INTRODUCCIÓN A LAS ONDAS

INTRODUCCIÓN A LAS ONDAS 15 de diciembre de 9

Índice general 1. Ondas en una dimensión. 3 1.1. Definición, ecuación general y algunas propiedades generales..................... 1.. Ondas periódicas y ondas armónicas................................... 5 1.3. Expresión compleja de las ondas armónicas............................... 5. Ondas transversales en una cuerda. 7.1. Ecuación de ondas en una cuerda.................................... 8.. Densidades de energía cinética, potencial, energía mecánica y potencia transmitida por la onda en un punto de una cuerda y en un instante dado........................... 9.3. Ondas estacionarias en una cuerda de longitud finita......................... 9.3.1. Nodos y vientres......................................... 1.3.. Energía cinética, potencial, mecánica en una onda y potencia transmitida por un punto en el caso de una onda estacionaria............................... 11.. Ondas armónicas que se propagan en una cuerda........................... 1..1. Energía cinética, potencial y mecánica en una onda que se propaga............. 13... Potencia transmitida por un punto de una onda que se propaga............... 13.5. Impedancia de una cuerda........................................ 1.6. Cambio de medio: reflexión y transmisión de ondas en el contorno de una cuerda......... 1.6.1. Coeficientes de transmisión y reflexión para la energía.................... 15 3. Ondas longitudinales en gases: ondas sonoras 16 3.1. Ondas longitudinales en un tubo cilíndrico lleno de un gas ideal................... 17 3.1.1. Demostración de la ecuación de ondas longitudinales en un gas............... 17 3.. Ecuaciones de las ondas acústicas para las demás magnitudes del gas................ 18 3.3. Relaciones de fase y amplitud entre las diversas perturbaciones en una onda de presión...... 19 3.. Potencia transportada por una onda sonora. Intensidad y sensación sonora............. 19 3..1. Intensidad............................................. 3... Sensación sonora, nivel de intensidad sonora.......................... 3.5. Impedancia de una onda acústica.................................... 3.6. Densidades de energía cinética, potencial y mecánica......................... 3.7. Ondas esféricas.............................................. 3.8. Condiciones de contorno en tubos sonoros............................... 3.8.1. Coeficientes de transmisión y reflexión para la velocidad de oscilación y la presión.... 3.8.. Coeficientes de transmisión y reflexión para la energía.................... 3 A. Apéndice A.1. Integración de funciones trigonométricas................................ 5 A.1.1. Formas directas.......................................... 5 A.1.. Expresiones usadas en ondas estacionarias........................... 5 A.1.3. Expresiones usadas en ondas armónicas que se propagan................... 6

Capítulo 1 Ondas en una dimensión.

Ondas 1.1. Definición, ecuación general y algunas propiedades generales. Definición: Una onda es una perturbación local del estado de equilibrio que se propaga en un medio. En el caso de las ondas electromagnéticas, esa perturbación se puede propagar en el vacio. De momento se van a considerar solamente ondas que se propagan en una dirección espacial o casos que se pueden reducir a este, p.ej. ondas esféricas. La función real, que describe estas ondas, depende de una sola variable espacial, x, y el tiempo t. Si esta función se describe como f, debe ser solución de la ecuación general: f t = c f x donde c es la velocidad de propagación de la onda, es decir, la velocidad con que se propaga la perturbación en el medio. También se conoce con el nombre de velocidad de fase. Generalmente, el cálculo de la expresión de c es laborioso y acompaña a la deducción de la ecuación de ondas, para el caso concreto que se trate. Un caso particularmente simple para obtener la expresión de c es el de las ondas electromagnéticas. De ahora en adelante toda solución de una ecuación de este tipo es una onda. Principio de superposición: Las derivadas segundas son operadores lineales. Es decir, la derivada segunda de una combinación lineal, a coeficientes reales y constantes, de solucionnes de la ecuación de ondas es solución de esta ecuación. Por tanto, toda combinación lineal a coeficientes constantes de ondas es una onda. Así se explican fenómenos físicos como la interferencia y difracción. Así se explica también la posibilidad de descomponer los sonidos en notas y la luz blanca en el arco iris. Solución general de la ecuación de ondas: Una solución es f = ϕ(x ct), siendo ϕ una función derivable dos veces con continuidad, como es sencillo verificar. Así mismo, f = ψ(x+ct), siendo ψ una función derivable dos veces con continuidad, también es una solución de la ecuación de ondas. De acuerdo con el principio de superposición la solución general de la ecuación de ondas en una dimensión es: f = ϕ(x ct) + ψ(x + ct) Significado físico de f = ϕ(x ct) y f = ψ(x + ct). Si se conoce la forma inicial de la onda, f(x, ) = ϕ(x), y que se propaga hacia la derecha con una velocidad c, la forma de la onda, en el instante t > y en el punto x, es la misma que tenía inicialmente en el punto x ct. Es decir se cumple: f(x, ) = ϕ(x) = f = f(x ct, ) = ϕ(x ct) c t x ct x t = s x ct x t > s Fig. 1- Onda que se propaga hacia la derecha. X Si se cambia c por c es trivial ver que la onda ψ(x + ct) se propaga hacia la izquierda.

