CRECIMIENTO ENDOGENO CON CAPITAL HUMANO. Modelo Ak de dos sectores con dos tipos de capital (fsico y humano)

Transcripción

1 CRECIMIENTO ENDOGENO CON CAPITAL HUMANO (Lucas, JME 1988) Modelo Ak de dos sectores con dos tipos de capital (fsico y humano) - El bien de consumo/inversion se produce con una tecnologa neoclasica Y t = F K t ; H y t - La educacion se produce con tecnologa lineal E t = BH e t Asumiendo L t constante, en forma intensiva y t = F k t ; h y t e t = Bh e t

2 Restriccion presupuestaria del consumidor: c t + i t + q t e t = w t h t + r t k t q t : precio relativo de la educacion con respecto al bien de consumo/inversion w t : salario por unidad de capital humano Leyes de movimiento del capital fsico y humano k t+1 = (1 ) k t + i t h t+1 = h t + e t El capital humano no se deprecia y es perfectamente movil entre los dos sectores (mismo w t )

3 Un Equilibrio General Competitivo (EGC) para esta economa es un conjunto de secuencias para las cantidades c t, i t, e t, k t+1, h t+1, y t, h y t, he t y los precios q t, w t y r t tales que: i) Dados k 0 ; h 0 > 0, q t, w t y r t, las secuencias c t, i t, e t, k t+1, h t+1 resuelven el problema de la familia representativa: max 1X t=0 t u (c t ) s:t: c t + i t + q t e t = w t h t + r t k t 8t k t+1 = (1 ) k t + i t 8t h t+1 = h t + e t 8t c t ; i t 0, e t 0 8t

4 ii) En cada perodo t, dados w t y r t, los valores y t, k t y h y t resuelven el problema de la empresa representativa en el sector consumo/inversion: max y t w t h y t r t k t s:t: y t = F k t ; h y t iii) En cada perodo t, dados q t, w t y r t, los valores e t y h e t resuelven el problema de la empresa representativa en el sector educacion: max q t e t w t h e t s:t: e t = Bh e t iv) En cada perodo t, hay igualdad entre oferta y demanda: y t = c t + i t h t = h y t + he t

5 Dado k 0 ; h 0 > 0, el planicador social resuelve: max 1X t=0 t u (c t ) s:t: c t + i t = F (k t ; u t h t ) 8t k t+1 = (1 ) k t + i t 8t h t+1 = h t + B (1 u t ) h t 8t c t ; i t 0; 0 u t 1 8t u t : fraccion del capital humano usado en la produccion del bien de consumo/inversion Las secuencias c t, i t, u t, k t+1 y h t+1 resultantes de esta maximizacion son Optimos de Pareto Los Teoremas del Bienestar se cumplen

6 El Lagrangiano del planicador es: L = 1X t=0 h t u (c t ) 1t (c t + i t F (k t ; u t h t )) 2t (k t+1 (1 ) k t i t ) 3t (h t+1 h t B (1 u t ) h t )] con condiciones de t = t u 0 (c t ) 1t t = 1t + 2t t = 1t F H (k t ; u t h t ) h t 3t Bh t t+1 = 1t+1 F K (k t+1 ; u t+1 h t+1 ) 2t + 2t+1 (1 ) = 0

7 t+1 = 1t+1 F H (k t+1 ; u t+1 h t+1 ) u t+1 3t + 3t+1 + 3t+1 B(1 u t+1 ) = 0

8 Resolviendo, obtenemos: - Dos Ecuaciones de Euler: u 0 (c t ) u 0 (c t+1 ) = F K (k t+1 ; u t+1 h t+1 ) + (1 ) u 0 (c t ) u 0 (c t+1 ) = (1 + B) F H (k t+1 ; u t+1 h t+1 ) F H (k t ; u t h t ) - Dos Condiciones de Factibilidad: k t+1 = (1 ) k t + F (k t ; u t h t ) c t h t+1 = h t + B (1 u t ) h t Sistema de cuatro ecuaciones en diferencia de primer orden en c t, u t, k t y h t

9 Vamos a usar las siguientes formas funcionales u (c) = log (c) F (k; h) = k h 1 Podemos reescribir el sistema anterior como: c t+1 c t = 2 4 k t+1 h t+1! 1 u 1 t (1 ) 5 (I) c t+1 c t = (1 + B)! k t+1 =h t+1 k t =h t! u t+1 (II) u t k t+1 = (1 ) + k! 1 t u 1 t k t h t c t k t (III) h t+1 h t = 1 + B (1 u t ) (IV)

10 Supongamos una Senda de Crecimiento Balanceado (SCB) con g h = g k constantes - De (IV), u t = u constante - De (III), g c = g k constante Llamemos g a la tasa comun de crecimiento de k, h y c. Tenemos de (II): 1 + g = (1 + B) y de (IV) 1 + g = 1 + B (1 u ) luego u = (1 ) (1 + B) B < 1 si > B

