Guía de Materia El nucleo atómico

Física Guía de Materia El nucleo atómico Módulo Electivo IV Medio www.puntajenacional.cl Nicolás Melgarejo, Verónica Saldaña Licenciados en Ciencias Exactas, U. de Chile Estudiantes de Licenciatura en Educación, U. de Chile

1. El núcleo atómico El núcleo atómico de cualquier elemento está constituido por dos tipos de partículas: protones y neutrones, a excepción del hidrógeno ordinario, el cual posee sólo un protón en su núcleo. Los neutrones vencen la repulsión eléctrica que se genera entre los protones, dándole estabilidad al núcleo atómico, el que es posible describir a través del número de protones y neutrones que posea, para ello se utilizan las siguientes cantidades: El número atómico Z indica la cantidad de protones en el núcleo. Note que si se trata de un átomo en estado neutro, el número de electrones será igual a Z. El número de neutrones N indica la cantidad de neutrones en el núcleo. El número de masa o número másico A indica el número de nucleones en el núcleo, es decir, protones más neutrones: A = Z + N (1) Para indicar estas características del núcleo de cierto elemento se utiliza la siguiente simbología: donde X es el símbolo químico del elemento. A ZX Ejemplo Determine la cantidad de protones, neutrones y electrones que posee un átomo neutro de cobre 63 9 Cu. Solución: La cantidad de protones en el núcleo está dada por el número atómico Z = 9. Dado que se trata de un átomo neutro, el número de electrones también es 9. El número másico corresponde a la cantidad de protones más neutrones en el núcleo, en este caso A = 63. Para determinar el número de neutrones calculamos la diferencia entre el número de masa A y el número atómico Z: A Z = 63 9 = 34 Por lo tanto, este átomo de cobre tiene 34 neutrones en su núcleo. 1.1. Isótopos Todos los átomos de un mismo elemento químico tienen igual número atómico Z, es decir, tienen la misma cantidad de protones, pero puede suceder que el número de neutrones N varíe. Los núcleos atómicos de un mismo elemento que se vinculen de este modo se conocen como isótopos. Ejemplos de iśotopos son los del carbono: 11 6 C, 1 6 C, 13 6 C y 14 6 C. Evidentemente en los cuatro isótopos el valor Z = 6 permanece constante, variando únicamente el número de neutrones, lo que implica que cambie el número de masa. El hidrógeno es otro elemento que posee isótopos: 1 1H, el hidrógeno corriente; 1 H, el deuterio; y 3 1H, el tritio.

1.. Tamaño y masa nuclear Experimentalmente se ha demostrado que la mayor parte de los núcleos atómicos son aproximadamente esféricos y poseen un radio r promedio dado por: r = 1, 10 15 3 A [m] () donde A es el número de masa. Claramente a mayor cantidad de protones y neutrones en el núcleo, mayor será el radio de éste. Debido a las minúsculas dimensiones con las que se trabaja en física nuclear, es conveniente utilizar la unidad de longitud llamada femtómetro [f m], más conocida como fermi, la cual equivale a: 1[fm] = 10 15 [m] El número másico A no debe confundirse con la masa del núcleo, A es un número entero positivo que indica la cantidad de protones y neutrones que tiene el núcleo, en cambio la masa del núcleo generalmente no es un número entero y corresponde a un promedio de las masas de los isótopos de existencia natural de un elemento dado. Debido a los minúsculos valores de la masa nuclear es conveniente utilizar la unidad de masa atómica [u], la cual equivale a: 1[u] = 1, 660539 10 7 [Kg] Partícula Masa [u] Carga [C] Protón 1, 00776 1, 6019 10 19 Electón 5, 48579 10 4 1, 6019 10 19 Neutrón 1, 008665 0 Note que la masa del protón es 1.836 veces mayor que la masa del electrón, por lo tanto, la masa del átomo se concentra principalmente en su núcleo. 1.3. Spín Desde el punto de vista de la mecánica clásica, el spín de una partícula subatómica corresponde al giro de ésta sobre su propio eje. El spín es considerado como una propiedad intrínseca de la partícula, independientemente del medio en que se encuentre. Desde la perspectiva de la mecánica cuántica, concebir que una partícula subatómica gira es algo incorrecto, ya que no es posible localizar y determinar con exactitud el movimiento de ésta debido a las implicancias del principio de incertidumbre de Heinsenberg. En 1.95 se evidencia experimentalmente que el electrón posee cierto momento angular intrínseco, aparte de su momento angular orbital, el cual puede describirse con el número cuántico magnético espín m s que puede adoptar dos valores: 1 y 1. Si m s = 1 se dice que el estado del electrón es de spín arriba, si m s = 1 el estado del electrón es de spín abajo. Ambos estados implican un sentido de giro particular, tal como se muestra en la figura 3

