TEMA 1 $1É/,6,6<6Ì17(6,6(6758&785$/&21&(3726*(1(5$/(6 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 Definiciones. 1.1.1 Máquina y Mecanismo. 1.1.2 Eslabón o Elemento. 1.1.3 Par Cinemático. 1.1.4 Cadena Cinemática. Clasificación de los Elementos de un Mecanismo. Clasificación de los Pares Cinemáticos. Movilidad de un Mecanismo. Criterio de Grübler. Inversión de una Cadena Cinemática. El Cuadrilátero Articulado. Ley de Grashof. Ventaja Mecánica. Curvas de Acoplador. Mecanismos de Línea Recta. Mecanismos de Retorno Rápido. '(),1,&,21(6 0iTXLQD\0HFDQLVPR Reuleaux define una PiTXLQD como una FRPELQDFLyQ GH FXHUSRV UHVLVWHQWHV GH WDO PDQHUD TXH SRU PHGLR GH HOORV ODV IXHU]DV PHFiQLFDV GH OD QDWXUDOH]D VH SXHGHQ HQFDX]DU SDUD UHDOL]DU XQ WUDEDMR DFRPSDxDGR GH PRYLPLHQWRVGHWHUPLQDGRV. También define un PHFDQLVPR como la FRPELQDFLyQ GH FXHUSRV UHVLVWHQWHV FRQHFWDGRV SRU PHGLR GH DUWLFXODFLRQHV PyYLOHV SDUD IRUPDU XQD FDGHQDFLQHPiWLFDFHUUDGDFRQXQHVODEyQILMR\FX\RSURSyVLWRHVWUDQVIRUPDUHO PRYLPLHQWR. Otra posible definición de PHFDQLVPR sería decir que es un VLVWHPD PHFiQLFR IRUPDGR SRU GLVWLQWRV HOHPHQWRV UtJLGRV R IOH[LEOHV XQLGRV HQWUH Vt LPSHUIHFWDPHQWH GH PRGR TXH H[LVWH OD SRVLELOLGDG GH PRYLPLHQWR UHODWLYRHQWUHHOORV. Para entender mejor cada concepto, podemos pensar en qué entendemos por HVWUXFWXUD: una combinación de cuerpos (rígidos) resistentes conectados por medio de articulaciones, pero cuyo propósito no es efectuar un trabajo ni transformar el movimiento. Una estructura tiene por objeto ser rígida; tal vez pueda moverse de un lado para otro y en este sentido es móvil, pero carece
de movilidad interna - no tiene movimientos relativos entre sus miembros, mientras que tanto las máquinas como los mecanismos los tienen -. De hecho, el propósito real de una máquina o un mecanismo es aprovechar estos movimientos internos relativos para transmitir potencia o transformar el movimiento. Una PiTXLQD difiere de un PHFDQLVPR en su propósito. En una PiTXLQD, los términos fuerza, momento de torsión (o par motor), trabajo y potencia describen los efectos predominantes. Sin embargo, en un PHFDQLVPR, aunque puede transmitir la potencia de una fuerza, el concepto predominante que tiene presente el diseñador es lograr el movimiento deseado. (VODEyQR(OHPHQWR El término HVODEyQ o HOHPHQWR se utiliza para designar a cada una de las piezas de una máquina o cada uno de los componentes de un mecanismo. Los HVODERQHV, por regla general, se suponen completamente rígidos. Cuando no se adaptan a esa hipótesis de rigidez (por ejemplo, un resorte) no tienen normalmente efecto alguno sobre la cinemática del sistema, aunque sí sobre las fuerzas presentes en el mismo. En tal caso, estos elementos no reciben el nombre de HVODERQHV y se suelen ignorar durante el análisis cinemático (aunque no durante el análisis dinámico). Puede ocurrir que un elemento posea rigidez unilateral - una correa, una cuerda o una cadena -, en cuyo caso se considera HVODEyQ en la tracción - que es cuando presentan rigidez -, pero no en la compresión. La suposición de rigidez indica que no puede haber movimiento relativo entre dos puntos arbitrariamente seleccionados de un mismo HVODEyQ. Como resultado de esta hipótesis, muchos de los detalles complicados que presentan las formas reales de las piezas de una máquina o mecanismo carecen de importancia cuando se estudia su cinemática. Por esta razón, una de las prácticas más comunes es trazar diagramas esquemáticos muy simplificados que contengan las características más importantes de la forma de cada HVODEyQ, pero en los que se reduce casi al mínimo la geometría real de las piezas fabricadas. Estas representaciones simplificadas son de gran utilidad porque eliminan factores que tienden a generar confusiones; no obstante, tienen también la desventaja de que muestran una semejanza muy limitada con el elemento real, por lo que pueden dar la impresión de que representan sólo construcciones académicas y no maquinarias reales. - 1.2 -
