Escuela de Verano de Macroeconomía

Transcripción

1 Escuela de Verano de Macroeconomía José L. Torres Universidad de Málaga junio 2010 José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

2 Programa del curso 1 Introducción a la Macroeconomía Dinámica y Computacional. El lenguaje MatLab 2 El modelo básico de equilibrio general dinámico. 3 Equilibrio general computable: El algoritmo de Newton-Raphson. 4 El pre-procesador Dynare para MatLab. 5 Cuanti cación de los efectos del IVA en España. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

3 2. El modelo básico de equilibrio general dinámico José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

4 2. El modelo básico de equilibrio general dinámico Frank Plumpton Ramsey (22 de febrero, de enero, 1930) fue un matemático y lósofo inglés de la Universidad de Cambridge. Importantes contribuciones teóricas a la matemática, la estadística y la economía. Ramsey nació en Cambridge y estudió matemáticas en el Trinity College, donde se graduó con la máxima cali cación de su promoción. La inteligencia de Ramsey impresionó a numerosos académicos de Cambridge. Fue capaz de aprender alemán en tan sólo una semana, usando un diccionario y una gramática que le había prestado C. K. Ogden. Posteriormente, usó esos conocimientos para leer el Tractatus Logico-Philosophicus de Wittgenstein. Le impresionó tanto, que en 1923 viajó al pequeño pueblo de Alemania donde éste ejercía de profesor para discutir con él. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

5 2. El modelo básico de equilibrio general dinámico De vuelta a Inglaterra, en 1924, accedió como Professor al King s College con tan solo 21 años. Desarrolló una cantidad de trabajos sobre lógica, matemáticas, economía y la losofía de dichas disciplinas. Desafortunadamente, sufría una dolencia crónica de riñón, y tras una operación murió a la edad de 26 años. De no morir tan joven, la economía actual no tendría nada que ver con la que tenemos sino que estaría mucho más avanzada. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

6 2. El modelo básico de equilibrio general dinámico Ramsey hizo contribuciones fundamentales en economía. Por ejemplo, el concepto de precio de Ramsey, en el que se precisa la trayectoria óptima que debe seguir el precio de un monopolista regulado, que quiera maximizar el bienestar del consumidor. También estableció una teoría del comportamiento óptimo de la Hacienda Pública, en torno de cómo debe ser la imposición más adecuada. Finalmente, el modelo de Ramsey es el modelo estándar del análisis económico. En él, los consumidores se presentan como individuos que maximizan su utilidad a lo largo de un horizonte in nito. Esto es especialmente adecuado para estudiar el crecimiento de las economías y la respuesta óptima del gobierno frente a shocks. Ramsey desarrolló su modelo, en colaboración con Keynes, a nales de los años 20, pero el uso del cálculo de variaciones, la herramienta matemática que utilizó para resolverlo, hizo que la mayor parte de los economistas ignoraran su trabajo. No fue hasta 1965 cuando Cass y Koopmans desarrollaron paralelamente un modelo muy similar. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

7 2. El modelo básico de equilibrio general dinámico Desarrollado inicialmente por Ramsey (1928). Posteriormente por Cass (1965), Koopmans (1965) y Brock y Mirman (1972). El boom se produce con el trabajo de Kydland y Prescott (1982): Aquí el avance no es teórico sino aplicado. Ampliación del modelo neoclásico y desarrollo del Modelo Nuevo Keynesiano: Rotemberg y Woodford (1997). José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

8 2. El modelo básico de equilibrio general dinámico Dos tipos de agentes: Número grande de consumidores o familias idénticas (consumidor o familia representativa). Número grande de empresas idénticas (empresa representativa). Dos tipos de soluciones Equilibrio General Competitivo. Plani cación centralizada. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

9 2. El modelo básico de equilibrio general dinámico Diferentes formas de resolver el modelo de equilibrio general: 1 Análisis del diagrama de fases (ecuaciones diferenciales en tiempo continuo). 2 Log-linearización del modelo en torno al estado estacionario. 3 Programación dinámica. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

10 2.1. Los consumidores Concepto de agente representativo. Suponemos que todos los agentes son idénticos en preferencias y tecnologías. Podemos analizar el comportamiento de uno de ellos y luego agregar. Idea de Robinson Crusoe. Posibilidad de introducir agentes heterogéneos. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