Ondas 5 1.. Ondas periódicas y ondas armónicas. Una onda es periódica en el tiempo y su periodo es T, si en todo punto y en todo instante se verifica: ϕ = ϕ(x, t + T) Una onda es periódica espacialmente y su periodo espacial es λ, longitud de onda, si en todo punto y en todo instante se verifica: ϕ = ϕ(x + λ, t) La longitud de onda y el periodo están relacionados entre sí. ϕ = ϕ(x + λ, t) = ϕ(x + λ ct) = ϕ(x, t T) = ϕ(x ct + ct) x + λ ct = x ct + ct = λ = ct Se llama frecuencia, ν, a la inversa del periodo. En general sus unidades son las de tiempo a la potencia menos uno. Cuando el periodo se mide en segundos, la frecuencia se mide en hercios, Hz. Al producto πν = ω se le denomina frecuencia angular y se mide en rad/s. Se denomina número de ondas a k = π/λ y se mide en rad/m, cuando λ se mide en m. Se verifica: λ = ct c = λν = ω k Las ondas armónicas son las que se pueden expresar como una función sinusoidal. Por ejemplo: ϕ = A cos(kx ωt + α). La forma de expresar esta onda armónica es equivalente a expresarla como: ϕ = Asin(kx ωt + β). En efecto: Acos(kx ωt + α) = Asin(kx ωt + β) cos(kx ωt + α) = sin(kx ωt + β) cos(kx ωt)cosα sin(kx ωt)sinα = cos(kx ωt)sinβ + sin(kx ωt)cosα sin β = cosα y Como se puede ver ambas formas son equivalentes. cosβ = sinα β = α + π. Las ondas armónicas son siempre periódicas, pero existen ondas periódicas que no son armónicas, p.ej. las olas. Una onda que se propaga transporta siempre cantidad de movimiento, momento angular y energía, pero nunca materia. En ocasiones las aproximaciones, hechas para obtener la ecuación de ondas, impiden calcular la cantidad de movimiento transportada por la onda. Es el precio a pagar para tener una ecuación de ondas de manejo sencillo. Las ondas pueden ser: transversales, si su velocidad de propagación es perpendicular a la perturbación del medio, y longitudinales, si su velocidad de propagación y la perturbación tienen la misma dirección. Las ondas electromagnéticas y las ondas transversales en una cuerda son ondas transversales. Las ondas sonoras son longitudinales. 1.3. Expresión compleja de las ondas armónicas. Las ondas armónicas se pueden expresar indistintamente como: ϕ = Acos(kx ωt + α) y ϕ = Asin(kx ωt + β) Teniendo en cuenta la relación entre α y β, ambas formas corresponden a la parte real de las exponenciales complejas: Ae i(kx ωt+α) y Ae i(kx ωt+β). Demostración: ( R Ae i(kx ωt+α)) = R (Acos(kx ωt + α) + iasin(kx ωt + α)) = Acos(kx ωt + α) ( R iae i(kx ωt+β)) = R (Asin(kx ωt + β) iacos(kx ωt + β)) = Asin(kx ωt + β) Para calcular, se usa todo el complejo pero al final sólo cuenta la parte real como solución.