3DU&LQHPiWLFR Los eslabones se deben conectar entre sí de manera que transmitan movimiento del impulsor (HVODEyQGHHQWUDGD) al seguidor (HVODEyQGHVDOLGD). A cada una de las conexiones o articulaciones entre eslabones se le llamará SDU FLQHPiWLFR. De donde se deduce que un eslabón podrá definirse también como ODFRQH[LyQUtJLGDHQWUHGRVRPiVHVODERQHVGHGLIHUHQWHVSDUHVFLQHPiWLFRV. &DGHQD&LQHPiWLFD Una FDGHQD FLQHPiWLFD está constituida por un conjunto de eslabones unidos mediante pares cinemáticos que permiten movimientos relativos, pero de forma que ninguno de los eslabones está fijo. A su vez, se pueden unir cadenas cinemáticas simples para obtener cadenas cinemáticas más complicadas Las cadenas cinemáticas se dividen en: Þ FHUUDGDV: si cada eslabón se conecta, por lo menos a otros dos; en tal caso la cadena forma uno o más circuitos cerrados (por ejemplo, un cuadrilátero articulado). Þ DELHUWDV: aquellas en las que hay al menos un eslabón que tiene un solo par (por ejemplo, extremidades, robots,...). Figura 1.1 - Cadenas cerradas Figura 1.2 - Cadena abierta También se pueden clasificar por el número de elementos que tienen. Así, por ejemplo, con seis elementos podemos encontrar dos cadenas cinemáticas distintas, la cadena de Watt y la cadena de Stephenson 1 2 1 2 3 4 3 4 5 5 6 6 Figura 1.3 - Cadena de Watt Figura 1.4 - Cadena de Stephenson - 1.3 -
Recordando la definición de PHFDQLVPR de Reuleaux, se puede definir éste en sentido estricto como DTXHOODFDGHQDFLQHPiWLFDHQODTXHKHPRVILMDGR XQRGHVXVHVODERQHV (cuando se dice que un eslabón está fijo se da a entender que se elige como marco de referencia para todos los demás eslabones, es decir, que los movimientos de todos los demás se medirán con respecto a éste en particular). En una máquina real, el eslabón fijo es casi siempre una plataforma o base estacionaria, y se denomina HVODEyQPDUFR o EDVH. La cuestión de si ese marco de referencia es verdaderamente estacionario (en el sentido de ser un marco de referencia inercial) no tiene importancia para el estudio cinemático; pero sí la tiene en el problema dinámico, donde deben ser consideradas las fuerzas. En cualquier caso, una vez designado el marco de referencia, la FDGHQD FLQHPiWLFD se convierte en un PHFDQLVPR y conforme el LPSXOVRU se mueve pasando por varias posiciones denominadas IDVHV, todos los demás eslabones desarrollan movimientos definidos con respecto al marco de referencia elegido. Por ello, se usa el término FDGHQDFLQHPiWLFD para especificar una disposición particular de eslabones y pares cinemáticos, cuando no se ha especificado qué eslabón se usará como marco de referencia. Sin embargo, una vez señalado el eslabón de referencia, la FDGHQDFLQHPiWLFD se convierte en un PHFDQLVPR. &/$6,),&$&,Ð1'(/26(/(0(1726'(810(&$1,602 La clasificación de los elementos o eslabones de un mecanismo puede atender a diferentes criterios. Así, se pueden clasificar por: Þ El nº de pares cinemáticos de cada elemento: Hablaremos entonces de elementos ELQDULRV, WHUQDULRV, FXDWHUQDULRV,... (con 2, 3, 4,... pares cinemáticos por elemento). Binario Ternario Cuaternario Figura 1.5 - Tipos de elementos por el nº de pares Þ El tipo de sólido que son: Tendremos elementos UtJLGRV, XQLQUtJLGRV (rígidos en una sola dirección - cable, cadena,... -) o IOH[LEOHV (que de - 1.4 -
deforman elásticamente y de forma importante -a veces la deformación es del mismo orden que la magnitud de los desplazamientos -). Þ El tipo de movimiento: PDQLYHOD: elemento con movimiento de rotación de 360 alrededor de un eje fijo. EDODQFtQ(u RVFLODGRU): igual que el anterior, pero en un ángulo menor de 360 (sin dar, por tanto, vueltas completas). ELHOD (o DFRSODGRU): elemento con un centro instantáneo de rotación que va variando (no tiene un eje de rotación fijo). &/$6,),&$&,Ð1'(/263$5(6&,1(0É7,&26 Para que un mecanismo sea útil, los movimientos entre los eslabones no pueden ser arbitrarios, éstos deberán restringirse para generar los movimientos relativos DGHFXDGRV y necesarios para desarrollar el trabajo para el que haya sido diseñado ese mecanismo. Estos se consigue mediante la elección correcta del número y tipo de eslabones, así como de los tipos de pares cinemáticos utilizados para conectarlos (los movimientos relativos entre eslabones que permitan