11 2.1. Los consumidores El agente representativo es optimizador (maximiza una determinada función objetivo). En el caso de los consumidores la función objetivo es la utilidad o felicidad instantánea. Felicidad: Salud, dinero y amor. La utilidad o felicidad depende de dos elementos: Consumo, C, y Ocio, O. Maximización de la función objetivo sujeta a una determinada restricción. En el caso de los consumidores es la restricción presupuestaria. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

12 2.1. Los consumidores Supuestos adicionales: Mercados de capitales perfectos. Utilidad aditivamente separable en el tiempo. Separabilidad entre consumo y ocio. Ahorro como variable de estado. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

13 2.1. Los consumidores Función de utilidad instantánea: U(C, O) (1) U C > 0, U O > 0 (2) U CC < 0, U OO < 0 (3) U CO > 0 (4) Suponemos que la función de utilidad es separable en el tiempo. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

14 2.1. Los consumidores José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

15 2.1. Los consumidores Problema de maximización intertemporal: max E t (C t,o t β t U(C t, O t ) (5) ) t=0 donde β es el factor de descuento intertemporal, β 2 (0, 1), siendo: β = θ donde θ es la tasa de preferencia subjetiva intertemporal (θ > 0). (6) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

16 2.1 Los consumidores Así, si suponemos que no existe incertidumbre sobre el valor de las variables futuras, el problema el consumidor resulta en maximizar, en el caso de vida nita, la siguiente sumatoria de utilidades: max U(C 0, O 0 ) + βu(c 1, O 1 ) + β 2 U(C 2, O 2 ) (C t,o t ) +β 3 U(C 3, O 3 ) β T U(C T, O T ) (7) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

17 Ponderación 2.1 Los consumidores Periodos (años) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

18 2.1 Los consumidores Dotaciones: El consumidor es el propietario de los factores productivos de la economía: Trabajo. Capital. Las familias alquilan sus factores productivos a las empresas (precio de los factores productivos es el precio de alquiler). Las familias son las propietarias de las empresas. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

19 2.1. Los consumidores Vamos a parametrizar la función de utilidad para obtener soluciones explícitas. Tenemos una gran variedad de funciones de utilidad que cumplen las condiciones anteriores. Nosotros vamos a utilizar la siguiente: U(C t, O t ) = γ log C t + (1 γ) log(n t H L t ), (8) γ: proporción del consumo sobre la renta total del individuo. N t : Población (todos son trabajadores o es la población >16 años y <65 años). H : Número total de horas efectivas disponibles (16 horas al día x 6 días a la semana x 52 semanas al año): horas. L t : Número de horas dedicadas a trabajar. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

20 Horas Trabajadas Anuales Corea ,48 Polonia ,40 República Checa ,38 Japón ,37 Grecia ,36 USA ,36 Nueva Zelanda ,35 España ,35 Canada ,34 Portugal ,34 UK ,33 Irlanda ,31 Italia ,31 Dinamarca ,29 Alemania ,27 Francia ,27 Suecia ,26 Holanda ,26 Fuente: OCDE (2004) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

21 2.1. Los consumidores Evolución temporal horas trabajadas 1840 Trabajador medio UK horas 1850 Trabajador medio US horas 1987 Trabajador medio US 1949 horas 1988 Trabajador industria UK 1855 horas 2000 Trabajador medio Alemania 1362 horas José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

22 2.1. Los consumidores Horas trabajadas por trabajador y año. España José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

23 2.1. Los consumidores Total horas trabajadas año. España José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

24 2.1. Los consumidores Los consumidores alquilan a las empresas tanto su tiempo (trabajo) como sus ahorros en forma de capital. Suponemos que los bene cios de la empresa representativa son nulos. Si la empresa representativa obtiene bene cios extraordinarios, entonces tendríamos que incluir dicha cantidad en la restricción presupuestaria del consumidor. NO afecta a la solución. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

25 2.1. Los consumidores Problema general: sujeto a: max L = E t (C t,i t,o t β t [γ log C t + (1 γ) log(1 L t )] (9) ) t=0 Ecuación de acumulación del capital: C t + I t = W t L t + R t K t (10) K t+1 = (1 δ) K t + I t (11) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