1.4. Quarks A partir de 1.964 se comienza a hablar de la existencia de partículas que constituyen a protones y neutrones, tales partículas fueron bautizadas como quarks por el físico estadounidense Murray Gell-Mann. Los quarks han podido detectarse en reacciones nucleares producidas al interior de aceleradores de alta energía, son seis partículas subnucleares que tienen la propiedad de poseer carga eléctrica fraccionaria y se les distingue según su sabor : up, down, charm, strange, top, y bottom, cada uno de estos tiene un antiquark con carga eléctrica opuesta. Hay dos quarks que se destacan por ser la base de los nucleones, el quark up que posee una carga igual a + 3 de la carga de un protón y el quark down que porta una carga de 1 de la carga de un protón. 3 El protón está conformado por la combinación de los quarks up, up y down; mientras que el neutrón se conforma por los quarks up, down y down. Por su parte, el electrón pertenece a la familia de los leptones, partículas elementales que no están formadas por quarks. Existen seis leptones que se distinguen según su sabor : electrón, muón, tau, neutrino - electrón, neutrino - muón y neutrino - tau; además de sus respectivos antileptones. Estas partículas, seis quarks y seis leptones, hoy son consideradas como las verdaderas partículas elementales de la materia.. Radiactividad En 1.895 el físico alemán Wilhelm Roentgen descubre los rayos X a partir de la experimentación con tubos de rayos catódicos, les denominó rayos X porque en esa época su naturaleza era desconocida, pero actualmente sabemos que los rayos X son ondas electromagnéticas de alta frecuencia, es decir, que portan gran cantidad de energía, lo que les permite atravesar muchas capas de átomos antes de ser absorbidos o dispersados. Por esta razón comenzaron a ser utilizados para la obtención de radiografías médicas, ya que pueden traspasar los tejidos blandos del cuerpo. Dos meses después de este hallazgo, el físico francés Henri Becquerel intentó determinar si existía algún otro elemento que emitiese rayos X de manera espontánea. Luego de varios intentos fallidos logró encontrar un elemento que sí producía rayos X, el uranio. Posteriormente se hallaron otros elementos que emitían rayos similares, tales como el torio, el actinio, el polonio y el radio, estos dos últimos descubiertos por Marie y Pierre Curie. Se determinó que la emisión de estos rayos no respondían a los cambios de estado orbital de los electrones, sino a cambios que se producían dentro del núcleo atómico, el cual se desintegra espontáneamente. La desintegración o decaimiento natural del núcleo de ciertos elementos es lo que se conoce como radiactividad, la cual se genera a partir de la inestabilidad del núcleo atómico. 4