dichos pares serán esenciales de cara a la determinación de la cinemática de un mecanismo). La función cinemática de un eslabón es mantener una relación geométrica fija entre los pares cinemáticos. Del mismo modo, la única función cinemática de un par es determinar el movimiento relativo entre los eslabones conectados. El análisis o estudio de ese movimiento relativo precisará el establecimiento de algún parámetro variable (o algunos parámetros variables) que permita medir o calcular dicho movimiento. Se tendrán tanto parámetros como grados de libertad tenga la articulación en cuestión y se denominarán YDULDEOHVGHOSDU. Así, la variable del par de una articulación de pasador será un ángulo medido entre rectas de referencia fijas a los eslabones adyacentes, mientras que un par esférico tendrá tres variables de par (tres ángulos) para determinar su rotación tridimensional. Reuleaux dividió los pares cinemáticos en superiores e inferiores, haciendo notar que en los SDUHVLQIHULRUHV - como la articulación de pasador - ORV HOHPHQWRV GHO SDU KDFHQ FRQWDFWR HQ XQD VXSHUILFLH, en tanto que en los - 1.5 -
SDUHVVXSHULRUHV - como la conexión entre una leva y su seguidor HOFRQWDFWR HQWUH ORV HOHPHQWRV HV HQ XQD OtQHD R XQ SXQWR. De todas formas, este criterio puede resultar engañoso, por lo que resulta preferible establecer la distinción en función del movimiento relativo que permita el par cinemático. Figura 1.6 - Pares Inferiores En las figuras 1.6.a - 1.6. f se ilustran los seis pares inferiores: Þ 3DU JLUDWRULR R UHYROXWD [R] (figura 1.6.a): sólo permite rotación relativa (movimiento relativo circular) y, por consiguiente, posee un gdl - una variable de par, por tanto, que es θ -. Se denomina también DUWLFXODFLyQGHSDVDGRURGHHVSLJD. Þ 3DU SULVPiWLFR [P] (figura 1.6.b): sólo permite movimiento relativo de deslizamiento (movimiento relativo lineal) y se denomina casi siempre articulación de deslizamiento. También posee un solo gdl - luego una variable de par que es s -. Þ 3DUGHWRUQLOORRSDUKHOLFRLGDO [S] (figura 1.6.c): cuenta con un solo gdl ya que los movimientos de deslizamiento y rotación están relacionados por el ángulo de hélice de la rosca (movimiento relativo helicoidal). Por tanto, como variable de par se puede elegir θ o s, pero no ambas. Constatar que el par de tornillo se convierte en una revoluta si el ángulo de hélice se hace cero y en un par prismático si dicho ángulo se hace 90. - 1.6 -
Þ 3DUFLOtQGULFR [C] (figura 1.6.d): permite tanto la rotación angular como el movimiento de deslizamiento independiente (mov. relativo cilíndrico). Por consiguiente, tiene 2 gdl - dos variables de par θ y s -. Þ 3DU JOREXODU R HVIpULFR [G] (figura 1.6.e): es una DUWLFXODFLyQ GH UyWXOD (movimiento relativo esférico) que posee 3 gdl, una rotación en cada uno de los ejes coordenados - tres variables de par θ, φ y ψ -. Þ 3DUSODQR [F] (figura 1.6.f): permite un movimiento relativo en el plano, con tres gdl - tres variables de par - θ, x y y -. Todos los demás tipos de pares se conocen como pares superiores. Entre los ejemplos clásicos están los dientes de engranes acoplados, una rueda que va rodando sobre un riel, una bola que rueda sobre una superficie plana y una leva que hace contacto con su seguidor de rodillo, etc. Entre los pares superiores existe una subcategoría denominada SDUHV HQYROYHQWHV. Por ejemplo, la conexión entre una banda y una polea, entre un cable y un tambor, etc. En cada caso, uno de los eslabones se caracteriza por su rigidez unilateral. A partir de la definición de mecanismo llevada a cabo, se pueden encontrar multitud de dispositivos que incluyan tanto pares superiores como inferiores. No obstante, existe un término más descriptivo concerniente a los mecanismos que sólo tienen pares inferiores, y este es el de HVODERQDPLHQWR. Al mismo tiempo, se pueden establecer otros criterios diferentes al de Reuleaux para la clasificación de los pares cinemáticos. Así, los pares pueden clasificarse en función de: Þ El nº de elementos que se unen a ese par: ELQDULRV, WHUQDULRV,... Þ La clase del par (que se denota con números romanos: FODVH,,,,,,,9,...): que es el nº de gdl que permite en el movimiento relativo. Þ La influencia que tiene en las restricciones impuestas la posición, la velocidad y el tiempo: Þ Enlaces KROyQRPRV: en la ecuación de enlace interviene la posición y el tiempo, pero no la velocidad. Estos pares podrán ser a su vez UHyQRPRV (dependen del tiempo) o HVFOHUyQRPRV (no dependen del tiempo). - 1.7 -
