PRIMERA HOJA DE EJERCICIOS. Considere el Modelo de Crecimiento Neoclásico visto en clase con las siguientes formas funcionales:

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1 MACROECONOMIA DINAMICA I Instituto Tecnológico Autónomo de México Profesor: Carlos Urrutia PRIMERA HOJA DE EJERCICIOS Pregunta 1 Considere el Modelo de Crecimiento Neoclásico visto en clase con las siguientes formas funcionales: u(c t ) = log (c t ) f(k t ) = Ak α t en donde A > 0 y α < 1 son parámetros dados. Para esta economía: a) Defina un Equilibrio Competitivo; b) Caracterize lo mejor posible el Equilibrio Competitivo (halle la ecuación de Euler, etc.); c) Defina R t r t +(1 δ). Usando las condiciones de primer orden del problema de maximización del consumidor más la siguiente condición de transversalidad: ( t ) 1 muestre que en equilibrio: c t = (1 β) lim t { R t k t + R j=1 j k t+1 [( l l=t 1 R j=t+1 j Dé una interpretación económica de este resultado; y ) w l ]} d) Halle los valores en estado estacionario para k, c, y, r, w y la tasa de ahorro s.

2 Para los siguentes incisos, asuma que la depreciación es completa (δ = 1): e) Escriba el problema del planificador social usando el lenguage recursivo (tienen que especificar el espacio de estados, la función de retorno, etc.) ; f) Resuelva analíticamente el problema del planificador social recursivo iterando la función de valor de la siguiente manera: partiendo de v o (k) = 0, encuentre recursivamente expresiones para v 1 (k), v 2 (k),..., y construya v (k) = lim v n (k). Cuales son las reglas de decisión óptimas para el consumo y la n inversión asociadas a esta función de valor? Los últimos incisos no requieren resolver nada en Matlab, pueden hacerse facilmente en Excel o eventualmente hasta con una calculadora: g) Dados los siguientes valores para los parámetros: α = 0.3 β = 0.95 A = 1 Usando las reglas de decisión óptimas halladas en el inciso (f), y partiendo de k 0 = 0.5k, grafique la trayectoria de equilibrio (transición al estado estacionario) para k t y c t ; h) En base a los resultados anteriores, grafique las trayectorias para c t, y t, r t, w t, la tasa de ahorro s t y la tasa de crecimiento de y t ; y i) Partiendo del estado estacionario del modelo, analice numéricamente el efecto de corto y largo plazo en las variables c t, y t, r t, w t, s t de un aumento en la productividad, de A = 1 a A = 2. En cuanto tiempo el capital corta en dos la distancia entre su nivel inicial y el nuevo estado estacionario? 2

3 Pregunta 2 Considere una versión del Modelo de Crecimiento Neoclásico con decisión trabajo-ocio (y n = 0). La función de utilidad del agente representativo está dada por: U 0 = β t u (c t, 1 l t ) t=0 en donde l t denota la fracción de la dotación de tiempo destinada al mercado de trabajo (luego, 1 l t es el ocio). Asuma que u es continua, estríctamente creciente y estríctamente cóncava. El agente representativa maximiza su utilidad sujeto a la restricción presupuestaria: c t + i t = w t l t + r t k t y a la ley de movimiento del capital usual. La empresa representativa maximiza beneficios sujeta a una tecnología descrita por las función: Y t = F (K t, L t ) que asumimos continua, estríctamente cóncava y con rendimientos a escala constantes. a) Defina un equilibrio competitivo recursivo para esta economía; b) Defina el problema del planificador social para esta economía usando el lenguage recursivo (tienen que especificar el espacio de estados, la función de retorno, etc.); c) Verifique que los supuestos necesarios para usar el Teorema de la Contracción se cumplen; d) Escriba un algoritmo que implemente el método de iteración de la función de valor para resolver el problema del planificador social recursivo. No necesitan escribir un programa en Matlab, pero sí una explicación detallada de cada paso. 3