La fuerza nuclear fuerte actúa dentro del núcleo atómico con una magnitud mayor a la que posee la fuerza eléctrica de repulsión entre los protones, siendo la responsable de mantener compacto al núcleo. La interacción fuerte es una fuerza de atracción que actúa entre los hadrones (todas las partículas compuestas por quarks) como protones y neutrones, es de corto alcance ya que se ejerce entre partículas que se encuentren a mas o menos 10 14 [m] de distancia. De este modo, cuando dos protones se hallan separados por esta distancia, la fuerza nuclear de atracción supera ampliamente a la fuerza de repulsión eléctrica, pero para protones que se encuentren a una mayor longitud de separación sucederá todo lo contrario, por ejemplo, en núcleos de mayor tamaño los protones que están en lados opuestos no se encuentran sometidos a la fuerza nuclear fuerte con tanta intensidad, por lo que la fuerza de repulsión entre ellos es mayor, perdiéndose estabilidad. Otro motivo por el que los elementos más pesados son más inestables es la desigual cantidad de neutrones y protones en su núcleo. En la naturaleza es posible hallar elementos químicos que poseen núcleos inestables, lo que implica que tienen actividad radiactiva, radiactividad natural. Mediante reacciones nucleares es posible crear elementos con núcleos inestables, los cuales tendrán una actividad radiactiva de naturaleza artificial ya que fueron producidos en el laboratorio, por lo que se habla de radiactividad artificial..1. Decaimientos alfa, beta y gamma Todos los elementos con número atómico Z 8 son radiactivos, emiten tres clases distintas de radiación: α alfa, β beta y γ gamma. Rayos alfa: Corresponde a un haz de núcleos de helio, es decir, un haz de partículas formadas por dos protones y dos neutrones, por lo que posee carga eléctrica positiva. Los rayos alfa son los menos energéticos, por lo que tienen una menor capacidad para penetrar la materia, de hecho pueden ser detenidas con unas cuantas hojas de papel. Rayos beta: Corresponde a un haz de electrones, por lo que posee carga eléctrica negativa. Pueden atravesar fácilmente una hoja de papel, pero se detienen al pasar por una lámina de aluminio. Rayos gamma: Corresponde a radiación electromagnética cuya frecuencia supera a la de los rayos X, es decir, es un flujo de fotones altamente energéticos, capaces de penetrar varios centímetros de plomo macizo. Al colocar una campo magnético que atraviese la trayectoria de los rayos, estos se separan. Debido a sus cargas eléctricas opuestas, los rayos α y β se desvían hacia lados opuestos, mientras que el campo magnético no afecta a los rayos γ ya que no poseen carga eléctrica, por lo que no se desvían... Proceso de decaimiento radiactivo En una muestra radiactiva, la rapidez con la que ocurre el proceso de decaimiento es proporcional al número N de núcleos radiactivos presentes en cualquier instante t de tiempo: N = λ N (3) t donde λ es la constante de decaimiento o desintegración. El signo negativo indica que la cantidad N de núcleos radiactivos va disminuyendo a medida que pasa el tiempo t debido a su desintegración. A partir de la ecuación (3) es posible hallar la expresión para el decaimiento exponencial de un material radiactivo: N = N 0 e λt (4) 5

donde N 0 es la cantidad inicial de núcleos radiactivos, es decir, cuando t = 0. Esta expresión nos permite hallar la cantidad de núcleos radiactivos, que pasado un tiempo t, aún no se han desintegrado...1. Vida media La vida media τ es un parámetro que sirve para caracterizar el decaimiento de un núcleo de un elemento particular, corresponde al tiempo que demora la mitad del número de núcleos radiactivos en decaer o desintegrarse. Como N 0 representa la cantidad inicial de núcleos radiactivos en la muestra, la mitad de ellos será N 0. Reemplazamos este valor en la expresión (4) y despejamos el valor de la vida media haciendo t = τ: N 0 = N 0 e λτ Simplificando y aplicando logaritmo natural a cada lado de la ecuación, función inversa a la exponencial, obtenemos la expresión para la vida media τ: τ = 0, 693 λ (5) Ejemplo Determine la constante de desintegración para un núcleo radiactivo de radio 6 88 Ra que tiene una vida media igual a 1, 6 10 3 años. Luego determine la cantidad de núcleos radiactivos presentes en un tiempo igual a la vida media, sabiendo que inicialmente la muestra es de 1.000 núcleos de radio. Solución: Para determinar el valor de la constante de desintegración λ, aplicamos la ecuación (5) de donde la despejamos: 0, 693 λ = τ Al considerar que un año equivale a 3, 16 10 7 segundos, transformamos la vida media τ del radio y la reemplazamos en la expresión anterior: λ = 0, 693 5 10 10 [s] = 1, 4 10 11 [s 1 ] La cantidad N de núcleos radiactivos presentes en un tiempo t = τ está dada por la ecuación (4), pero por definición en un tiempo igual a la vida media la cantidad de núcleos radiactivos debe ser igual a la mitad de la cantidad inicial N 0 de núcleos de radio, donde según el enunciado N 0 =1.000. Así en un tiempo t = τ hay 500 núcleos de radio que áun no han decaído. Desafío... En una muestra radiactiva hay N 0 núcleos inicialmente, cuántos núcleos radiactivos quedarán al cabo de cuatro vidas medias? Respuesta 6