Þ Enlaces QR KROyQRPRV R KHWHUyQRPRV: en los que también interviene la velocidad (por ejemplo, un disco que rueda sobre el plano: la velocidad relativa del punto de contacto debe ser = 0). Þ Los grados de libertad que permite: rotación, traslación,... 029,/,'$''(810(&$1,602&5,7(5,2'(*5h%/(5 Se llama PRYLOLGDGGHXQDFDGHQDFLQHPiWLFD alqžghsduiphwurvtxh KD\ TXH ILMDU SDUD TXH TXHGH SHUIHFWDPHQWH GHWHUPLQDGD OD SRVLFLyQ GH GLFKD FDGHQD. Así, por ejemplo, la movilidad de un cuadrilátero articulado plano es cuatro (m = 4), ya que necesitamos 3 parámetros para fijar el elemento y otro para definir el cuadrilátero. A partir de aquí - y recordando que un mecanismo es, en sentido estricto, una cadena cinemática en la que hemos fijado uno de sus eslabones -, podemos definir el QžGHJGOGHXQPHFDQLVPRRODPRYLOLGDGGHXQPHFDQLVPR como el Qž GH SDUiPHWURV TXH KD\ TXH ILMDU SDUD GHWHUPLQDU OD SRVLFLyQ GH GLFKR PHFDQLVPR. Salvo ciertas excepciones, es posible determinar la movilidad de un mecanismo directamente a través del recuento del nº de eslabones y del nº y tipo de pares cinemáticos presentes. Antes de conectarse entre si cada eslabón de un mecanismo plano tiene tres gdl cuando se mueve con relación a un eslabón fijo. Por consiguiente, sin contar este último, un mecanismo plano de QHVODERQHV posee QJUDGRVGH OLEHUWDG antes de conectar cualquiera de los pares o articulaciones. Al conectar un par con un gdl - por ejemplo un par de revoluta (o articulación de pasador) - se tiene el efecto de introducir dos restricciones entre los eslabones conectados. Si se conecta un par con 2 gdl, se introduce una restricción. Cuando las restricciones de todos los pares se restan del total del gdl de los eslabones no conectados, se obtiene la movilidad resultante del mecanismo conectado. Por tanto, la movilidad (m) de un mecanismo plano de n eslabones con p I pares cinemáticos de clase I y p II de clase II está dada por la expresión: m = 3(n-1) - 2p I - p II [1.1] Escrita de esta forma la ecuación se conoce como FULWHULRGH.XW]EDFK SDUD OD PRYLOLGDG GH XQ PHFDQLVPR SODQR. En la figura 1.7, se muestran algunas aplicaciones del criterio de movilidad de Kutzbach. - 1.8 -
Figura 1.7 - Aplicaciones del criterio de movilidad de Kutzbach Si m > 0, el mecanismo posee P gdl. Si m = 1, el mecanismo se puede impulsar con sólo un movimiento de entrada y si m = 2, entonces se necesitan dos movimientos de entrada independientes para producir un movimiento específico del mecanismo. Si el criterio da m = 0, como sucede en la figura 1.7.a, el movimiento es imposible y el mecanismo forma una estructura. Si el criterio da m < 0, entonces hay restricciones redundantes en la cadena y forma una estructura estáticamente indeterminada (en la figura 1.8 se incluye la aplicación de este criterio a estructuras). Figura 1.8 - Aplicaciones del criterio de Kutzbach a estructuras En la figura 1.9 se muestran ejemplos de aplicación del criterio a mecanismos con pares de dos grados de libertad. Se debe prestar atención especial al contacto (par) entre la rueda y el eslabón fijo (suelo) del caso reflejado en la figura 1.9.b. Se ha supuesto en este caso que existe deslizamiento entre ambos eslabones. Si el contacto incluyera dientes de engranes o si la fricción fuera lo suficientemente grande como para evitar el deslizamiento, la articulación se consideraría como un par de un gdl. - 1.9 -
