SEGUNDA HOJA DE EJERCICIOS

Transcripción

1 MACROECONOMIA DINAMICA I Instituto Tecnolóico Autónomo de México Profesor: Carlos Urrutia SEGUNDA HOJA DE EJERCICIOS Preunta 1 Considere la siuiente versión del modelo de crecimiento neoclásico con choques tecnolóicos. La función de utilidad depende solo del consumo y está dada por u(c) = lo(c) y no hay crecimiento de la población (n = 0). De otro lado, la empresa representativa utiliza una función de producción estocástica para producir el único bien, dada por: f(k, z) = e z Ak α en donde z t es un choque tecnolóico i.i.d. en el tiempo y distribuido normalmente con media µ z y varaianza σ 2 z. i) Defina un equilibrio competitivo secuencial para esta economía. ii) Escriba el problema del planificador social en su versión secuencial y lueo usando el lenuae recursivo (tienen que especificar el espacio de estados, la función de retorno, etc.). iii) Asumiendo que la depreciación es completa (δ = 1), verifique que la rela de decisión óptima del problema en (ii) está dada por: k = (k, z) = αβe z Ak α Cual es la función de valor v (k, z) asociada a esta solución?

2 iv) la rela de decisión óptima (k, z) define un proceso AR(1) para el loaritmo de k: lo (k t+1 ) = lo (αβa) + α lo (k t ) + z t Partiendo de un k 0 arbitrario, caracterice las secuencias para la media µ t y la varianza σ 2 t de la variable aleatoria lo (k t ) y encuentre el límite de esas secuencias cuando t. v) Usando el resultado anterior, caracterice la distribución invariante para k t y c t. Preunta 2 Consider the standard neoclassical rowth model to which we add a overnment that finances its expenditures t (resources thrown away to the ocean) collectin lump-sum taxes τ t from the representative consumer. Taxes can be neative, in which case we interpret them as lump-sum transfers. Government s expenditures t are random and follow a discrete stochastic process. At each period the overnment can have a deficit or a surplus, but in the lon-run the Arrow-Debreu balanced budet condition: p t t=0 t G t ( t ) t = p t t=0 t G t ( t ) τ t ( t ) must hold. The representative consumer maximizes expected utility: U 0 = E 0 t=0 β t u (c t ) subject to the budet constraint and law of motion for capital. The representative firm behaves as usual. i) Define an Arrow-Debreu stochastic competitive equilibrium for this economy and find the first order conditions; ii) Define the planner s problem, find the first order conditions and show that the welfare theorems hold. Suppose now that aents trade in a sequence of markets setup. In addition to taxes, the overnment finances its expenditures each period by issuin a complete 2

3 sets of one-period continent bonds (one for each possible state of the world tomorrow), sold to the representative consumer. Denote by b t+1 ( t+1 ) the quantity traded at date t of a bond promisin one unit of the unique ood at date t + 1 if the state of the world is t+1 (zero otherwise), and by q t ( t+1 ) the price of such a bond. iii) Define a sequence of markets stochastic competitive equilibrium for this economy and find the first order conditions. How are bonds priced in equilibrium? How are these prices related to Arrow-Debreu prices? iv) Comparin the conditions obtained in (i) and (iii), verify the equivalence between the sequence of markets and Arrow-Debreu equilibrium allocations; and v) Prove that all continent plans for taxes satisfyin the Arrow-Debreu balanced budet condition: p t t=0 t G t ( t ) t = ( ) ( t τ ) t t p t t=0 t G t can be supported in a sequence of markets setup usin the same equilibrium allocations (HINT: choose for each tax plan an appropriate plan for overnment bonds). Give an economic interpretation of this result, known as the Ricardian Equivalence. Preunta 3 Considere un modelo de ciclos económicos reales con producción en el hoar. La familia representativa maximiza su utilidad esperada E 0 t=0 β t [ γ lo c m t + (1 γ) lo c h t + lo ( 1 l m t l h t )] en donde c m t es el consumo del bien producido en el mercado, c h t es el consumo del bien producido en el hoar, lt m es la fracción del tiempo destinado al mercado laboral y lt h es la fracción del tiempo destinada a la producción en el hoar, sujeto a la restricción presupuestaria c m t + i t = w t lt m + r t k t 3

