Asignatura: FÍSICA Y QUÍMICA EJERCICIOS DE AMPLIACIÓN - SOLUCIONES Fecha finalización: Viernes, 3 de diciembre de 2010 Nombre y Apellidos JRC 1 Resuelve los siguientes apartados: a) Se tiene una fuerza de 25 N formando un ángulo de 30 o con la horizontal. Dibuja el vector correspondiente y sus componentes. Analíticamente da el resultado numérico de cada componente. Para dibujar la fuerza toma el criterio 5 N : 1 cm. Es un ejercicio para aprender a realizar la descomposición de fuerzas, primero dibujamos la fuerza y posteriormente la descomponemos en sus dos componentes, la del eje x y la del eje y. y (cm) 5 4 3 2 1 30 0 o 0 1 2 3 4 5 x (cm) Recordando las funciones trigonométricas, hallamos las componentes x e y de la fuerza, F x = F cos 30 = 21, 6 N F y = F sin 30 = 12, 5 N b) Dibuja a escala 2 N : 1 cm, dos fuerzas de 3 N y 6 N que forman 30 o y 60 o con el eje Ox y cuyo punto de aplicación es el origen de coordenadas. Halla la fuerza resultante. En este caso tenemos dos fuerzas concurrentes, por tanto, para hallar la resultante de estas dos fuezas de forma gráfica hay que tomar la diagonal del paralelogramo que forman dichas fuerzas y sus paralelas. De forma numérica hay que tener en cuenta que entre ambas tan sólo existe una diferencia angular de 30 o. DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 1
4 3 y (cm) 2 1 0 0 1 2 3 4 x (cm) La fuerza resultante de forma analítica es, F R = F 2 1 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos α = 3 2 + 6 2 + 2 3 6 cos 30 = 8, 72 N Hay que tener en cuenta que este resultado nos da el módulo de la fuerza resultante pero no nos dice nada de la dirección ni del sentido de la esta fuerza. c) Dibuja el diagrama de fuerzas, incluyendo la fuerza de rozamiento y realizando la descomposición de aquellas fuerzas que lo requieran. NOA: Como ejercicio voluntario, intentar dar el valor de la aceleración de cada sistema. En ambos casos tendríamos el peso (siempre vertical), la fuerza de rozamiento (opuesta al movimiento) y la normal (perpendicular a la superficie de contacto). Particularmente, en el caso a aparece la tensión (cuyo sentido es del bloque a la cuerda) y en el b hay que tener en cuenta la rotación de los ejes cartesianos, esto provoca que el peso no quede sobre el eje de ordenadas y por tanto tengamos que descomponerla en el eje x e y. Para hallar el valor de la aceleración partimos en ambos casos de la segunda ley de Newton ΣF = m a. Su explicación es más profunda en otros ejercicios de esta hoja. DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 2
N F r N F r P 1 P 2 En el primer sistema tenemos dos cuerpos, por tanto tenemos que aplicar la segunda ley de Newton a ambos. P x α P α P y P rimer cuerpo F r = m 1 a Segundo cuerpo P 2 = m 2 a eniendo en cuenta que al estar ambos unidos por una cuerda tienen la misma aceleración y que la polea no tiene masa, las tensiones son iguales pero de sentido contrario. Igualando, P 2 m 1 a F r = m 2 a = a = m 2g F r m 1 + m 2 En el segundo sistema tenemos una esfera deslizando por un plano inclinado. A la hora de resolver el sistema se colocan los ejes rotados el ángulo del plano inclinado, así, el eje de abcisas queda paralelo al plano de rodadura. Como vemos en el dibujo, todas las fuerzas implicadas en el sistema se encuentran paralelas a alguno de los ejes cartesianos excepto el peso (que siempre es vertical). Entonces, al aplicar la segunda ley de Newton, el peso se debe descomponer en los nuevos ejes, quedando Eje x P x F r = ma x Eje y P y N = ma y N = P y = mg cos α Quedando la aceleración restringida al eje x (a y F r = µn, nos queda = 0) y sabiendo que mg sin α F r = ma = a = g(sin α µ cos α) DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 3
2 Se aplican las siguientes fuerzas sobre un objeto: 15 N en la dirección horizontal (sentido positivo), 20 N en dirección 30 o sobre la horizontal y 25 N en la dirección vertical ascendente. Calcula la fuerza resultante que actúa sobre el objeto y dibuja su vector a escala (5 N : 1 cm). Primero se dibujan y después tomando parejas de vectores se obtienen las resultantes correspondientes 8 7 R 2 6 5 F 3 R 1 4 y (cm) 3 2 1 0 α F 2 F 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x (cm) La primera resultante, R 1 = F 1 +F 3 con 59 o sobre la horizontal, y la resultante final del sistema, R 2, queda como suma de R 2 = R 1 +F 2. En cuanto al módulo de la primera resultante queda, F R = F 2 1 + F 2 3 + 2F 1 F 3 cos α = 15 2 + 25 2 + 2 15 25 cos 90 = 29, 15 N y por último, el módulo de la resultante final, F R = R1 2 + F2 2 + 2R 1 F 2 cos α = 29, 15 2 + 20 2 + 2 29, 15 20 cos 29 = 47, 63 N DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 4