Figura 1.9 - Aplicaciones de Kutzbach a mecanismos con pares de 2 gdl Hay casos en los que el criterio de Kutzbach conduce a un resultado incorrecto debido a que en su desarrollo no se ha hecho consideración alguna respecto a las longitudes de los eslabones u otras propiedades dimensionales. Así, no es sorprendente encontrar excepciones a este criterio en casos particulares con longitudes equivalentes de los eslabones, eslabones paralelos u otras características geométricas especiales. Por ejemplo, en la figura 1.10, el criterio predice m = 0, correcto en el primer caso, pero no en el segundo; donde tenemos un eslabonamiento de doble paralelogramo con una movilidad de 1. Figura 1.10 - Excepciones al criterio de Kutzbach Sin embargo, aunque el criterio tenga excepciones, sigue siendo muy útil gracias a su sencilla aplicación. Para evitar esas excepciones, sería preciso incluir todas las propiedades dimensionales del mecanismo y ello aumentaría la complejidad del criterio e impediría su aplicación en las etapas iniciales del diseño, cuando todavía se desconocen las dimensiones. Existe otro criterio - anterior a este - que lleva el nombre de FULWHULRGH *U EOHU aplicable a mecanismos con articulaciones de un solo gdl en los que la movilidad del mecanismo es 1. Al sustituir p II = 0 y m = 1 en la ecuación [1.1], se obtiene el criterio de Grübler para mecanismos planos: - 1.10 -
3n - 2p I - 4 = 0 [1.2] Esto permite ver, por ejemplo, que un mecanismo plano con movilidad 1 y que sólo tiene pares de 1 gdl, no puede tener un número impar de eslabones. Desarrollando la misma cuestión para el caso de mecanismos espaciales, bastaría con recordar que cada eslabón posee, en principio, 6 gdl, con lo que resultaría una expresión como la siguiente: m = 6(n-1) - 5p I - 4p II - 3p III - 2p IV - p V [1.3],19(56,Ð1'(81$&$'(1$&,1(0É7,&$ Todo mecanismo tiene, por definición, un eslabón fijo denominado PDUFR GHUHIHUHQFLD. De hecho, mientras no se selecciona este eslabón de referencia, al conjunto de eslabones conectados se le conoce como cadena cinemática. Cuando se eligen diferentes eslabones como referencia para una cadena cinemática dada, los movimientos relativos entre los diferentes eslabones no se alteran, pero los movimientos absolutos pueden cambiar drásticamente. El proceso de elegir como referencia diferentes eslabones de una cadena recibe el nombre de LQYHUVLyQ FLQHPiWLFD, y a los diferentes mecanismos que pueden formarse (se consideran mecanismos diferentes cuando lo son estructuralmente, no geométricamente) se les denomina LQYHUVLRQHVGHXQDFDGHQDFLQHPiWLFD. Figura 1.11 - Cuatro inversiones del mecanismo biela-manivela - 1.11 -
En una cadena cinemática de Q eslabones, si se escoge cada uno de ellos sucesivamente como referencia, se pueden tener Q inversiones cinemáticas distintas de la cadena, es decir, Q mecanismos diferentes. Por ejemplo, la cadena de cuatro eslabones biela-manivela ilustrada en la figura 1.11 posee cuatro inversiones diferentes. De la misma manera, la cadena cinemática de la figura 1.12 - cadena de Stephenson, presenta tres inversiones, y la de la figura 1.13 - cadena de Watt - 2. 1 2 3 4 5 m = 4 6 Fijando 3 ó 5 Fijando 1 ó 2 Fijando 4 ó 6 Figura 1.12 - Inversiones de la cadena cinemática de Stephenson 1 2 3 4 5 6 m = 4 Fijando 1, 2, 5 ó 6 Fijando 3 ó 4 Figura 1.13 - Inversiones de la cadena cinemática de Watt (/&8$'5,/É7(52$57,&8/$'2/(<'(*5$6+2) Una de las consideraciones de mayor importancia a la hora de diseñar un mecanismo que va a ir impulsado por un motor, es asegurarse de que el elemento de entrada pueda realizar una vuelta completa (que sea una manivela). Aquellos mecanismos en los que ningún eslabón pueda describir una revolución completa no serán útiles para este tipo de aplicaciones. - 1.12 -
Cuando se trata de un eslabonamiento de cuatro barras - un cuadrilátero articulado -, existe una manera muy sencilla de saber si se presenta esta caso: la /H\ GH *UDVKRI. Dicha ley afirma que, HQ XQ HVODERQDPLHQWR SODQR GH FXDWUR EDUUDV OD VXPD GH ODV ORQJLWXGHV PiV FRUWD \ PiV ODUJD GH ORV HVODERQHV QR SXHGHVHUPD\RUTXHODVXPDGHODVORQJLWXGHVGHORVGRVHVODERQHVUHVWDQWHVVL VHGHVHDTXHH[LVWDXQDURWDFLyQUHODWLYDFRQWLQXDHQWUHGRVHOHPHQWRV. Figura 1.14 - Inversiones de la cadena de Grashof Atendiendo a la Figura 1.14 - en donde el eslabón más corto es V el más largo tiene una longitud O y los otros dos tienen longitudes S y T -, la ley de Grashof especifica que uno de los eslabones, en particular el más pequeño, girará continuamente con relación a los otros tres sólo cuando s + l p + q [1.4] Si no se satisface esta desigualdad, ningún eslabón efectuará una revolución completa en relación con otro. Hay que constatar que nada en la Ley de Grashof especifica el orden en que deben conectarse los eslabones, o cual de dichos eslabones es el fijo. Por lo tanto, es posible fijar cualquiera de los cuatro según resulte conveniente, obteniéndose de esta manera las cuatro inversiones del eslabonamiento de - 1.13 -