6 Ondas 1. Ejemplo: Superposición de dos ondas de la misma amplitud y fase pero que se propagan en sentido contrario. Sean ϕ 1 ( = Ae i(kx ωt+α) [ y ϕ = Ae i(kx+ωt+α), la onda resultante es: ϕ = R Ae iωt e i(kx+α) + e i(kx+α)]) = Acos(kx + α)sin ωt. La onda resultante es una onda que no se propaga y que, por esta razón se llama onda estacionaria. Más adelante se varán las ondas estacionarias con más detalle.. Ejemplo: Superposición de dos ondas de la misma amplitud, cuyas fases difieren en un término constante. Sean las dos ondas: ϕ 1 = Ae i(kx ωt) y ϕ = Ae i(kx ωt+α). Con α constante y que cumple: α π. La onda resultante de la superposición de ambas es: ϕ = ϕ 1 + ϕ = Ae i(kx ωt) (1 + e iα ) = Ae i(kx ωt+ α ) ( e i α + e i α ) ϕ = Acos α ei(kx ωt α ). Como puede verse la amplitud de la onda depende de α y la fase de ϕ es la bisectriz de ambas fases. Cuando α =, ϕ = Ae i(kx ωt y se dice que la superposición de estas dos ondas es una interferencia constructiva. Cuando α = π, ϕ y se tiene una interferencia destructiva.

Capítulo Ondas transversales en una cuerda.

8 Ondas.1. Ecuación de ondas en una cuerda Se va a considerar una cuerda de densidad de masa constante, µ, pero cuyo peso puede despreciarse frente a las tensiones aplicadas en sus extremos. 1. En principio, su posición de equilibrio es horizontal y se toma como eje x, la ecuación de esta posición es y =. El desplazamiento de la posición de equilibrio es y porque depende del punto considerado y del instante en él que se considera.. La perturbación de la posición de equilibrio se transmite a lo largo de la cuerda, su velocidad de propagación es horizontal. 3. Se va a considerar la cuerda muy poco extensible, su longitud se puede considerar constante a primer orden y los deplazamientos de la posición de equilibrio se pueden considerar verticales. Esta aproximación hace que el cálculo de la cantidad de movimiento, transportada por la onda, dé cero como resultado.. Todas las deformaciones y sus derivadas serán pequeñas, para que la aproximación sea válida en todo punto y en todo instante. Considerando esta hipótesis, se cumple: ( ) y l = x 1 + x x Para todo ángulo θ se verifica: sin θ θ tanθ y cosθ 1. T y + y α + α y α T1 Las ecuaciones de movimiento son: x (µ x)ẍ = T cos(α + α) T 1 cosα = µ x y t = T sin(α + α) T 1 sinα teniendo en cuenta las relaciones de ángulos pequeños, se tiene: x + x T 1 T = T 1 = T = T xµ y t = T sin(α + α) T sinα xt y x y µ t = T y x Dado que T > y µ >, existe un cuadrado real c = T y la ecuación es: µ

Ondas 9 y t = c y x la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda es: c = T µ. Es trivial comprobar que c tiene las dimensiones de una velocidad. T es una fuerza y µ una densidad lineal de masa. Las dimensiones de c ( MLT ) 1 son: [c] = = L, que son las dimensiones de la velocidad. T ML 1 La solución general será de la forma: y = ϕ(x ct) + ψ(x + ct), como se ha visto antes. Una onda armónica, que se propaga hacia la derecha, es de la forma: y = Acos(kx ωt + α). Una, que se propaga hacia la izquierda, es: y = A cos(kx + ωt + α)... Densidades de energía cinética, potencial, energía mecánica y potencia transmitida por la onda en un punto de una cuerda y en un instante dado 1. Densidad de energía cinética: Para un trozo pequeño de la cuerda, de longitud x, la energía cinética es: E c = µ x ( ) y. t La densidad de energía cinética por unidad de longitud vale: η c = E c x = µ ( ) y. t Como se puede ver, la ecuación de ondas procede de aproximaciones a orden uno y la energía es una aproximación de orden dos.. Densidad de energía potencial: Para un trozo pequeño de cuerda, la energía potencial se define como la diferencia de energía entre la cuerda deformada y la cuerda sin deformar. Teniendo en cuenta las expresiones dadas al principio, queda: U = T 1 + ( y x ) 1 x U T x ( ) y x La densidad de energía potencial por unidad de longitud vale: η P = U x = T ( ) y x 3. Densidad de energía mecánica: Es la suma de las densidades de energía potencial y de energía cinética.. Potencia transmitida por un punto de la cuerda: Se calcula a partir de la expresión: P = Ẇ = F v, que da la potencia suministrada por la fuerza resultante a una partícula en movimiento. En este caso la fuerza es la ejercida por el punto sobre la cuerda, que es igual y de signo contrario a la que hace la cuerda sobre el punto. En este caso v es la velocidad vertical de oscilación y t j. La expresión para la potencia transmitida es: P = Ẇ = F v = T y y x t.3. Ondas estacionarias en una cuerda de longitud finita En una cuerda de longitud finita se forman unas ondas que no se propagan llamadas ondas estacionarias. La forma de estas ondas depende de las condiciones de contorno, es decir, de como están los extremos de la cuerda.