26 2.1. Los consumidores Lagrangiano: max (C t,k t,o t ) βt γ log C t + (1 γ) log(1 L t ) λ t [C t + K t+1 W t L t (R t + 1 δ)k t ] (12) OJO!!!!: Tenemos que tener en cuenta que la restricción presupuestaría sería... λ t [C t + K t+1 W t L t (R t + 1 δ)k t ] λ t 1 [C t 1 + K t W t 1 L t 1 (R t δ)k t 1 ]... (13) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

27 2.1. Los consumidores Condiciones de primer orden: L γ : λ t = 0 (14) C t C t L 1 γ : λ t W t = 0 (15) L t 1 L t L : β t λ t [R t + 1 δ] β t 1 λ t 1 = 0 (16) K t José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

28 2.1. Los consumidores Condición que iguala el ratio de sustitución marginal entre consumo y ocio al coste de oportunidad de una unidad adicional de ocio: 1 γ γ C t 1 L t = W t (17) Condición que iguala el ratio marginal del consumo con el de la inversión: C t C t 1 = β [R t + 1 δ] (18) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

29 2.1. Los consumidores Otras parametrizaciones de la función de utilidad Una de las pametrizaciones más usadas en la práctica es el empleo de la función de utilidad del tipo CRRA (Constant Risk Relative Aversion) tienen la siguiente forma: donde σ > 0. Por ejemplo: U(X t ) = X 1 t σ 1 1 σ (19) U(C t, L t ) = log C t ω L1 t σ 1 (20) 1 σ siendo ω > 0, es decir, la función de utilida sería una combinación de la función logarítmica y la función CRRA. Otra alternativa: U(C t, L t ) = C ω t (1 L t ) 1 ω 1 σ 1 σ (21) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

30 2.2. Las empresas Son las que producen los bienes. Para ello alquilan los factores productivos a las familias. Suponemos que las empresas maximizan bene cios, sujetas a la restricción tecnológica. Problema de optimización en la que se determina un vector de factores productivos, dados unos precios de los mismos, y a través de la función tecnológica, el nivel de producción. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

31 2.2. Las empresas Tecnología: Función de producción agregada: Y t = A t F (K t, L t ) (22) Y t : Producción agregada de la economía. A t : Productividad Total de los Factores. Cumple las siguientes propiedades: F K > 0, F L > 0 (23) F KK < 0, F LL < 0 (24) F KL > 0 (25) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

32 2.2. Las empresas Condiciones de Inada: lim F K =, lim F K = 0 (26) K!0 K! lim F L =, lim F L = 0 (27) L!0 L! Es decir, para producir hacen falta ambos factores productivos. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

33 2.2. Las empresas Maximización de bene cios: sujeto a: max Π t = P t Y t W t L t R t K t (28) Y t = A t F (K t, L t ) (29) Si suponemos rendimientos constantes a escala y mercados competitivos: Π t = 0. Condiciones de primer orden: A t P t F K (K t, L t ) R t = 0 (30) A t P t F L (K t, L t ) W t = 0 (31) El valor del producto marginal es igual al precio del factor. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

34 2.2. Las empresas El precio relativo de los factores es igual a su productividad marginal. A t F K (K t, L t ) = R t P t (32) A t F L (K t, L t ) = W t P t (33) El precio del bien lo normalizamos a 1 (P t = 1) : A t F K (K t, L t ) = R t (34) A t F L (K t, L t ) = W t (35) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

35 2.2. Las empresas El problema de maximización de bene cios de la empresa también es intertemporal. La empresa maximizaría el valor presente de los bene cios. La tasa de actualización sería el tipo de interés real. Sin embargo, el resultado sería el mismo que si el problema fuese estático. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

36 2.2. Las empresas Ejemplo: Función de producción Cobb-Douglas: A t F (K t, L t ) = Kt α L 1 t α (36) α : elasticidad del nivel de producción respecto al capital. También la podemos interpretar como la participación de las rentas de capital en la renta total. 1 α sería la participación de las rentas laborales en la renta total. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

37 2.2. Las empresas Condiciones de primer orden: αa t K α 1 t L 1 α t R t = 0 (37) O escrito de otro modo: (1 α)a t K α t L α t W t = 0 (38) R t = αa tkt α L 1 t K t α = α Y t K t (39) W t = (1 α)a tkt α L 1 t α = (1 α) Y t (40) L t L t José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

38 2.2. Las empresas Como podemos comprobar las productividades marginales son decrecientes: F KK = (α 1)αA t K α 2 t L 1 α t < 0 (41) F LL = α(1 α)a t K α t L α 1 t < 0 (42) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