cuatro barras que pueden verse en la figura 1.14. Todas ellas cumplen la Ley de Grashof y, por lo tanto, en todas el eslabón V describe una revolución completa con relación a los otros eslabones. Las diferentes inversiones se diferencian por la ubicación del eslabón V con relación al eslabón fijo: Þ Si el eslabón más corto (V) es adyacente al fijo (figuras a y b) se obtiene el PHFDQLVPR conocido como PDQLYHODEDODQFtQ (el eslabón V es la manivela, ya que puede girar continuamente, y el eslabón S, que sólo puede oscilar ente ciertos límites, es el balancín). Þ Si se selecciona el eslabón más corto (V) como el de referencia (figura c), se obtiene el PHFDQLVPRGHHVODEyQGHDUUDVWUH, llamado también GHGREOHPDQLYHOD. En esta inversión, los dos eslabones adyacentes a V pueden girara de forma continua (manivelas) y, por lo común, el más corto de los dos se usa como entrada. Þ Si se fija el eslabón opuesto a V, se obtiene (figura d) un PHFDQLVPR GH GREOH EDODQFtQ. En este caso, aunque el eslabón V es capaz de efectuar una revolución completa, ninguno de los adyacentes al de referencia puede hacer lo mismo, ambos oscilan ente límites y son, por tanto, osciladores o balancines. Cuando s + l = p + q (figura 1.15), también se cumple la Ley de Grashof, pero en tal caso se pasa por una posición singular, que en la práctica hay que evitar a toda costa, con dos grados de libertad simultáneos. Figura 1.15 - Posición singular del cuadrilátero articulado 9(17$-$0(&É1,&$ La ventaja mecánica de un eslabonamiento es el cociente entre el momento torsor de salida ejercido por el eslabón impulsado (seguidor) y el momento torsor de entrada que es preciso aplicar en el impulsor. Como se demostrará en un tema posterior, la ventaja mecánica del eslabonamiento de cuatro barras que puede verse en la figura 1.16 es directamente proporcional al - 1.14 -
seno del ángulo γ comprendido entre el acoplador y el seguidor, e inversamente proporcional al seno del ángulo β formado por el acoplador y el impulsor. Ambos ángulos, y por tanto la ventaja mecánica, varían de forma continua conforme se mueve el eslabonamiento. Por lo tanto, cuando el senβ se hace cero la ventaja mecánica se hace infinita y se dice que eslabonamiento tiene una SRVLFLyQGHYROTXHWHRSRVLFLyQ OtPLWH, en la que bastará un pequeño momento torsor de entrada para contrarrestar un momento de torsión de salida importante. Este hecho se produce cuando le impulsor está alineado con el acoplador (β = 0º y 180º), lo que ocurre en las posiciones AB 1 y AB 4 de la figura 1.16; posiciones que definen también las posiciones extremas del recorrido del oscilador de salida DC 1 y DC 4. Figura 1.16 Posiciones límites o de volquete del cuadrilátero articulado Por otro lado, el ángulo γ entre acoplador y seguidor se llama iqjxorgh WUDQVPLVLyQ, y conforme disminuye la ventaja mecánica disminuye igualmente. Ello puede dar lugar a que, en un momento dado, el mecanismo se trabe debido a la fricción. Por ello, una regla práctica muy común es considerar que el eslabonamiento de cuatro barras no se debe usar en la región en la que el ángulo de transmisión sea menor que, por ejemplo, 45º ó 50º. Los YDORUHV H[WUHPRV GHO iqjxor GH WUDQVPLVLyQ se obtienen cuando la manivela de entrada está alineada con el eslabón de referencia; es decir, en las posiciones AB 2 (γ mínimo) y AB 3 (γ máximo) de la figura 1.16. La facilidad para determinar de forma visual el ángulo de transmisión hace que se haya convertido en una medida comúnmente aceptada de calidad de diseño de un eslabonamiento de cuatro barras. - 1.15 -