3 Al realizar una experiencia para calcular la constante elástica de un muelle se han obtenido lo siguientes resultados: F (N) 0 5 10 15 20 x(cm) 0,0 2,1 4,0 6,0 7,9 a) Representa los datos de la tabla en una gráfica. Cúal es el valor de la constante elástica del muelle? b) Cúal es la masa de un cuerpo que cuelga del muelle y que produce un alargamiento de 12 cm? a) El valor de la constante elástica se halla tomando cualquier par de datos de la tabla, ya que como vemos la gráfica es una recta y por tanto, la constante no varía. F (N) 30 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x (cm) Aplicando la ley de Hooke, F = k l k = F l k = 10 4 10 2 = 250 N m b) Como ya tenemos el valor de la constante elástica y nos dan el alargamiento del muelle, podemos hallar la fuerza que ejerce la masa al colgar del muelle, concretando, podemos conocer su peso. F = k l = 250 0, 12 = 30 N = P P = mg m = P g = 30 10 = 3 kg 4 Sobre un automóvil de 1000 kg que se mueve a una velocidad de 20 m/s actúa una fuerza constante de 3000 N en el sentido del movimiento. a) Calcular la aceleración del móvil. b) Cúal es la velocidad del móvil 4 s después?. c) Qué distancia recorre el móvil en ese tiempo?. DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 5
d) Repetir todos los apartados para el caso de que la fuerza se aplique en el sentido opuesto. a) Lo primero, dibujar la situación que nos están diciendo y colocar las fuerzas que actúan sobre el móvil N F m La segunda ley de newton nos queda, P 1 ΣF = ma = F m = ma a = F m m = 3 m/s2 b) Conocemos la aceleración del móvil y la velocidad que lleva, por tanto al cabo de 4 s llevará una velocidad v = v 0 + at = v = 20 + 3 4 = 32 m/s c) De igual forma, aplicando la expresión que relaciona el espacio y el tiempo en un movimiento rectilineo uniformemente acelerado nos queda, s = s 0 + v 0 t + 1 2 at2 = s = 20 4 + 1 2 3 42 = 104 m d) Si la fuerza es en sentido opuesto, el coche se esta frenando, por tanto la aceleración es la misma pero con sentido negativo, a = 3 m/s 2, la velocidad y el espacio recorrido son, v = v 0 + at = v = 20 3 4 = 8 m/s s = s 0 + v 0 t + 1 2 at2 = s = 20 4 1 2 3 42 = 56 m 5 Se tiene una polea simple de la que cuelgan dos bloques de masas 1 kg y 2 kg. DAO: g= 10 m/s 2. a) Dibuja un esquema de la situación en el que aparezcan las fuerza implicadas. b) Calcula el valor de la aceleración del sistema. DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 6
c) Si el bloque de 2 kg se encuentra suspendido inicialmente a 4 metros del suelo, Cuánto tiempo tardará en alcanzar el suelo desde su posición inicial? d) Cúal será la velocidad de ese bloque en el instante en que llega al suelo? a) Dibujamos nuestro sistema físico y ponemos las fuerzas que aparecen en el sistema. m 1 m 2 P 1 P 2 b) Aplicando a las dos masas la 2 a ley de Newton P 1 = m 1 a P 2 = m 2 a enemos 2 ecuaciones con 2 incognitas (, a), resolviendo el sistema P 2 P 1 = (m 1 + m 2 )a = a = P 2 P 1 (m 1 + m 2 ) = 3, 3 m/s2 c) Como ya sabemos la aceleración que tiene el sistema, para hallar el tiempo que tarda en llegar al suelo tenemos que aplicar una expresión matemática correspondiente a un M.R.U.A. s = s 0 + v 0 t + 1 2 at2 omando el s 0 = 0 m y v 0 = 0 m/s, nos queda, 4 = 1 2 3, 1 t2 t = 8 3, 3 = 1, 5 s DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 7
