Práctica : Gráficos en Mathematica
. EL COMANDO PLOT. Empecemos por el uso de Plot para hacer la gráfica en dos dimensiones de una función de una variable. La orden Plot necesita al menos dos argumentos, una expresión expr, y un rango. El rango es un triplete (lista de tres elementos): la variable de la expresión, x, un valor mínimo, x min, y un valor máximo, x max. Plot[expr, {x, x min, x max }] La orden siguiente: In[]:=Plot[x^+5x+6, {x, -, 5}] produce la gráfica de la parábola x + 5x+ 6 para x en el rango [-,5]. El punto y coma del final de la línea suprime la linea de output Mathematica no sólo puede graficar funciones que tienen valores finitos, sino también funciones que tienden a o que tienen singularidades. In[]:= Plot[Csc[x],{x,- Pi, Pi}] 5 5-6 - - -5 La orden Plot puede también dibujar varias curvas simultáneamente, basta con da una lista de funciones de la misma variable. Si es necesario - -5 5
diferenciar las curvas, pueden usarse distintos estilos de línea, como punteado, grueso, gris, coloreado, etc.. OPCIONES DE PLOT. Cuando Mathematica dibuja una gráfica, debe tomar muchas decisiones. Las decisiones que toma dependen de los valores de las opciones (options). Mediante??Plot o la orden Options puede ver todas las opciones para la función Plot junto con sus valores por defecto. Las opciones se pueden especificar en cualquier orden después de los argumentos requeridos. Plot[expr, {x, x min, x max }, opciones] Las opciones se especifican dando el nombre de la opción junto con el valor. Una opción es una regla de la forma NombreDeOpción -> ValorDeOpción, donde NombreDeOpcion es el nombre de la opción y ValorDeOpcion es el valor que se le ha de asignar. Si no se especifica una determinada opción, se usa su valor por defecto. Si queremos obtener la gráfica de la función Sin[x] / [x] en el rango imagen [-.,], ordenaremos a Mathematica: In[5]:= Plot[Sin[x]/x,{x, -, },PlotRange ->{-., }];.8.6.. - - -. Ejercicio: Usa la orden??plot o bien Options[Plot] para pedirle a Mathematica que muestre las opciones de Plot. 6
Ejercicio: Usa la indexación para pedirle a Mathematica que muestre las opciones anteriores una a una. (Ayuda: usa [[i]]) AspectRatio: Indica la proporción entre la altura y la anchura del gráfico. El valor por defecto es /GoldenRatio. Ejemplo: Vamos a representar la parábola x la altura por defecto y con la anchura triple que Plot[x^,{x,-,}] Plot[x^,{x,-,},AspectRatio->/] - - - - 7
Axes: Esta opción permite elegir al usuario si desea que se incluya un eje, los dos, o ninguno en la gráfica. Plot[x^,{x,-,}] Plot[x^,{x,-,},Axes->False] - - Plot[x^,{x,-,}, Axes->{True,False}] - - AxesLabel: Permite etiquetar los ejes. Plot[x^,{x,-,}, AxesLabel->{"EJE X", None}] - - EJE X 8
AxesOrigin: Permite indicar el punto en el que se considerará el origen del gráfico. Plot[x^,{x,-,}, AxesOrigin->{,}] - - BackGround: Permite dar color al fondo del gráfico, pudiendo optar entre CMYKColor, GrayLevel, Hue o RGBColor. Plot[x^,{x,-,}, Background->GrayLevel[.8]] - - 9
DefaultFont: Indica el tipo de letra a utilizar en el gráfico. Plot[x^,{x,-,}, LabelStyle->{FontFamily->"Arial",FontSize->}] - - Ticks: Por defecto se dibujan los ejes con marcas para cada valor, pero si especificamos None, no habrá marcas. Plot[x^,{x,-,}, Ticks->{Automatic,None}] - -
Frame: Esta opción permite incorporar marco al gráfico. Plot[x^,{x,-,}, Frame->True] - - FrameLabel: Esta opción, junto con Frame, permite etiquetar el marco, en sentido horario. Plot[x^,{x,-,}, Frame->True,FrameLabel->{"Ancho","Largo"}] Largo - - Ancho
FrameTicks: Esta opción, junto con Frame, permite incluir marcas en el borde del marco. FrameTicks->Automatic es la opción que aparece por defecto. Si no deseamos marcas, lo indicaremos de la forma siguiente Plot[x^,{x,-,},Frame->True,FrameTicks->False] GridLines: Nos permite incorpar una cuadrícula. Plot[x^,{x,-,},GridLines->Automatic] - -