4 la ley de movimiento del capital habitual, y la tecnoloía para producir bienes en el hoar descrita por la función de producción estocástica c h t = e zt ( l h t en donde z t es un choque tecnolóico que siue un proceso AR(1) ) φ z t+1 = ρz t + ε t+1 y ε t es una variable aleatoria i.i.d. y normalmente distribuida, con media cero y varianza σ 2 ε. La empresa representativa opera una tecnoloía descrita por la función de producción determinística y t = (k t ) α (l m t ) 1 α No hay crecimiento de la población, ni proreso técnico. Nótese que, a diferencia de la preunta en la tarea, el choque tecnolóico afecta la función de producción en el hoar, no en el mercado. i) Escriba el problema secuencial (estocástico) del planificador social para esta economía y obtena las condiciones de primer orden, en particular la ecuación de Euler estocástica; ii) Caracterice lo mejor posible el estado estacionario determinístico, con z t = ε t = 0, t; iii) Dada la siuiente información de laro plazo wl m y = 0.6 k y = 4 i y = 0.3 lm = 0.3 l h = 0.1 calibre los parámetros β, δ, α, γ, φ; y iv) Supona que hay un choque tecnolóico positivo (ε t z t ) en la función de producción del hoar. Qué sucede con la fracción del tiempo destinada al mercado de trabajo, a la producción en el hoar y al ocio? Qué patrones de correlación esperaría entre estas variables? 4

5 Preunta 4 Considere una economía con un contínuo de individuos en i [0, 1]. La productividad del trabajo de cada aente λ i t fluctúa exóenamente en el tiempo de acuerdo a: { λ i λ1 i 0.5 t = t = 0, 2, 4, 6,... λ 2 i > 0.5 { λ i λ2 i 0.5 t = t = 1, 3, 5, 7,... λ 1 i > 0.5 con λ 1 > λ 2 > 0 y λ 1 + λ 2 = 2. Nótese que este NO es un proceso aleatorio, todo es determinísitico en el modelo. Cada aente resuelve el problema: s.a. max t=0 β t lo ( ) c i t c i t + a i t+1 = w t λ i t + R t a i t dados lo activos iniciales a i 0 y las secuencias de precios w t y R t. La función de producción es lineal en el trabajo: Y t = AL t = A 1 0 λ i tdi Por simplicidad, no hay capital en esta economía, lueo en equilibrio 1 0 a i tdi = 0 Nótese finalmente que, de acuerdo a los supuestos anteriores, L t = 1 0 λ i tdi = λ 1 + λ 2 2 = 1 i) Defina un equilibrio competitivo secuencial para esta economía; ii) Caracterice lo mejor posible el equilibrio (halle las ecuaciones de Euler, etc.); iii) Demuestre que la economía convere instantáneamente a un equilibrio estacionario con R = 1 β ; y 5

6 iv) Dada una distribución inicial de activos arbitraria a i 0 que satisface 1 0 ai 0 di = 0, construya analíticamente las secuencias individuales de consumo, c i t y activos a i t. Verifique que dichas secuencias son consistentes con un equilibrio estacionario, es decir, que satisfacen las condiciones de primer orden en (ii) dados los precios estacionarios w = A y R = 1 β v) Usando los resultados del inciso anterior, muestre que los aentes suavizan perfectamente su consumo a lo laro del tiempo ahorrando más cuando tienen una productividad alta y menos cuando su productividad es baja. Muestre también que, dados los mismos activos inciales, un aente que empieza con una productividad alta (i > 0.5) consume permanentemente más que un aente que empieza con una productividad baja (i 0.5) Supona ahora que los aentes de esta economía enfrentan una restricción de crédito exóena, del tipo a i t+1 φ en donde φ es un límite de crédito más estricto que el límite natural. vi) Demuestre que en todo equilibrio estacionario se cumple que R 1 β ; y vii) Defina ahora B t como el conjunto de aentes para los cuales la restrición de crédito es activa (es decir, para los cuales a i t+1 = φ en equilibrio). Muestre que en todo equilibrio estacionario en el cual B t se cumple que R < 1 β Preunta 5 Considere un modelo de eneraciones solapadas en la que los aentes viven dos períodos, pero con crecimiento de la población. En partícular, en cada período nace una masa [0, L t ] de aentes jóvenes, en donde L t crece a la tasa exóena n. La función de producción es entonces Y t = F (K t, L t ) y t = f (k t ) en donde y t y k t son el producto y el capital por trabajador de la economía. La condición de factibilidad es ahora f (k t ) = c 1 t + c2 t 1 + n + (1 + n) k t+1 (1 δ) k t 6