d) Igual que antes debes utilizar las expresiones de un M.R.U.A., tomando v 0 = 0 m/s,la velocidad en el instante que llega al suelo es, v = v 0 + at = v = 3, 3 1, 5 = 4, 95 m/s 6 La conductora de un automóvil que circula a 120 km/h observa un obstáculo en la calzada y pisa el pedal del freno (a=-5 m/s 2 ). Desde que observa el obstáculo hasta que frena, el automóvil recorre 24 m. Al final, el automóvil se para a sólo 1,7 m del obstáculo tras ir frenando durante 3 s. a) Calcula la distancia recorrida y la fuerza ejercida durante la frenada (1000 kg de masa). b) Si el maletero hubiese llevado una carga adicional de 150 kg habría podido evitar el accidente la conductora? a) Realizamos el dibujo y colocamos las fuerzas implicadas, N F m P 1 Sabiendo que 120 km = 3, 33 m y la aceleración que lleva, podemos hallar h s el espacio que recorre el automóvil desde que comienza a frenar hasta que se para. Por tanto, s = s 0 + v 0 t + 1 2 at2 = 24 + 33, 3 3 + 1 2 ( 5) 32 = 101, 4 m Si el coche tiene una masa de 1000 kilos y la aceleración es de 5m/s 2, la fuerza necesaria para que el coche se frene es de, F = ma = F = 1000 ( 5) = 5000 N Que la fuerza tenga signo negativo nos esta indicando que su sentido es contrario al movimiento del coche. DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 8
b) Si lleva una carga adicional en el maletero, entonces la masa del coche es mayor, pasa a ser de 1150 kilos, y la aceleración de frenado en este caso es de, F = ma = a = 5000 1150 = 4, 34 m/s2 siendo el espacio que recorre s = 24 + 33, 3 3 + 1 2 ( 4, 34) 32 = 104, 37 m Si en el apartado a, se quedaba a una distancia de 1,7 metros del obstáculo, con estas nuevas condiciones recorre un espacio de 2,97 metros más, por tanto, el coche chocaría con el obstáculo como consecuencia del aumento de masa. 7 Un bloque de 5 kg de masa se mueve con una aceleración de 2,5 m/s 2 por una mesa horizontal bajo la acción de una fuerza de 20 N que forma un ángulo de 30 o con la horizontal. Averigua: a) La fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el plano. b) Sabiendo que la fuerza de rozamiento es F r = µn, siendo µ el coeficiente de rozamiento y N la normal. Halla el coeficiente de rozamiento. F r N α F P a) Una vez dibujado el sistema podemos ver más claramente cuál es la resultante de las fuerzas y poder aplicar la segunda ley de Newton. Como vemos, tenemos una fuerza que forma un ángulo con la horizontal de 30 o, esto provoca que tengamos que descomponer la fuerza en los ejes x e y. F x = F cos α = F cos 30 = 17, 32 N F y = F sin α = F sin 30 = 10 N DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 9
El enunciado nos dice que el bloque se mueve sobre la mesa, esto es, sobre el eje Ox, por tanto, no existe aceleración en el eje y. Sólo tenemos movimiento sobre el eje x, aplicando la segunda ley de Newton, ΣF = ma = F cos α F r = ma F r = F cos α ma = 20 cos 30 o 5 2, 5 = 4, 8 N b) Para hallar este apartado tenemos que ver cuanto vale la normal, por tanto tenemos que plantear la segunda ley de Newton sobre el eje y, ΣF = ma = F sin α + N P = ma a=0 = N = P F sin α Siendo el valor del coeficiente de rozamiento, F r = µn = µ(p F sin α) µ = F r P F sin α = 4, 8 50 20 sin 30 = 0, 12 8 Un bloque de masa m 2 = 6 kg que descansa sobre un plano horizontal, esta unido mediante una cuerda sin masa que pasa por una polea a un segundo bloque de masa m 1 = 2 kg suspendido verticalmente. Calcula la aceleración con que se mueve el sistema y la tensión de la cuerda que une los dos cuerpos. No existe rozamiento entre el cuerpo 2 y el plano inclinado. N P 2 P 1 DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 10
Para hallar el valor de la aceleración y la tensión que sufre la cuerda aplicamos la segunda ley de Newton ΣF = m a. MÉODO MAEMÁICO En este método hay que tener muy en cuenta el sistema de signos adoptado, la aceleración y el peso del bloque 1, al descender son negativos y su tensión positiva. Cuerpo sobre plano = m 2 a Cuerpo suspendido P 1 = m 1 ( a) eniendo en cuenta que al estar ambos unidos por una cuerda que pasa por una polea sin masa, ambos tienen la misma aceleración y sus tensiones son iguales pero de sentido contrario. Podemos igualar el sistema y hallar así la aceleración. m 2 a P 1 = m 1 ( a) P 1 = m 1 a + m 2 a = a = m 1g m 1 + m 2 = 2, 45 m/s 2 Para hallar la tensión, basta con sustituir el valor de la aceleración en cualquiera de las ecuaciones que representa la segunda ley de Newton de cada bloque, Cuerpo sobre plano = m 2 a = 14, 7 N Cuerpo suspendido P 1 = m 1 ( a) = = P 1 m 1 a = 14, 7 N MÉODO FÍSICO En el método físico, directamente tomamos la misma aceleración y puesto que la polea no tiene masa, la misma tensión en ambos bloques pero observando que esta tensión tiene sentido opuesto en ambos bloques. Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica, Cuerpo sobre plano = m 2 a DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 11