PlotLabel: Permite incorpar un título a nuestra gráfica. Plot[x^,{x,-,},PlotLabel->"Parábola x^"] Pará bola x^ - - PlotRange: Permite elegir el rango de variación de las coordenadas. Plot[x^,{x,-,},PlotRange->{-,}].75.5.5 - - -.5 -.5 -.75 -
PlotStyle: Permite elegir aspectos de la gráfica como el grosor, el color,... Thickness: para el grosor. Este argumento es un número real entre y. RGBColor: representa el color. El argumento depende de tres parámetros, el primero corresponde al color rojo, el segundo el verde y el tercero al azul; los tres comprendidos entre y. GrayLevel: representa las diferentes tonalidades de sombras grises; es un número real entre y. Dashing: línea a trazos; es un número real entre y. Plot[x^,{x,-,},PlotLabel->"Este trazo es rojo", PlotStyle->{{Thickness[.5],RGBColor[,,]}}] Este trazo es rojo - - Plot[x^,{x,-,},PlotLabel->"Este trazo es gris", PlotStyle->{{Thickness[.],GrayLevel[.6]}}] Este trazo es gris - -
Plot[x^,{x,-,},PlotStyle->Dashing[{.5}]] - - PlotPoints: Indica número mínimo de puntos en los que es evaluada la función. Plot[x^,{x,-,},PlotPoints->5] - - MaxRecursion: Señala el valor máximo de subdivisiones de la evaluación de la función. 5
Plot[x^,{x,-,},PlotDivision->5].5.5.5 - -.5.5 Ejercicio: Pon un ejemplo del resto de las opciones de Plot sobre cualquier función. 6
. EL COMANDO LISTPLOT. Supongamos generada una lista de puntos usando la orden Table, como por ejemplo: lista=table[{i,i^},{i,-,}] {{-, -8}, {-, -}, {, }, {, }, {, 8}, {, 7}, {, 6}} Podemos representar estos puntos con la orden: ListPlot[lista] 6 5 - - o también, usando la opción Joined->True ListPlot[lista,Joined->True] 6 5 - - ListPlot también admite la opción PlotStyle. Por ejemplo, introduciendo la instrucción PointSize[ ], controlaríamos el tamaño de los puntos. 7
ListPlot[lista,PlotStyle->PointSize[.]] 6 5 - - - También es posible crear gráficas con colores mediante la opción PlotStyle->Hue[m], con m, de manera que a medida que aumenta m se pasa por los colores rojo, amarillo, verde, azul, etc. ListPlot[lista,PlotStyle->Hue[]] 6 5 - - - 8
. EL COMANDO SHOW. Básicamente, esta orden permite producir diferentes combinaciones de gráficos: muestra gráficos ya existentes, solapa gráficas, representa simultáneamente varios gráficos en forma matricial, etc. Ejemplo: Si inicialmente dibujamos las gráfica de las funciones seno y coseno g=plot[sin[x],{x,- Pi, Pi}] g=plot[cos[x],{x,- Pi, Pi}].5.5-6 - - 6 -.5-6 - - 6 -.5 - - Y si posteriormente deseamos combinarlas, podemos: Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,- Pi, Pi}] o bien: Show[{g,g}]..5-6 - - 6 -.5 -. 9
.. El comando GraphicsArray. Si queremos representar simultáneamente varios gráficos en forma de una matriz, utilizaremos GraphicsArray. Ejemplo: Sean: f=plot[x,{x,- Pi, Pi}]; f=plot[x^,{x,- Pi, Pi}]; f=plot[x^,{x,- Pi, Pi}]; f=plot[x^,{x,- Pi, Pi}]; Además, el comando GraphicsArray tiene una opción que es GraphicsSpacing que permite fijar el espacio entre los dibujos. GraphicsArray[{{f,f},{f,f}}, GraphicsSpacing->{,.5}]; 6-6 - - - 6 - -6-6 - - 6-6 - - - 6-5 5-6 - - 6
.. El comando Graphics. Utilizando la orden Show[Graphics[]] podemos pedir a Mathematica que nos dibuje tanto puntos y líneas, como figuras geométricas planas como por ejemplo un círculo, una elipse, un cuadrado, etc. Veamos algunos ejemplos. PUNTO punto=point[{,}]; Show[Graphics[punto],Axes->True].5.5 LINEA linea=line[{{,},{,}}]; Show[Graphics[linea],Axes-> True].5.5.5.5 CIRCULO circulo=circle[{,},]; Show[Graphics[circulo],Axes-> True,AspectRatio->]...6.8 ELIPSE elipse= Circle[{,},{,.5}]; Show[Graphics[elipse],Axes-> True].5.5..5..5.5..5.5.5..5.