39 2.2. Las empresas Combinando las condiciones de primer orden obtenemos: αa t K α 1 t L 1 α t (1 α)a t K α t L α t = R t W t (43) αy t L t (1 α)y t K t = R t W t (44) α (1 α) = R tk t W t L t (45) K t = α W t L t (46) (1 α) R t José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

40 2.3. Equilibrio del modelo Vamos a poner ahora todos los agentes de forma conjunta. Los consumidores deciden cuanto van a consumir, C t, cuanto van a invertir, K t y cuanto van a trabajar, L t, con el objetivo de maximizar su nivel de felicidad, tomando como dados los precios de los factores productivos y los impuestos. Las empresas van a dedicidir cuanto van a producir, Y t, y cuanto capital, K t y trabajo L t, van a contratar dado los precios de los factores productivos. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

41 2.3. Equilibrio del modelo Componentes del equilibro: Un sistema de precios para W y R. Una asignación de valores para Y, C, L y K. Una restricción de factibilidad, que nos indica las asignaciones posibles: Y t = C t + I t (47) Tanto el mercado de trabajo como el mercado de capitales están en equilibrio. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

42 2.3. Equilibrio del modelo De nición de Equilibrio: Un equilibrio competitivo para nuestra economía es una secuencia de consumo, ocio e inversión por parte de los consumidores C t, N t H L t, I t, y una secuencia de capital y de horas t=0 de trabajo utilizadas por parte de las empresas fk t, L t g t=0, tal que dadas una secuencia de precios fw t, R t g t=0 : i) El problema de optimización de los consumidores se satisface. ii) Se cumplen las condiciones de primer orden para las empresas. iii) La restricción de factibilidad de la economía se cumple. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

43 2.3. Equilibrio del modelo Componentes del modelo: Preferencias: U(C t, O t ) = γ log C t + (1 γ) log(1 L t ) (48) Tecnología Cobb-Douglas: F (K t, L t ) = A t Kt α L 1 t α (49) Dotaciones: N t H = 1 K 0 (50) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

44 2.3. Equilibrio del modelo Teoremas del Bienestar: Si no existen distorsiones tales como impuestos (distorsionadores) o externalidades: Primer Teorema del Bienestar: Todo equilibrio competitivo es un óptimo de Pareto. Segundo Teorema del Bienestar: Para cada óptimo de Pareto existe un sistema de precios que lo hace un Equilibrio Competitivo. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

45 2.3. Equilibrio del modelo Suponemos que sólo existen consumidores y empresas. Podemos resolver el modelo de dos formas: 1 Problema Descentralizado. 2 Problema del Plani cador Central o Dictador Benevolente (sin precios en la restricción presupuestaria). En este contexto ambas soluciones son las mismas. Con distorsiones, la solución del Plani cador Central genera un mayor nivel de bienestar que el Problema Descentralizado. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

46 Equilibrio del modelo (Equilibrio competitivo) Problema Descentralizado: sujeto a: max (C t,i t,o t ) t=0 β t [γ log C t + (1 γ) log(1 L t )] (51) C t + I t = W t L t + R t K t (52) Lagrangiano: max L = (C t,k t,o t ) β t t=0 [γ log C t + (1 γ) log(1 L t )] λ t [C t + K t+1 W t L t (R t + 1 δ)k t ] (53) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

47 Equilibrio del modelo (Equilibrio competitivo) Condiciones de primer orden: L C : γ 1 C t λ t = 0 (54) L L : 1 γ N t H L t + λ t W t = 0 (55) L K : βt λ t (R t + 1 δ) β t 1 λ t 1 = 0 (56) L λ : C t + K t+1 (R t + 1 δ)k t W t L t = 0 (57) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

48 Equilibrio del modelo (Equilibrio competitivo) OJO!!!!!!!!!. Hay que tener en cuenta que al derivar con respecto a K, también aparece esta variable en el periodo anterior: L =... + β t 1 +β t U(C t 1, O t 1 ) λ t 1 (C t 1 + K t (R t δ)k t 1 W t 1 L t 1 ) U(C t, O t ) +... λ t (C t + K t+1 (R t + 1 δ)k t W t L t José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