... Decaimiento alfa Si un núcleo radiactivo emite una partícula alfa, es decir, un núcleo de helio 4 He, pierde dos protones y dos neutrones. De este modo el número atómico Z decrece dos unidades y el número de masa A decrece 4 unidades. La emisión de rayos alfa de un elemento radiactivo X también puede ser expresada de la siguiente manera: A ZX A 4 Z Y + 4 He (6) donde X es denominado núcleo padre e Y núcleo hija. Ejemplo El uranio-38 es un elemento que se convierte en torio-34 a través del proceso de decaimiento alfa. Cómo representa esquemáticamente esta transformación? Solución: Sabemos que en el proceso de decaimiento alfa se libera un núcleo de helio, por lo que el número de protones en el núcleo del uranio-38 disminuye en dos unidades, mientras que su número másico se reduce en 4 unidades ( protones más neutrones). Note que el núcleo padre es el uranio 38 9 U y el núcleo hija corresponde al torio 34 90 T h: 38 9 U 34 90 T h + 4 He Para confirmar que la expresión está correcta, verifique que se cumplan estas reglas generales: La suma de los números másicos A debe ser igual en ambos lados de la expresión. En este ejemplo 38 = 34 + 4 La suma de los números atómicos Z debe ser la misma en ambos lados de la ecuación. En este ejemplo 9 = 90 + Durante el proceso de decaimiento se libera cierta cantidad de energía, llamada energía residual Q, la cual se manifiesta en forma de energía cinética del núcleo hija y del núcleo de helio. Para determinar el valor de Q se utiliza la siguiente expresión: [ ] MeV Q = (m x m y m α ) 931, 5 (7) u donde m x corresponde a la masa del núcleo padre, m y es la masa del núcleo hija y m α la masa de la partícula alfa igual a 4, 03188[u]...3. Decaimiento beta Cuando un núcleo radiactivo experimenta un decaimiento beta, éste puede ser de dos tipos: Decaimiento beta positivo: Si un protón p del núcleo se transforma en un neutrón n, liberándose un positrón β + y un neutrino ν, se produce lo que se conoce como decaimiento β + : p n + β + + ν 7

Un positrón es una partícula idéntica al electrón en todos los aspectos, excepto que tiene una carga positiva, por este motivo es considerada la antipartícula del electrón. Un neutrino es una partícula sin carga eléctrica, la cual posee una masa en reposo menor a la del electrón, casi nula. Tiene un espín igual a 1 e interactúa muy débilmente con la materia. Un núcleo padre X que sufre un decaimiento β + puede ser representado por la expresión: donde Y es el núcleo hija. A ZX A Z 1Y + β + + ν (8) Decaimiento beta negativo: Si un neutrón n del núcleo se transforma en un protón p, liberándose un electrón β y un antineutrino ν, se produce lo que se conoce como decaimiento β : n p + β + ν Un antineutrino es la antipartícula del neutrino. Un núcleo padre X que sufre un decaimiento β puede ser representado por la expresión: donde Y es el núcleo hija. A ZX A Z+1Y + β + ν (9) Ejemplo El carbono-14 luego se sufrir un decaimiento β da origen a nitrógeno-14. Cómo representa esquemáticamente este proceso? Solución: Sabemos que en un decaimiento β se emite un electrón y un antineutrino, mientras que en el núcleo un neutrón se transforma en un protón. En este ejemplo el núcleo padre es el carbono-14 14 6 C y el núcleo hija es el nitrógeno-14 14 7 N: 14 6 C 14 7 N + β + ν Note que como un neutrón se trasforma en protón, el número de nucleones en el núcleo es el mismo, por lo tanto, el número másico A se mantiene constante en los núcleos padre e hija, pero el número atómico Z aumenta en una unidad ya que debido a esta transformación hay un protón más en el núcleo hija...4. Decaimiento gamma Cuando un núcleo radiactivo decae emitiendo un rayo gamma, sólo varía su estado energético. Cuando el núcleo se encuentra en un estado excitado producto de un previo decaimiento radiactivo o por una colisión violenta con otra partícula, éste necesita volver a un estado de menor energía a través de la emisión de una onda electromagnética de alta frecuencia: A ZX 0 A ZX + γ (10) donde A Z X0 representa al núcleo excitado de cierto elemento radiactivo X y γ corresponde a la cantidad de fotones emitidos, los cuales poseen una energía muy alta que varía entre 1[MeV ] y 1[GeV ]. 8