Cuerpo suspendido P 1 = m 1 a P 1 = m 1 a + m 2 a = a = m 1g m 1 + m 2 = 2, 45 m/s 2 De nuevo para hallar la tensión, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones, Cuerpo sobre plano = m 2 a = 14, 7 N Cuerpo suspendido P 1 = m 1 a = = P 1 m 1 a = 14, 7 N Ambos métodos son idénticos, dan la misma expresión para la aceleración (ver formulas recuadradas), dan los mismos valores para la tensión y en los dos, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la aceleración y la tensión. 9 Un cuerpo de masa m 2 = 6 kg se halla sobre un plano inclinado de 30 o y esta unido, mediante una cuerda ligera que pasa por una polea, a otro cuerpo de masa m 1 = 2 kg que pende verticalmente. Calcula la aceleración con que se mueve el sistema y la tensión de la cuerda que une los dos cuerpos. No existe rozamiento entre el cuerpo 2 y el plano inclinado. Este ejercicio es sin duda el más complicado y os encontraréis muchos de este tipo el próximo año. Vamos a ello. N P 2x α α P 2 P 2y P 1 DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 12
enemos dos cuerpos unidos por una cuerda que pasa por una polea sin masa, por tanto, la aceleración es la misma para los dos cuerpos y sus tensiones también. Un cuerpo se encuentra en un plano inclinado (habrá que rotar los ejes y entonces el peso habrá que descomponerlo en esos ejes) y otro suspendido; en el segundo bloque al no existir rozamiento nos podemos olvidar del eje y. La descomposición del peso del segundo bloque nos da, P 2x = P 2 sin α P 2y = P 2 cos α Siendo α el ángulo del plano inclinado. Bien, como no sabemos el sentido del movimiento de nuestro sistema, hay que elegir uno; consideramos que mi sistema se mueve de derecha a izquierda, esto es, el peso suspendido cae y arrastra en su movimiento al cuerpo del plano inclinado. Cuerpo sobre plano P 2x = m 2 a Cuerpo suspendido P 1 = m 1 a enemos dos ecuaciones con dos incógnitas, resolviendo m 1 g m 2 g sin α = (m 1 + m 2 )a = a = g(m 1 m 2 sin 30) m 1 + m 2 = 1, 22 m/s 2 Fijaros, me da una aceleración negativa, esto significa que el sistema realmente se esta moviendo de derecha a izquierda, no como habíamos supuesto donde el peso suspendido arrastraba al bloque que estaba en el plano inclinado. Por tanto, si nosotros tomaramos de nuevo las ecuaciones y cambiaramos de signo el primer miembro de cada una, el resultado nos daría una aceleración positiva de valor a = 1, 22 m/s 2. Para hallar la tensión, se trabaja como siempre, sustituyendo en cualquier ecuación de mi sistema (donde se ha cambiado el sentido del movimiento). Cuerpo sobre plano P 2x = m 2 a = P 2x m 2 a = 22, 08 N DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 13
Cuerpo suspendido P 1 = m 1 a = m 1 a + P 1 = 22, 08 N 10 Calcula el peso de un objeto de 25 kg dentro de un ascensor que: a) Sube aumentando su velocidad en 1,5 m/s cada segundo. b) Sube disminuyendo su velocidad en 1,5 m/s cada segundo. c) Baja a velocidad constante. Antes de realizar los distintos apartados vamos a estudiar este sistema. enemos un objeto, sobre una báscula, en el interior de un ascensor que puede subir o bajar y lo que queremos averiguar es la indicación de la báscula. Bien, nuestro estudio se centra en el movimiento del objeto, no el de la báscula ni el del ascensor y tanto la báscula como la tierra ejercen fuerzas a considerar sobre ese objeto. La báscula ejerce una fuerza vertical hacia arriba sobre el objeto que es la normal, la otra fuerza es debida a la acción gravitatoria, su peso. Ahora, estamos en condiciones de aplicar la segunda ley de Newton, ΣF = ma = N P = ma Aplicando esta ecuación a todos los apartados tenemos resuelto el problema teniendo en cuenta que nosotros queremos saber que indica la báscula, esto es, queremos conocer el valor de la Normal a) N P = ma = N = ma + mg = m(a + g) = 282, 5 N b) N P = m( a) = N = mg ma = m(g a) = 207, 5 N c) N P = ma a=0 = N = mg = mg = 245 N DEPARAMENO DE FÍSICA Y QUÍMICA 14