EXERCISES. product of one of them by the square of the other takes a maximum value.

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1 EXERCISES EXERCISE 1 If f : R R is defined by f(x) = e x (x 2), a) Find the asymptotes of f. b) Find where f is increasing or decreasing and the local maxima or minima. c) Find the inflection points of f. EXERCISE 2 If f(x) is a continuous function in the interval [ 2, 3] and F(x) is an antiderivative of f such that F(2) = 1 and F(3) = 2, find : EXERCISE 3 If exists and is finite, find the values of a and the limit. EXERCISE 4 Evaluate EXERCISE 5 a) The sum of two positive numbers is 12. Find those two numbers if the product of one of them by the square of the other takes a maximum value. b) Find the value of k such that c) Suppose that f :R R is a continuous function with derivative in R. Suppose that f( 0 ) 0 and f( x + y) = f(x).f(y) for all real numbers x, y. Prove that f( 0) = 1, f(x) > 0 and f (x) = f (0).f(x) for all real number x. EXERCICE 6 = 2 a) Evaluate (HINT : Change of variable) b) Evaluate ln EXERCISE 7 If f(x) is a real defined function defined by f(x) =, a) Find the domain, axis intercepts,asymptotes and symmetries of f. b) Find, if they exist, the local maxima and minima. c) Find, if they exist, the inflection points of f. d) Sketch the graph of the function. EXERCISE 8 What is the rectangle of largest area that can be inscribed in a circle of radius 3? EXERCISE 9 Evaluate EXERCISE 10 Find a function y = ax 3 + bx 2 + cx + d if ( 1, 1) is a local minimum and ( 0, 3) is an inflection point.

2 EXERCISE 11 Compute the area of the region bounded by y = 0, x = 1, x = e and the graph of y = ln 2 (x). EXERCICE 12 A woman wants to design a rectangular vegetable garden with an ornamental fence around it, The fencing for three sides of the garden costs 2 per meter. The fencing for the fourth side costs 3 per meter. She has 120 to spend on the fence. What dimensions should she give the garden to maximize its area? EXERCICE 13 Of all the rectangles with base on the x axis and upper corners on the parabola y = 12 x 2, what are the dimensions of the one with largest area? EXERCISE 14 A cylindrical can with no top is to be made from 12π cm 2 of tin. What should be the dimensions of the can to give it maximum volume? EXERCICE 15 Use calculus to find the point on the line y = 4x + 3 that is closer to the point ( 2, 6). EXERCISE 16 A rectangular box shaped tank with square bottom and no top is to have a volume of 6 m 3. The material for the bottom costs 3 per m 2 and the material for the sides costs 2 per m 2. What dimensions should the tank have to minimize its cost? EXERCISE 17 A company can manufacture x lamps in one day at a cost of x + euros. It sells each lamp for 8. How many lamps should be manufactured per day to maximize the profit? EXERCISE 18 A cylindrical tank is to have a volume of 100π m 3. The material for the top and the bottom costs 2 per m 2 and the material for the side costs 1 per m 2. What dimensions should the tank have to minimize the cost of the material? EXERCISE 19 Show that among all the triangles with a base 10 cm long and a height of 8 cm, the one with minimum perimeter is isosceles. EXERCISE 20 A printer is to use a page that has an area of 80 cm 2 with margins of 1 cm at the bottom and sides and 1,5 cm at the top. What dimensions should the page have so that the area of the printed portion is a maximum? EXERCICE 21 Does the the function f(x) = 2x x 3 2x have a derivative for all real number x? EJERCICIO 22 Considera la función f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c. a) Encuentra los valores a, b y c de forma que la gráfica de la función pase por el punto ( 0, 1) y las rectas tangentes a la gráfica en los puntos de abscisas x= 0 y x = 1 sean ambas paralelas a la recta y = 3x + 5.

3 b) Para a > 0, b = 0 y c = 0, determina la función f tal que el área de la región limitada por su gráfica, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 1 sea 3 u 2. EJERCICIO 23 Dada la función y = x 3 + ax 2 + bx + c, calcula los parámetros a, b y c sabiendo que: La recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3. f(x) tiene un punto de inflexión de coordenadas (1, 2) EJERCICIO 24 La concentración ( en %) de nitrógenos de un compuesto viene dada, en función del tiempo t, medido en segundos, por la función: N ( t) = a) Comprueba que la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. Cuándo es mínma esta concentración y cuál es su valor? b) A qué valor tiende la concentración cuando t tiende a? EJERCICIO 25 Calcula : b) EJERCICIO 26 Sea f(t) =, a) Calcula b) Sea g(x) =. Calcula lim x 0 EJERCICIO 27 Dada la función f(x) = a) Halla a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0 valga 2. b) Para a = 1, estudia la monotonía y los extremos relativos. c) Para a = 1, halla sus asíntotas. EJERCICIO 28 a) Calcula b) Calcula los valores del parámetro a para que las tangentes a las gráficas a la gráfica de la función f(x) = ax 3 + 2x en los puntos de abscisas x = 1 y x = 1 sean perpendiculares. EJERCICIO 29 Se considera la función f(x) = e x + ln(x), 0 < x. a) Estudia la monotonía de f(x) b) Demuestra que la ecuación x 2 e x 1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0, 1]. c) Deduce que f presenta un punto de inflexión en c. Esboza la gráfica de f.

4 EJERCICIO 30 Dada la recta y = 3x + b y la parábola y = x 2, a) Calcula la abscisa del punto donde la recta tangente a la parábola es paralela a la recta dada. b) Calcula el parámetro b para que la recta sea tangente a la parábola. EJERCICIO 31 Un triángulo equilátero ABC tiene los lados de 8 cm. Situamos un punto P sobre una de las alturas del triángulo a una distancia x de la base correspondiente. a) Calcula la altura del triángulo ABC. b) Indica la distancia del punto P a cada uno de los vértices del triángulo en función de x. c) Determina el valor de x para que la suma de los cuadrados de las distancias de P a cada uno de los tres vértices sea mínima. EJERCICIO 32 Sea la función f(x) = 4xln(x) definida para x > 0. Obtén razonadamente. a) El valor de x donde f(x) alcanza un mínimo relativo. b) La ecuación de la tangente a la curva en el punto (1, 0) c) El área limitada por y = f(x), y = 0, x = e y x = e 2. EJERCICIO 33 Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A( 0, 12), B( x,x 2 ) y C( x, x 2 ) siendo x 2 < 12. Obtén razonadamente: a) El área del triángulo T en función de x. b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo sea máxima. EJERCICIO 34 Para completar el escudo, se añade al triángulo de área máxima T la superficie S limitada por la recta y = 4 y el arco de parábola y = x 2 con 2 x 2. Obtén razonadamente el área de la superficie S y el área total del escudo. Determine el punto de la parábola y = x 2 en el que la suma x + y alcance su mínimo valor. Explique por qué dicho mínimo es absoluto. EJERCICIO 35 a) Calcule los puntos de corte de la recta 2y x = 3 y de la recta y = 1 con la rama hiperbólica xy = 2, x > 0. b) Dibuje el recinto limitado por las tres curvas del apartado anterior y calcula su área.

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