Constatar que las definiciones de ventaja mecánica, posición de volquete o límite y ángulo de transmisión dependen de los eslabones elegidos como impulsor y seguidor. En la figura 1.16, si el eslabón 4 se toma como impulsor y el 2 como seguidor, β y γ se invierten, el eslabonamiento no tiene posición de volquete alguna y su ventaja mecánica se hace cero cuando el eslabón 2 se encuentra en las posiciones AB 1 y AB 4 al ser cero el ángulo de transmisión. &859$6'(/$&23/$'25 La biela o acoplador de un eslabonamiento plano de cuatro barras se puede considerar como un plano infinito que se extiende en todas las direcciones, pero conectado por medio de pasadores a los eslabones de entrada y salida. Por lo tanto, durante el movimiento del eslabonamiento, cualquier punto fijado al plano del acoplador genera una trayectoria determinada con respecto al eslabón fijo y recibe el nombre de FXUYDGHODFRSODGRU. Dos trayectorias de este tipo, las generadas por los puntos de conexión del acoplador al impulsor y al seguidor, son simples círculos; pero existen otros puntos que describen curvas mucho más complejas. El atlas de Hrones-Nelson es una de las fuentes más notables de curvas de acopladores para eslabonamientos de cuatro barras. La obra se compone de un conjunto de gráficas que contienen más de 7.000 curvas de acoplador de eslabonamientos del tipo manivela oscilador. La figura 1.17 recoge una reproducción de una página típica de este atlas. Figura 1.17 Reproducción de una de las páginas de Hrones-Nelson - 1.16 -
En cada caso, la longitud de la manivela es la unidad y las longitudes de los otros eslabones varían de página en página para generar diferentes combinaciones. A su vez, en cada página se eligen varios puntos distintos del acoplador y se representan las curvas correspondientes. La ecuación algebraica de una curva del acoplador es, en general, de sexto orden, por lo que es posible hallar curvas con una gran variedad de formas y muchas características interesantes. Algunas de ellas poseen secciones que son casi segmentos rectilíneos, otras tienen arcos circulares, o bien se cruzan a sí mismas formando un ocho. Ello hace que, a menudo, no sea preciso emplear un mecanismo con muchos eslabones para obtener un movimiento complejo. La complejidad de la ecuación de la curva del acoplador hace que los métodos de cálculo manual sean sumamente engorrosos. Por ello, hasta hace pocos años, el diseño de muchos mecanismos se ha hecho basándose en procedimientos intuitivos de naturaleza gráfica que se verificaban después con modelos de cartón. No obstante, la llegada de los ordenadores ha permitido el desarrollo de métodos analíticos de diseño de mecanismos basado en la capacidad computacional de aquellos. Por último, uno de los hechos más curiosos e interesantes acerca de la ecuación de la curva del acoplador es que la misma curva puede generarse siempre con tres eslabonamientos distintos. Estos se conocen como HVODERQDPLHQWRDILQHV y serán estudiados en un tema posterior. 0(&$1,6026'(/Ì1($5(&7$ A finales del siglo XVII, antes de la aparición de la fresadora, resultaba muy difícil mecanizar superficies rectas y planas. Ello imposibilitaba la fabricación de pares prismáticos aceptables que no tuvieran demasiado juego entre dientes. Como consecuencia, durante esa época se estudió mucho el problema de obtener un movimiento de línea recta como parte de la curva del acoplador de un eslabonamiento que sólo contara con articulaciones. Algunas de las mejores soluciones encontradas al respecto aparecen recogidas en las figuras 1.18a 1.18d: Þ (VODERQDPLHQWR GH :DWW (figura 1.18a): fue desarrollado por Watt para guiar el pistón de las primeras máquinas de vapor. Es un - 1.17 -
eslabonamiento de cuatro barras que desarrolla una línea aproximadamente recta como parte de su curva de acoplador. Aunque no describe una recta exacta, se logra una aproximación aceptable sobre una distancia de recorrido considerable. Þ 0HFDQLVPR GH 5REHUWV (figura 1.18b): Es otro eslabonamiento de cuatro barras en el que el punto P genera un segmento aproximadamente rectilíneo de la curva del acoplador. El eslabonamiento se define cuando se forman tres triángulos isósceles congruentes (líneas a trazos); de donde BC = AD/2. Þ (VODERQDPLHQWR GH &KHE\FKHY (figura 1.18c): El punto P describe también una línea más o menos recta. El eslabonamiento se forma creando un triángulo 3-4-5 con el eslabón 4 en posición vertical (líneas a trazos), de forma que: DB =3, AD=4 y AB =5. Puesto que AB=DC, DC =5 y el punto de trazo P es el punto medio del eslabón BC. Constatar que DP C forma también un triángulo 3-4-5 y, por lo tanto, P y P son dos puntos sobre una recta paralela a AD. Figura 1.18 Mecanismos de línea recta - 1.18 -