3. Relación entre masa y energía Albert Einstein relacionó la masa m y la energía E de la materia a través de la ecuación: E = m c (11) donde c corresponde a la velocidad de la luz igual a 3 10 8 [ ] m s. La gran magnitud de la velocidad de la luz determina que una masa muy pequeña corresponda a una enorme cantidad de energía. Así, la masa de toda materia en reposo es energía concentrada, la cual se denomina energía en reposo y existe a pesar de que no exista interacción entre la materia con algo más. Para crear masa se necesita energía y se libera energía cuando desaparece la masa, es decir, masa y energía son dos expresiones distintas de la misma cosa. Ejemplo Determine la energía en reposo de un electrón, exprese su resultado en [ev ]. Solución: La energía en reposo se determina calculando a cuánta energía E es equivalente la masa m del electrón igual a 9, 11 10 31 [kg]. Para ello utilizamos la ecuación (11): ( [ E = 9, 11 10 31 [kg] 3 10 8 m ]) = 8, 10 14 [J] s Para dimensiones tan pequeñas resulta conveniente utilizar la unidad de energía electrón-volt [ev ] en vez del Joule [J], donde: 1[eV ] = 1, 6 10 19 [J] Realizando la transformación obtenemos: E = 0, 511 10 6 [ev ] = 0, 511[MeV ] 4. Reacciones nucleares Al bombardear un núcleo con partículas energéticas es posible provocar un cambio en la estructura y las propiedades de éste. La colisión que se produce entre el núcleo X usado como blanco y la partícula energética a es llamada reacción nuclear, la cual genera un nuevo núcleo Y y una partícula b: 4.1. Captura neutrónica a + X Y + b (1) Reacción nuclear en la que un neutrón n con baja energía es capturado por un núcleo A ZX después de colisionar con él. Luego de esto, durante un período muy corto de tiempo, el núcleo queda en un estado excitado A+1 Z X 0, por lo que sufre un decaimiento gamma: n + A ZX A+1 Z X 0 A+1 Z X + γ (13) 9

4.. Fisión nuclear Reacción nuclear en la que un neutrón n con baja energía colisiona con un núcleo pesado, provocando que éste lo capture y quede en un estado excitado por un período muy corto de tiempo. Posterior a este lapso, el núcleo se fisiona o divide en dos núcleos más pequeños, liberando neutrones y gran cantidad de energía. La fisión más común es la obtenida por el núcleo de uranio-35, la cual puede ser representada por la siguiente expresión: n + 35 9 U 36 9 U 0 X + Y + neutrones + energía donde 36 9 U 0 es el núcleo en estado excitado, el cual dura unos 10 1 [s]. Los núcleos hijas resultantes X e Y son llamados fragmentos de fisión, en particular, en la fisión del uranio existen casi 90 núcleos hijas que pueden formarse, pero como ejemplo tomaremos al bario-141 y al kriptón-9: n + 35 9 U 141 56 Ba + 9 36Kr + 3 neutrones + energía Como los neutrones no poseen carga eléctrica no son repelidos por los núcleos atómicos, pudiendo actuar como balas capaces de causar la fisión de núcleos de uranio. Cada uno de los tres neutrones liberados en la reacción anterior colisiona a un nuevo núcleo de uranio, liberándose tres neutrones de cada choque, es decir, un total de nueve. Si cada uno de estos nueve neutrones fisiona a un núcleo de uranio, entonces se liberarán 7 neutrones más, y así sucesivamente. A esta secuencia se le denomina reacción en cadena. La masa combinada de los fragmentos de fisión y los neutrones que se producen luego de esta reacción es menor que la masa original del núcleo de uranio. La cantidad diminuta de masa restante se convirtió en energía de acuerdo a la ecuación (11). 4.3. Fusión nuclear Reacción nuclear en la que dos núcleos ligeros se combinan para formar un núcleo más pesado. La masa del núcleo final es menor que la suma de las masas de los dos núcleos ligeros, esta pérdida de masa se debe a la liberación de gran cantidad de energía de acuerdo a la ecuación (11). Se requiere de una elevada temperatura para que se produzca este tipo de reacciones, condiciones que se cumplen en estrellas como el Sol en donde la temperatura asciende a unos 1, 5 10 7 [K], produciéndose reacciones de fusión entre la abundante cantidad de hidrógeno, deuterio y tritio que poseen los astros. Cuando la materia alcanza temperaturas del orden de 10 8 [K] se dice que se encuentra en estado de plasma, el cual consta de iones positivos y electrones libres. Una de las reacciones de fusión más prometedoras para el futuro del planeta es la que relaciona al deuterio 1 H y el tritio 3 1H, isótopos del hidrógeno: 1H + 3 1H 4 He + n + 17, 59[MeV ] 10