7 con (1 + n) k t+1 = a 2 t+1 Nótese que el ahorro de los jóvenes se distribuye mañana como capital entre un mayor número de trabajadores, dado el crecimiento de la población. i) Usando variables por trabajador, defina un equilibrio competitivo secuencial para esta economía; ii) Caracterice lo mejor posible el equilibrio (halle las ecuaciones de Euler, etc.); iii) Defina un equilibrio estacionario y caracterice lo mejor posible el valor del capital por trabajador k en dicho equilibrio; iv) Demuestre que todo equilibrio estacionario con R (k ) > 1 + n es eficiente; v) Asuma ahora una función de utilidad loarítmica y una función de producción Cobb-Doulas. Para ese caso especial, encuentre la función de ahorro óptima S (k t ) y analice la dinámica del capital areado. Cómo depende esta dinámica de la tasa de crecimiento de la población? vi) Para el caso especial del inciso anterior, encuentre el capital por trabajador en un equilibrio estacionario k y muestre bajo que combinaciones de parámetros el equilibrio estacionario es eficiente; y vii) Supona que los parámetros son tales que el equilibrio estacionario del inciso anterior no es eficiente. Supona ahora que el obierno implementa un sistema de seuridad social en el cual el cobra un impuesto τ a los aentes jóvenes y lo reparte entre los aentes viejos. Las restricciones presupuestarias serían entonces c 1 t + a 2 t+1 = w t τ c 2 t+1 = R t+1 a 2 t+1 + (1 + n) τ Encuentre la función de ahorro óptima S (k t, τ) y analice la dinámica del capital areado. Cómo depende esta dinámica del impuesto τ? Encuentre el capital por trabajador en un equilibrio estacionario k (τ) y muestre como con un impuesto positivo el obierno puede restaurar un equilibrio estacionario eficiente. 7

8 Preunta 6 Considere un modelo de eneraciones solapadas en el cual los aentes viven dos períodos y sin crecimiento de la población. Adicionalmente, vamos a añadir incertidumbre idiosincrática en el seundo período de vida. Los aentes jóvenes empiezan sin activos y tienen una productividad 0 < λ 1 < 1. Los viejos tambien trabajan y tienen una productividad aleatoria que puede tomar dos valores λ 2 = { 1 λ1 ε, con probabilidad λ 1 + ε, también con probabilidad 1 2 Notese que, en promedio, los viejos ofrecen 1 λ 1 unidades efectivas de trabajo en el mercado, por lo que la oferta total de trabajo de la economía es siempre constante e iual a 1. Asumimos también que λ 1 es suficientemente rande para que los jóvenes ahorren para complementar su inreso laboral durante el seundo período de vida. La función de utilidad de cada períodod es loarítmica y los aentes descuentan el futuro a la tasa β. La tecnoloía para producir el único bien está dada por Y t = Kt α L 1 α t = Kt α y satisface los supuestos habituales. El capital se deprecia a la tasa δ y en equilibrio corresponde a la suma de los activos de los viejos. (i) Defina un equilibrio competitivo secuencial para esta economía; (ii) Resolviendo el problema secuencial de los aentes jóvenes, encuentre la función de ahorro del primer período de vida como función del salario de los dos períodos, la tasa de interés entre ambos períodos, el parámetro ε que determina la varianza de los choque de productividad del seundo período de vida, y quizás otros parámetros. Si no puede resolver analíticamente el ahorro, puede dejarlo implícito como parte de la solución de un sistema de ecuaciones; en ese caso, aseurese de tener el mismo número de ecuaciones que de incónitas; (iii) Defina un equilibrio estacionario para esta economía y muestre que el stock de capital de estado estacionario depende positivamente de ε. Interprete este resultado y relaciónelo con el problema de ineficiencia dinámica en este tipo de modelos; (iv) Defina un equilibrio competitivo recursivo para esta economía; 8

9 Lecturas para el Examen Final Lucas, Robert. Models of Business Cycles. Cambride, Massachusetts: Basil Blackwell Ltd, 1987 Neumeyer, P. y F. Perri, "Business Cycles in Emerin Economies: the Role of Interest Rates," Journal of Monetary Economics, 2005 Huett, M. y G. Ventura. "Understandin Why Hih Income Households Save More than Low Income Households," Journal of Monetary Economics, 2000 Restuccia, D. y C. Urrutia. Interenerational Persistence of Earnins: The Role of Early and Collee Education, American Economic Review,