49 (Equilibrio competitivo) Sustituyendo la condición de primer orden (54) en la condición de primer orden (55), obtenemos la condición que iguala el ratio de sustitución marginal entre consumo y ocio al coste de oportunidad de una unidad acicional de ocio: 1 γ γ C t N t H L t = W t (58) Sustituyendo la condición de primer orden (54) en la condición de primer orden (56), obtenemos la condición que iguala el ratio marginal del consumo con el de la inversión: C t C t 1 = β [R t + 1 δ] (59) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

50 Equilibrio del modelo (Equilibrio competitivo) Por otra parte, del problema de maximización de la empresa sabemos que R y W son iguales a sus productos marginales: R t = αk α 1 t L 1 α t (60) W t = (1 α)k α t L α t (61) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

51 Equilibrio del modelo (Equilibrio competitivo) Sustituyendo obtenemos: 1 γ γ C t N t H L t = (1 α)k α t L α t (62) C t C t 1 = β αk α 1 t L 1 α t + 1 δ (63) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

52 Equilibrio del modelo (Equilibrio competitivo) Por otra parte, sustituyendo el precio relativo de los factores productivos en la restricción presupuestaria del individuo obtenemos: L λ = C t + K t+1 (R t + 1 δ)k t W t L t = 0 (64) C t + K t+1 (αk α 1 t L 1 α t + 1 δ)k t (1 α)k α t L α t L t = 0 (65) C t + K t+1 K t αk α t L 1 α t + δk t K α t L 1 α t + αk α t L 1 α t = 0 (66) C t + K t+1 (1 δ)k t K α t L 1 α t = 0 (67) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

53 Equilibrio del modelo (Equilibrio competitivo) SOLUCIÓN: Dos ecuaciones en diferencias: C t = β αk α 1 t L 1 α t + 1 δ C t 1 (68) K t+1 = (1 δ)k t + K α t L 1 α t C t (69) más una ecuación estática que nos relaciona la oferta de trabajo con el salario real: 1 γ γ C t N t H L t = (1 α)k α t L α t (70) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

54 Equilibrio del modelo (Equilibrio competitivo) El equilibrio competitivo consiste en encontrar secuencias de las variables fc t, I t, K t, L t, R t, W t, Y t gt=0 tal que sean satisfechas las condiciones que de nen el equilibrio: Los consumidores maximizan su función de utilidad. Las empresas maximizan bene cios. Se cumple la restricción de factibilidad de la economía. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

55 Equilibrio del modelo (Equilibrio competitivo) (1 γ) γ C t 1 L t = W t (71) C t+1 C t = β [R t δ] (72) R t = αa tkt α L 1 t K t α = α Y t K t (73) W t = (1 α)a tkt α L 1 t α = (1 α) Y t (74) L t L t Y t = A t Kt α L 1 t α (75) K t+1 = (1 δ)k t + I t (76) C t + I t = Y t (77) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

56 Equilibrio del modelo (Dictador benevolente) Problema Plani cador Centralizado: sujeto a: max (C t,i t,o t ) t=0 β t γ log C t + (1 γ) log(n t H L t ), (78) C t + I t = Kt α L 1 t α, (79) Lagrangiano: max (C t,k t,o t ) L = t=0 β t γ log Ct + (1 γ) log(n t H L t ) λ t Ct + K t+1 (1 δ)k t Kt α L 1 α t, (80) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

57 Equilibrio del modelo (Dictador benevolente) Condiciones de primer orden: L C = γ 1 C t λ t = 0 (81) L L = 1 γ N t H L t + λ t (1 α)k α t L α t = 0 (82) L K = βt λ t (αk α 1 t L 1 α t + 1 δ) β t 1 λ t 1 = 0 (83) L λ = C t + K t+1 (1 δ)k t K α t L 1 α t = 0 (84) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

58 Equilibrio del modelo (Dictador benevolente) Sustituyendo obtenemos: 1 γ γ C t N t H L t = (1 α)k α t L α t (85) C t C t 1 = β αk α 1 t L 1 α t + 1 δ (86) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

59 2.3.2 Equilibrio del modelo (Dictador benevolente) SOLUCIÓN: Dos ecuaciones en diferencias: C t = β αk α 1 t L 1 α t + 1 δ C t 1 (87) K t+1 = (1 δ)k t + K α t L 1 α t C t (88) más una ecuación estática que nos relaciona la oferta de trabajo con el salario real: 1 γ γ C t N t H L t = (1 α)k α t L α t (89) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