El producto de esta reacción es un núcleo de helio, un neutrón y una energía de 17,59[MeV ]. La fusión nuclear controlada es la fuente de energía que solucionaría las futuras problemáticas energéticas en la Tierra, actualmente se trabaja en el ITER, proyecto técnico-científico orientado a la creación de una fuente energética renovable, de potencia continua y a gran escala, que basa su funcionamiento en procesos de fusión nuclear de núcleos de deuterio y tritio. Se estima estará listo el año.016 y si llegara a funcionar generaría 500[MW ] de potencia durante ciclos de 10[min]. 5. Fuerzas fundamentales de la naturaleza Todas las partículas en la naturaleza están sujetas a cuatro fuerzas fundamentales: fuertes, electromagnéticas, débiles y gravitacionales: Fuerza fuerte: Es la fuerza que posee mayor magnitud entre las fuerzas fundamentales, pero es de corto alcance, siendo despreciable para partículas que se encuentren a una distancia mayor a 10 14 [m]. Es la responsable de que protones y neutrones se mantengan ligados en el núcleo atómico. Fuerza electromagnética: Fuerza de largo alcance cuya magnitud es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separación entre las partículas interactuantes. Es la responsable de la ligadura de los átomos y de las moléculas. Fuerza débil: Es una fuerza nuclear de corto alcance que actúa a nivel de los quarks, tiende a producir inestabilidad en ciertos núcleos, siendo la responsable de la mayoría de los procesos de decaimiento radiactivo. Fuerza gravitacional: Fuerza de gran alcance que se caracteriza por ser la más débil de todas las fuerzas fundamentales dado que a nivel subatómico su efecto es despreciable, pero en el macrocosmos es la responsable de mantener unidos sistemas de planetas, galaxias, etcétera. Fuerza Intensidad relativa Alcance Partícula mediadora Fuerte 1 Corta 1[f m] Gluón Electromagnética 10 Larga 1 r Fotón Débil 10 9 Corta 1[fm] Bosones W ± y Z Gravitacional 10 38 Larga 1 r Gravitón Desafío... Qué fuerza fundamental de la naturaleza determina el tamaño de los átomos? Respuesta 11

Desafíos resueltos Desafío I: Después de un tiempo τ, igual a la vida media del elemento radiactivo, quedan por definición N 0 núcleos. Luego de dos vidas medias la mitad de N 0 habrá decaído, es decir, quedarán N 0 4 núcleos radiactivos. Después de tres vidas medias quedarán N 0 y luego de cuatro vidas medias 8 quedarán N 0 núcleos radiactivos. 16 Te habrás dado cuenta que en general después de n vidas medias, la cantidad de núcleos radiactivos que quedan son N 0 n, donde N 0 es la cantidad inicial de núcleos radiactivos de la muestra. Volver Desafío II: La fuerza de atracción eléctrica que ejercen los protones del núcleo sobre los electrones que se mueven a su alrededor, provoca que los radios de las órbitas de los electrones disminuyan. Así, la fuerza fundamental que determina el tamaño de un átomo es la fuerza electromagnética. Volver 1

Bibliografía [1 ] Física 4 Educación Media, Santillana (010) Felipe Moncada Mijic, Pablo Valdés Arriagada. [ ] Física Tomo II, Tercera edición, Mc Graw-Hill. México (199) Raymond A. Serway. [3 ] Física General, Tercera edición, Harla. México (1981) Beatríz Alvarenga, Antônio Máximo. [4 ] Física Conceptual, Novena edición, Pearson Educación. México (004) Paul Hewitt. [5 ] Manual de preparación PSU ciencias módulo optativo, Física, Ediciones Universidad Católica de Chile, Chile (004) Miguel Ormazabal Díaz-Muñoz, Oscar Bravo Lutz, Luz María Gazzolo Torrealba. 13