consumo en 2 Períodos Como Tenemos w 2 l R = w R c 1β. como sabemos que c 1 = x = w 1 l 1 + w 2l R = w 1 c 1 + w R c 1β. x 1+β, obtenemos c 1 = w 1 c 1 + w 2 1+R c 1β, 1 + β o bien (1 + β)c 1 = w 1 c 1 + w R c 1β, Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
40 Decisión de Consumo en 2 Períodos o bien Ello implica (1 + β)c 1 = w 1 c 1 + w R c 1β, (1 + β)c 1 + c 1 + c 1 β = w 1 + w 2 (1 + R), c 1 = [ 1 w 1 + w ] 2. 2(1 + β) (1 + R) El consumo en el segundo período es igual, c2 1 = c 1 β(1 + R) = β(1 + R) 2(1 + β) [ w 1 + w ] 2 (1 + R) Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
41 Oferta de Trabajo en el Primer Período Podemos también despejar l 1, como sabemos que w 1 l 1 = w 1 c 1, o bien w 1 l 1 = w 1 c 1 1 = w 1 2(1 + β) w 1 l 1 = w 1 [1 l 1 = ] 1 2(1 + β) [ w 1 + w ] 2 (1 + R) 1 2(1 + β) 1 + 2β 2(1 + β) 1 1 w 2. 2(1 + β) 1 + R w 1 w 2 (1 + R) Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
42 Oferta de Trabajo en el Segundo Período Finalmente, como wl 2 = w c 1 β(1 + R), o w 2 l 2 = w 2 c 1 β(1 + R) [ β(1 + R) = w 2 w 1 + w ] 2 2(1 + β) (1 + R) β(1 + R) 1 β(1 + R) = w 2 [1 ] 2(1 + β) 1 + R 2(1 + β) w 1. l 2 = 2 + β β(1 + R) w 1. 2(1 + β) 2(1 + β) w 2 Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
43 Caso especial Supongamos β = 1 and R = 0 El consumo satisface c 1 = 1 2(1 + β) Las ofertas de trabajo, y l 1 = [ w 1 + w ] 2 = 1 (1 + R) 4 [w 1 + w 2 ] = c β 2(1 + β) 1 w 2 = 3 4 1, 4 w 1 l 2 = 2 + β 2(1 + β) w 1 = w 2 2(1 + β) 1 w R w 1 β(1 + R) w 1 2(1 + β) w 2 Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43
44 Caso especial Dadas las ofertas de trabajo, tenemos x = w 1 l 1 + w 2 l 2 = w 1 ( w 2 w 1 ) ( 3 + w = w w 2 + w w 1 = 1 2 (w 1 + w 2 ) del cual el agente consume la mitad cada período. w 1 w 2 Supongamos por el momento que w 2 = w 1, entonces tenemos l 1 = l 2 = 1 2. Con lo cual el agente trabaja la misma cantidad de tiempo en ambos períodos. Teoría Macroeconomica III (UAM) Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos Octubre / 43 )
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