Þ,QYHUVRU GH 3HDXFLOOLHU (figura 1.18d): Se cumple BC=BP=EC=EP y AB=AE, de forma que, por simetría, los puntos A, C y P siempre están sobre una recta que pasa por A. En tal caso, AC AP = k (constante) y se dice que las curvas descritas por C y P son inversas una de la otra. Si se coloca la otra articulación fija de forma que AD=CD, entonces el punto C debe recorrer un arco circular y el punto P describirá una línea recta exacta. A su vez, si AD no es igual a CD, se puede hacer que P recorra un arco verdaderamente circular de radio muy grande. 0(&$1,6026'(5(725125É3,'2 En muchas aplicaciones, los mecanismos se usan para realizar operaciones repetitivas como empujar piezas a lo largo de una línea de montaje, sujetar piezas juntas mientras se sueldan o para doblar cajas de cartón en una máquina de embalaje automatizada. El interés, en este tipo de aplicaciones, de hacer uso de un motor de velocidad constante llevó al análisis de la ley de Grashof comentada anteriormente. No obstante, también es importante tener en cuenta los requerimientos de energía y tiempo. En este tipo de operaciones repetitivas existe, por regla general, una parte del ciclo (carrera de avance o de trabajo) en la que el mecanismo se somete a una carga y otra parte (carrera de retorno) en la que el mecanismo no efectúa un trabajo, sino que se limita a volver a la posición de partida para repetir la operación. Así, por ejemplo, en el PHFDQLVPRH[FpQWULFRSLVWyQELHODPDQLYHOD de la figura 1.19 puede que se requiera trabajo para contrarrestar la carga F mientras el pistón se mueve hacia la derecha (desde C 1 a C 3 ); pero no así durante su retorno a la posición C 1, ya que es probable que se haya quitado la carga. Figura 1.19 Mecanismo excéntrico pistón-biela-manivela - 1.19 -
En tales situaciones, para mantener los requerimientos mínimos de potencia del motor y evitar el desperdicio de tiempo, se diseña el mecanismo de forma que el pistón se mueva con mayor rapidez durante la carrera de retorno; es decir, usar una mayor fracción del ciclo para trabajar que para el retorno. Una medida de lo apropiado de un mecanismo desde este punto de vista, es el cociente entre el tiempo de avance y el tiempo de retorno (4). Si Q es grande, el mecanismo resultará más apropiado para esta clase de operaciones repetitivas. Y como cualquier operación de esta naturaleza empleará un mecanismo con 4!, cuando dicha condición se cumple se dice que estamos ante un PHFDQLVPRGHUHWRUQRUiSLGR. Suponiendo que el motor impulsor opera a velocidad constante, es fácil encontrar el cociente de tiempos. Atendiendo a la figura 1.19, lo primero es determinar las dos posiciones de la manivela (AB 1 y AB 2 ) que marcan el principio y el final de la carrera de trabajo. Después, observando la dirección de giro de la manivela, se mide el ángulo que la manivela recorre durante la carrera de avance (α) y el ángulo (β) de la carrera de retorno. El valor de Q resulta ser: Q=α/β. Hay que hacer notar que el valor de Q no es función de la cantidad de trabajo realizado, ni de la velocidad del motor impulsor, sino que es una propiedad cinemática del propio mecanismo que depende exclusivamente de la geometría del mismo. Asimismo, se observa que existe una dirección apropiada de rotación y una no apropiada en este tipo de dispositivos. Si se invierte el sentido de giro en el mecanismo de la figura 1.19, la razón de tiempos sería menor que 1 y perdería la condición de mecanismo de retorno rápido. Otro ejemplo clásico de este tipo de mecanismos es el PHFDQLVPR GH :KLWZRUWKRPHFDQLVPRGHOLPDGRUD, que aparece recogido en la figura 1.20. Figura 1.20 Mecanismo de Whitworth de retorno rápido - 1.20 -