4 Pregunta 3 Considere ahora una versión del Modelo de Crecimiento Neoclásico con dos sectores. La familia representativa maximiza una función de utilidad intertemporal logarítmica (que depende sólo del consumo) sujeto a la restricción presupuestaria: C t + q t I t = w t L + r t K t en donde q t es el precio relativo del bien de inversión, y a la ley de movimiento del capital usual. La empresa representativa productora del bien de consumo maximiza beneficios sujeta a una tecnología descrita por las función: Y c t = θ (K c t ) α (L c t) 1 α con θ > 0 y 0 < α < 1. De otro lado, la empresa productora de bienes de inversión no usa capital (solo trabajo) y maximiza beneficios sujeta a la tecnología lineal: Y i t = φl i t En equilibrio, debe cumplirse que L c t + L i t = L. a) Usando variables por trabajador (i.e. c t = C t /L), defina un Equilibrio Competitivo para esta economía. b) Caracterize lo mejor posible el Equilibrio Competitivo. c) Encuentre los valores de estado estacionario de k, c, i, l c y q. d) Definiendo el PIB como y t c t + q t i t, y la tasa de ahorro como s t q t i t /y t, encuentre los valores de estado estacionario de y y s. Cómo se ven afectados estos valores si aumenta la productividad del sector productor de bienes de inversión (φ )? 4

5 Pregunta 4 Considere el siguiente modelo con bienes duraderos. La familia representativa maximiza su utilidad esperada: β t [u (c t ) + γv (d t )] t=0 donde c t representa el consumo del único bien de la economía y d t el stock de bienes duraderos (i.e., carros, televisores, etc.). Ambas funciones u y v son continuas, crecientes y cóncavas. El stock de duraderos evoluciona de acuerdo a: d t+1 = d t + i d t donde i d t representa las compras de bienes duraderos en t (estos bienes no se deprecian). La familia es además dueña del capital, que evoluciona de acuerdo a: k t+1 = (1 δ) k t + i t De otro lado, tenemos una firma representativa que produce el único bien usando la función de producción con rendimientos a escala constantes: y t = F (k t, 1) = f (k t ) Por simplicidad, suponga que no hay cambio técnico exógeno ni crecimiento de la población. a) Defina un equilibrio competitivo secuencial para esta economía; b) Defina el problema del planificador social y caracterize la solución del mismo; c) Escriba el problema del planificador social usando el lenguaje recursivo; y d) Describa brevemente un algoritmo para resolver numéricamente el problema del planificador social. 5

6 Pregunta 5 [Modelo de Barro, 1990] : Considere el siguiente modelo de crecimiento, en donde el gasto del gobierno entra en la función de producción (en forma intensiva) de la siguiente manera: f(k t ) = k α t g 1 α t El gasto de gobierno es financiado mediante un impuesto a los retornos del capital: g t = τr t k t Asuma por simplicidad una función de utilidad logarítmica, y que no hay crecimiento de la población ni progreso técnico. a) Defina un Equilibrio Competitivo para esta economía; b) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo; c) Muestre que NO existe un estado estacionario para este modelo (Ayuda: muestre que, en cierto sentido, este modelo es similar al modelo Ak visto en clase); d) Encuentre la tasa de crecimiento de largo plazo de la economía como función del valor del impuesto τ; y e) Encuentre el valor de τ que maximiza la tasa de crecimiento de largo plazo de la economía. Pregunta 6 [Modelo de Jones, 1999] Considere el modelo de crecimiento endógeno con externalidades de Romer, pero con dos cambios importantes. Primero, suponga que la función de producción de la empresa i es F (K i t, K t L i t) = ( K i t) α ( Kt L i t con φ < 1 α. Segundo, suponga que la población crece a la tasa constante n > 0, luego L t+1 = (1 + n) L t. a) Usando variables por trabajador, defina un Equilibrio Competitivo para esta economía; 6 ) φ