11 Las ecuaciones (I) y (III) nos permiten hallar los ratios y k = h c = k " 1 + g (1 ) # 1 1 u (k=h)! 1 g u Notese que el ratio k 0 h 0 inicial esta exogenamente dado, no se puede ajustar instantaneamente Por lo tanto, habra un perodo de transicion a la SCB

12 >Es este modelo dinamicamente estable? Difcil de demostrar en tiempo discreto Graco: pases con distintas condiciones iniciales convergen a distintos puntos A 1 y A 2 de la SCB

13 Comparando A 1 y A 2 : La proporcion del capital humano dedicada a cada sector es la misma Las tasa de crecimiento de cada tipo de capital y del consumo son positivas e iguales Los precios de equilibrio tambien son los mismos Los niveles de ingreso por trabajador son diferentes: Y L 2 > Y L 1

14 Modelo con Externalidades Una prediccion del modelo que Lucas considera desafortunada es que, en la senda de crecimiento balanceado, pases pobres y ricos tienen los mismos salarios Esto parece inconsistente con evidencia directa e indirecta (ujo migratorio de pases pobres a ricos) Notese que esta prediccion del modelo es cierta solo si lo unico que diferencia a los pases pobres y ricos son las condiciones iniciales Para resolver esta discrepancia entre el modelo y los datos, Lucas propone introducir una externalidad

15 Supondremos ahora un contnuo de empresas que producen el bien de consumo e inversion, con tecnologa y i t = k i t h i t 1 h t para cada empresa i 2 [0; 1] El parametro > 0 mide el peso de la externalidad que genera el capital humano promedio de la economa sobre la productividad total de los factores de cada empresa En equilibrio y t = Z 1 0 yi tdi k t = Z 1 0 ki tdi h t = Z 1 0 hi tdi + h e t

16 Un Equilibrio General Competitivo (EGC) para esta economa es un conjunto de secuencias para las cantidades c t, i t, e t, k t+1, h t+1, y t, h e t, e yi t, k i t, hi t, 8i 2 [0; 1] y los precios q t, w t y r t tales que: i) Dados k 0 ; h 0 > 0, q t, w t y r t, las secuencias c t, i t, e t, k t+1, h t+1 resuelven el problema de la familia representativa: max 1X t=0 t u (c t ) s:t: c t + i t + q t e t = w t h t + r t k t 8t k t+1 = (1 ) k t + i t 8t h t+1 = h t + e t 8t c t ; i t 0, e t 0 8t

17 ii) En cada perodo t, para cada empresa i 2 [0; 1], dados w t y r t, los valores yt i, ki t y hi t resuelven el problema en el sector consumo/inversion: max y i t w t h i t r t k i t s:t: y i t = k i t h i t 1 h t iii) En cada perodo t, dados q t, w t y r t, los valores e t y h e t resuelven el problema de la empresa representativa en el sector educacion: max q t e t w t h e t s:t: e t = Bh e t

18 iv) En cada perodo t, hay igualdad entre oferta y demanda: y t = Z 1 0 yi tdi = c t + i t h t = Z 1 0 hi tdi + h e t k t = Z 1 0 ki tdi

19 Asumiendo un EGC simetrico, en el cual todas las empresas del sector productor del bien de consumo o inversion hacen lo mismo, podemos resolver las condiciones de primer orden y obtener el sistema: c t+1 c t = h k 1 t+1 u1 t+1 h1 + t+1 + (1 ) i (I) c t+1 c t = (1 + B)! k t+1 k t! h t+1 h t! u t+1 (II) u t k t+1 = (1 ) + kt 1 u 1 t h 1 t + k t c t k t (III) (Vericar!) h t+1 h t = 1 + B (1 u t ) (IV)

20 El modelo converge tambien a una Senda de Crecimiento Balanceado (SCB), en el cual g k y g h son constantes (pero no necesariamente iguales) - De (IV), u t = u constante - De (II), g c constante - De (I), el producto kt 1 ht 1 + constante, luego g h = (1 + g k ) < g k - De (III), g c = g k

21 Reemplazando, el sistema de ecuaciones (I)-(IV) en una SCB esta dado por: 1 + g = [ u + (1 )] 1 + g = (1 + B) (1 + g) g = (1 ) + u c k (1 + g) = 1 + B (1 u ) Cuatro ecuaciones e incognitas: g,, u y c k Notese que la tasa de crecimiento de la economa g depende positivamente de la calidad de la educacion B, como antes, y del tama~no de la externalidad

22 Comparando ahora dos pases con distintas condiciones iniciales, que convergen a distintos puntos A 1 y A 2 de la SCB: La proporcion del capital humano dedicada a cada sector es la misma Las tasas de crecimiento de cada tipo de capital y del consumo son las mismas La renta del capital (o tasa de interes real) tambien son las mismas Los niveles de ingreso por trabajador son diferentes: y 2 > y 1

23 Los salarios reales son diferentes: w 2 > w 1, pues w t = (1 ) k t h = (1 ) k t h t t ut! (u )