Obviamente, podemos ir combinando estas instrucciones, por ejemplo: linea={dashing[{.,.}],line[{{,},{,}}]}; Show[Graphics[linea],Axes->True] También podemos fijar el tamaño de un punto, añadir texto, etc. El comando PointSize permite elegir el tamaño del punto, (recordemos que su argumento es un número real entre y ). Con la opción Text podemos añadir un texto, prefijando las coordenadas. Ejemplo: punto= {PointSize[.],Point[{,}]}; Show[Graphics[ {punto}],axes->true, AxesOrigin->{,}]] t=text[ Punto P,{,}]; Show[Graphics[ {punto,t}],axes->true, AxesOrigin->{,}].5.5 Punto P.5.5.5.5.5.5
5. EL COMANDO PLOTLEGEND. Vamos a utilizar, cargándolo previamente, el archivo Legend.m incorporado en la carpeta Graphics. <<Graphics/Legend.m {t,b}={,.5}; {l,r}={-,.5}; Plot[{x^,x},{x,-,},AspectRatio->, PlotStyle->{Dashing[{.}],Dashing[{.}]}, PlotLegend->{"x^","x"},LegendPosition->{t,b}] 6 x^ x - - - - 6. GRÁFICAS EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS. Mathematica también permite la representación de curvas en coordenadas polares. Curvas planas. A modo de ejemplo, la utilización de la función ParametricPlot es como sigue: ParametricPlot[{{Cos[t],Sin[t]}},{t,, Pi}, AspectRatio->] Curvas en el espacio.
Análogamente: ParametricPlotD[{{Sin[5 t],cos[5 t],sqrt[t]}},{t,, Pi}] -.5 - -.5 -.5.5 7. EJEMPLOS DE GRÁFICAS DE SUPERFICIES. Utilización de la función PlotD: PlotD[x^-y^,{x,-5,5},{y,-5,5}] - - - - - Utilización de la función ListPlotD:
El argumento principal de esta función es una matriz. ListPlotD[Table[Sin[x y^],{x,,pi,pi/5},{y,,pi,pi/5}]].5 -.5-5 5 5 Utilización de SphericalPlotD: 5 Esta función se encuentra en el archivo ParametricPlotD. En primer lugar lo cargamos: <<Graphics/ParametricPlotD.m SphericalPlotD[,{phi,, Pi},{theta,,Pi}] -.5 -.5.5 -.5 - - -.5.5 5
Mathematica también puede visualizar intersecciones de superficies. Por ejemplo: cilindro=plotd[x^,{x,-,},{y,-,}]; cilindro=plotd[-y^,{x,-,},{y,-,}]; Show[{cilindro,cilindro}] - - - - cilindro=plotd[-y^,{x,-,},{y,-,}]; paraboloide=plotd[ x^+y^,{x,-,},{y,-,}]; Show[{cilindro,paraboloide}] 6