7 b) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo; c) Considere una senda de crecimiento balanceado en la cual las variables por trabajador c t, i t, k t, crecen a la misma tasa g. Encuentre esa tasa de crecimiento g como función de los parámetros α, φ y n. Depende esta tasa de crecimiento g del tamaño inicial de la población L 0? Suponga ahora que el gobierno implementa un subsidio s a la inversión, financiado mediante un impuesto de suma fija cobrado al consumidor representativo. d) Usando variables por trabajador, defina un Equilibrio Competitivo para esta economía; e) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo; f) Considere una Senda de Crecimiento Balanceado en la cual las variables por trabajador c t, i t, k t, crecen a la misma tasa g. Encuentre esa tasa de crecimiento. Depende del valor del subsido s? Pregunta 7 [Modelo de Rebelo, 1991] Considere el modelo de dos sectores que analizaron en la Pregunta 3, pero en el cual la función de producción del sector de bienes de inversión es ahora lineal en el capital Y i t = φk i t (este modelo se conoce también como el modelo Ak de dos sectores). a) Usando variables por trabajador, defina un Equilibrio Competitivo para esta economía; b) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo; c) Considere una senda de crecimiento balanceado en la cual el consumo por trabajador c t crece a una tasa constante g c y el capital por trabajador crece a una tasa también constante, pero diferente, g k. Encuentre esas tasas de crecimiento como función de los parámetros φ, β, α, δ. d) En la senda de crecimiento balanceado descrita en (c), a qué tasa crece (o decrece) el precio del bien de inversión relativo al del consumo q t? A qué tasa crece el PIB? Qué sucede con la tasa de inversión I/Y? 7

8 Pregunta 8 Considere un modelo simple de crecimiento con investigación y desarrollo. El planificador social maximiza la utilidad intertemporal del agente representativo: β t log t=0 sujeto a la condición de factibilidad ( Ct L t ) C t + I t = A t (K t ) α (L y t ) 1 α (en donde L y t es la cantidad de trabajadores en el sector productor de bienes), la ley de movimiento del capital habitual la ley de movimiento de la tecnología K t+1 = (1 δ) K t + I t A t+1 = A θ t L A t (en donde L A t es la cantidad de trabajadores en el sector de investigación y desarrollo y θ es un parámetro) y la condición de cierre L y t + L A t = L t La idea del modelo es que dedicando recursos (en este caso, trabajo) a la investigación se puede mejorar la tecnología de mañana. Sin embargo, ésto implica dedicar menos recursos a producir bienes hoy. Por simplicidad, no hay crecimiento de la población, luego L t = L. a) Usando variables per-cápita, escriba el problema del planificador social y encuentre las condiciones de primer orden. Caracterice la solución del problema del planificador como un sistema de ecuaciones en diferencia; b) Muestre que si θ = 0 el modelo es consistente con un estado estacionario, en el cual c t, k t, A t y la fracción l y t son constantes. Por qué se agota el crecimiento en este caso? 8

9 c) Muestre ahora que si θ = 1 el modelo es consistente con una senda de crecimiento balanceado, en la cual las tasas de crecimiento g c, g k, g A y la fracción l y t son constantes (aunque no necesariamente iguales). Encuentre esas tasas de crecimiento y muestre que dependen positivamente del tamaño de la población L. Por qué hay efectos de escala en este modelo? d) Intente descentralizar la solución eficiente para un valor general de θ. [Sólo les pido que escriban una definición de equilibrio competitivo que sea consistente con el problema del planificador social analizado anteriormente. No tienen que resolver el equilibrio ni demostrar los teoremas del bienestar para este modelo] Lecturas para el Examen Parcial Christiano, Larry. "Understanding Japan s Saving Rate: The Reconstruction Hypothesis". Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, 1989 Prescott, E. "Needed: A Theory of Total Factor Productivity". International Economic Review, 1998 Restuccia, D. y C. Urrutia, Relative Prices and Investment Rates, Journal of Monetary Economics, 2001 Ohanian, L., "The Economic Crisis from a Neoclassical Perspective," Journal of Economic Perspectives,