------------------------------------------------------------------------------------------------- EJERCICIO 514: LA ORBITA DE TRANSFERENCIA DE HOHMANN, O COMO VIAJAR A OTROS PLANETAS ------------------------------------------------------------------------------------------------- OBJETIVOS - Conocer como se puede viajar a otros planetas. Viajar a un planeta implica saber transferir de una órbita a otra. - Familiarizarse con la órbita de transferencia de Hohmann - Planear un viaje a Marte - Saber graficar una órbita 1. Introducción Ha pensado alguna vez como se puede viajar a otro planeta? No es así de obvio, porque aunque usted apunte su cohete en la dirección de un planeta, cuando llegue allí ya no estará, y entonces usted estará perdido en el espacio, un asunto nada agradable. Además, el espacio es inmenso! Así que como se hace para ir de un lugar a otro en el espacio sin perderse?: La órbita de transferencia de Hohmann! Tarea 1. Vea la película El Marciano ( The Martian ). Esta película tiene mucho que ver con mecánica celeste, y para viajar a Marte se menciona específicamente la órbita de Hohmann. Tenga a mano papel y lápiz, y escriba todo lo que tenga que ver con órbitas en la película. Por ejemplo, tiempo de viaje, tiempo de comunicación, velocidades de encuentro, etc. Una vez que usted haya calculado estas variables, concluya si la película es científicamente correcta, o si contiene errores. 2. Planeando una misión a Marte La NASA está pensando en mandar un navío a Marte. Vamos a reproducir esta misión, pero en forma simplificada. La fecha de inicio de la misión es hoy, en este momento en que está leyendo estas líneas. Averigüe los datos orbitales de Marte. Ojo con las unidades. Estos elementos están identificados en la Figura 1. Como la órbita es circular solo nos interesan algunos elementos.
PARAMETRO MARTE LA TIERRA a = semieje mayor [UA] e = excentricidad i = inclinación [ ] PORB = período orbital [d] n = movimiento medio [ /d] PROT = Período de rotación sobre si mismo [h] VORB=Velocidad orbital [km/s] Figura 1. La órbita en el espacio. Los elementos orbitales menos la excentricidad, e, han sido identificados. Note que muchas veces se usa el ángulo Ω + ω para orientar la posición del perihelio respecto al punto vernal γ, aunque no estén en el mismo plano. El ángulo Θ es la anomalía verdadera o la longitud eclíptica del objeto si la órbita es circular.
Su inclinación respecto a la eclíptica es diferente de cero pero para simplificar el problema supongamos que vale i = 0º. Igualmente coloque la excentricidad de la Tierra y del planeta igual a cero, e = 0. Posteriormente se podría hacer una corrección para tomar en cuenta los valores correctos de estas dos cantidades. Pero por ahora necesitamos aprender el procedimiento. El navío espacial parte de una órbita de aparcado alrededor de la Tierra, y suponga que el navío ya se encuentra en esa órbita. O sea, no la vamos a calcular. Del mismo modo la llegada significa que el navío va a entrar a otra órbita de aparcado, pero alrededor de Marte. El lanzamiento debe llevar al navío a la órbita cerca de Marte. Una vez allí los cohetes pueden aumentar o disminuir la velocidad para entrar a esa órbita de aparcado, así que usted necesita saber la velocidad relativa entre el navío y Marte a la llegada, y eso es parte del problema. Se aprecia que saber viajar a otros planetas implica saber cómo cambiar de una órbita a otra. En este problema solo consideraremos la primera parte del problema la cual es como llegar a la órbita de Marte. La órbita de regreso es el problema inverso y es más fácil de resolver si se ha resuelto la ida. Tarea 2. Tomemos como fecha de inicio el 21 de Marzo del 2016. En esa fecha LONGITUD ECLIPTICA DE LA TIERRA = 0 LONGITUD ECLIPTICA DE MARTE = 210.5 Con la información de arriba y usando como órbita de transferencia una semi-elipse u órbita de Hohmann (ver Figura 2): 1) Calcule el semieje mayor de la órbita de Hohmann y su excentricidad: 2 anavio = atierra + amarte anavio = 2) Calcule el período de la órbita PORB y de ahí el tiempo de viaje TVIAJE = PORB / 2. 3) Calcule el movimiento medio de cada planeta en su órbita. Como las
órbitas son circulares esto vale n = 360 / PORB. 4) El navio tarda en viajar hasta Marte TVIAJE. En ese tiempo se desplaza 180 en longitud eclíptica. Calcule que ángulo se desplaza Marte en ese tiempo, Θ1. Entonces la posición de Marte en longitud eclíptica es λmarte-init = 180 - Θ1. Cuando la Tierra está en longitud eclíptica 0, Marte tiene que estar en longitud eclíptica λmarte-init para que los dos se encuentren después de TVIAJE. 5) Ahora haga una tabla así cada 15 días: Fecha No de días a partir del λtierra λmarte λt -- λm 2016 03 21 2016 03 21 0 0 210.5 210.5 2016 04 05 - - - - - - - - 5) Verifique que al momento de la llegada son iguales, sino no se encuentran. 6) Calcule la velocidad media de Marte en su órbita, y la velocidad del navío en el afelio, y restándolas determine la velocidad relativa en el encuentro. 7) Para entrar en órbita de aparcado de Marte, tiene que frenar el navío o tiene que acelerarlo? 8) Cuál es la mejor distancia al centro de Marte, de la órbita de aparcado? 9) Cual punto sobre la Tierra minimiza la energía de lanzamiento? 10) Que hora es mejor para hacer el lanzamiento? 11) En que dirección hay que salir, Este u Oeste? 12) Calcule la velocidad de lanzamiento. 13) Qué sucede si el lanzamiento no es el día calculado sino el día
antes o el día después? Hay una ventana de lanzamiento? Que la produce? 15) Enviamos un mensaje al navío cuando está en Marte. Cuánto tiempo toma en llegar la respuesta? 16) Es factible una misión tripulada o sería mejor una misión robotizada? Considere la posibilidad de enviar una misión robotizada para traer muestras de la tierra de Marte, a fin de hacer pruebas de agricultura en la Tierra. 17) Dibuje la órbita de la Tierra, la órbita de Marte y la órbita de transferencia a escala e indique los puntos claves de la misión. 18) Ahora puede responder la pregunta sobre la película de Marte. Es la película fiel a los parámetros científicos, o tiene errores? En su trabajo indique sus procedimientos y el software utilizado. Consulte en internet detalles de este método utilizando palabras claves. Como puede apreciar, el viajar a otros planetas necesita conocer cómo funciona la mecánica celeste. El problema no ha terminado realmente, pues no hemos hablado de cómo llegar a la órbita de aparcado, ni cómo resolver el problema si la inclinación y la excentricidad son diferentes de cero, ni como bajar desde la órbita de aparcado de Marte hasta la superficie del planeta. Ni como regresar a la Tierra una vez cumplida la misión. Ni cuanto combustible se necesita. Ni cual es el volumen de habitabilidad dentro del navío. Ni cuanta comida hay que almacenar. Ni cual es el número óptimo de tripulantes. Ni cual es la potencia de los motores, etc.
Figura 2. Un esquema de la órbita de transferencia de Hohmann para el viaje de ida. Es una semi-elipse cuyo perihelio es igual al radio de la órbita de la Tierra, y cuyo afelio es igual al radio de la órbita de Marte. Para familiarizarse con el problema es suficiente tomar las órbitas como circulares. Los planetas se han desplazado durante el transcurso del viaje. Este dibujo no está a escala. Moraleja: Viajar a los planetas no es fácil y requiere de mucha energía.