60 Equilibrio del modelo (Dictador benevolente) Por tanto ahora la solución del problema consiste en encontrar fc t, I t, K t, L t, Y t gt=0, tal que se cumplan las condiciones que de nen el equilibrio. La estructura de la economía viene por tanto de nida por el siguiente sistema de cinco ecuaciones: (1 γ) γ C t 1 L t = (1 α)a t K α t L α t (90) C t+1 C t = β αa t K α 1 t L 1 α t + 1 δ (91) Y t = A t Kt α L 1 t α (92) K t+1 = (1 δ)k t + I t (93) C t + I t = Y t (94) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

61 Estado estacionario Para calcular el estado estacionario, en primer lugar, eliminamos los subíndices de tiempo de las variables. Esto signi ca, por ejemplo, que tendríamos... = C t 1 = C t = C t+1 =... = C. Por tanto, el modelo podemos de nirlo como: (1 γ) γ C 1 L = (1 α)ak α L α (95) 1 = β R + 1 δ (96) Y = AK α L 1 α (97) I = δk (98) C + I = Y (99) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

62 Estado estacionario De la ecuación (96) obtenemos directamente que el tipo de interés real de equilibrio viene dado por: R = 1 β + δ 1 (100) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

63 Estado estacionario Lo primero que hacemos es poner todas las variables en función del nivel de producción de equilibrio. La expresión (96) la podemos escribir como: 1 = β α YK + 1 δ Resolviendo para K resulta: K = αβ 1 β + βδ Y (101) José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

64 Estado estacionario En segundo lugar, usando (98) y dada (101) la inversión en equilibrio vendría dada por: I = αβδ 1 β + βδ Y (102) En tercer lugar, usando las expresiones (99) y (102) otenemos que el consumo en equilibrio sería: C = 1 β + (1 α)βδ Y (103) 1 β + βδ José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

65 Estado estacionario A continuación, usando la expresión (95) obtenemos que: L = γ(1 α)(1 β + βδ) (1 γ) (1 β + (1 α)βδ) + γ(1 α) (1 β + βδ) Finalmente, sustituyendo (101) y (104) en (97) llegamos al valor de equililibrio para el nivel de producción de la economía: (104) 1 Y = A 1 α 1 + αβ 1 β + βδ α 1 α γ(1 α)(1 β + βδ) (1 γ) (1 β + (1 α)βδ) (105) (106) Una vez obtenido el estado estacionario de la economía, ya podemos proceder a transformar en estacionarias las variables de la economía y calcular la desviación de cada una de ellas respecto a su estado estacionario. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

66 El modelo de equilibrio general dinámico estocástico Consiste en añadir perturbaciones estocásticas al modelo anterior. Podemos añadir una gran variedad de perturbaciones diferentes. No existe una solución explícita para el modelo. Métodos de resolución computacionales: Blanchard y Kahn (1980), Uhlig (1999), Sims (2001), Klein (2000). José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

67 El modelo de equilibrio general dinámico estocástico Suponemos que la perturbación de productividad sigue un proceso autorregresivo de primer orden, tal que: ln A t = (1 ρ A ) ln A + ρ A ln A t 1 + ε A t, ε A t N(0, σ 2 A) donde jρ A j < 1 con objeto de asegurar la estacionariedad del proceso. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

68 El modelo de equilibrio general dinámico estocástico Por otra parte, la función de utilidad de los individuos la podemos reescribir como: max L = (C t,k t,l t ) β t B t [γd t log C t + (1 γ) H t log(1 L t )] t=0 donde B t es una perturbación que re eja un shock general a las preferencias que afecta a la sustitución intertemporal de los consumidores (es a lo que denominamos una perturbación en las preferencias, D t representa una perturbación en las preferencias de consumo y H t representa una perturbación a la oferta de trabajo. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69

69 El modelo de equilibrio general dinámico estocástico Suponemos que el proceso que siguen estas tres perturbaciones es el siguiente: ln B t ρ B v BD v BH ln B t 1 ε B 3 t 4 ln D t 5 = 4 v DB ρ D v DH 5 4 ln D t ε D 5 t ln H t v HB v HD ρ H ln H t 1 ε H t donde jρ i v ij j < 1, i 6= j, i, j = B, D, H, con objeto de asegurar la estacionaridad de los procesos, siendo E (ε i t) = 0 y E (ε i t ε i t) = σ 2 i, 8i. José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía junio / 69