1 Ondas Un extremo de una cuerda puede estar fijo. En este caso su deformación y todas las derivadas temporales de ésta serán nulas en él, en todo instante porque no se mueve. Si x F representa el extremo fijo e y representa la deformación de la cuerda, esta condición se expresa mediante las ecuaciones: y(x F, t) = and n y t n (x F, t) =, t, n 1 Un extremo puede también estar libre, es decir, su movimiento no está sujeto a ninguna restricción. Si x L representa el extremo libre e y representa la deformación de la cuerda, la condición, que se debe cumplir en este punto, se expresa mediante las ecuaciones: y x (x L, t) = t Para usar ambas posibilidades, se va a considerar una cuerda, cuyo inicio, x F =, está fijo y cuyo extremo x L = L está libre. Por comodidad, se va a trabajar en complejos. La solución general es de la forma: A 1 y A son constantes, en general complejas. Se usa ahora y(, t) =. A 1 e iωt) + A e iωt = ; y = A 1 e i(kx ωt) + A e i(kx+ωt) t A 1 + A = y = A 1 e iωt ( e ikx e ikx) y = A 1 ie iωt sin(kx) Si se hace A 1 = Ae iβ, con A módulo del complejo y β su fase, se tiene: y = Aie i(ωt+β) sin(kx) y = Asin(ωt + β)sin kx Quedan por determinar k, β, A y ω. Cuando se conozca k, ω quedará determinada por ω = kc, dado que c viene dada por las propiedades de la cuerda T y µ. Para determinar k, se usa la otra condición de contormo: y (L, t) =. x y (L, t) = Ak sin(ωt + β)cos kl = coskl = x Esta última ecuación tiene infinitas soluciones, a cada una de las cuales corresponden un número de ondas k n y una frecuencia ω n diferentes, que son: k n L = (n 1) π ; con n = 1,...,N,... k n = (n 1)π ; con n = 1,..., N,... L Cada solución y n asociada a un valor de n se denomina un armónico o un modo normal. El armónico con y 1 se llama armónico fundamental porque todos los demás números de onda son múltiplos enteros del suyo y todas las demás frecuencias son múltiplos enteros de la suya. La forma general de un modo normal es: ( (n 1)πct y n = A n sin L + β n ) sin (n 1)πx ; con n = 1,...,N,... L El conjunto de costantes (A n, β n ) n=1,...,n,... ) no se han determinado. Para hacerlo es necesario conocer los valores iniciales de la onda y(x, ); x [, L] y la velocidad de oscilación y (x, ); x [, L], ya que x la ecuación de ondas contiene una derivada segunda respecto al tiempo. Conocidas estas dos funciones, los armónicos se determinan completamente mediante la transformación de Fourier, que queda totalmente fuera del alcance de este curso. Desde ahora se centrará la atención en problemas relacionados con las propiedades de los armónicos..3.1. Nodos y vientres Nodo: Un nodo es un punto de la cuerda que está siempre en reposo. Si x N es su abscisa, y(x N, t) = ; t. Vientre: Un vientre es un punto de la cuerda cuya energía potencial es nula en todo instante o también, cuya deformación siempre alcanza el valor máximo.

Ondas 11 1. Ejemplo: Calcular los nodos del modo n de la cuerda vista anteriormante. Para que en un punto x j haya un nodo de y n, se debe cumplir: y n (x j, t) = ; t sin (n 1)πx j L = x j = L j; con j =,..., n 1 n 1 El armónico fundamental sólo tiene un nodo: el origen de la cuerda. Para un modo n la distancia entre dos nodos consecutivos vale: x j+1 x j = L n 1. Ejemplo: Calcular los vientres del modo n de la cuerda vista anteriormante. Para que en un punto x l haya un vientre de y n, se debe cumplir: sin (n 1)πx l L = 1 = x (l 1)L l = con l = 1,...,n (n 1) El armónico fundamental tiene un solo vientre en el extremo libre x = L. Para un modo n la distancia entre dos vientres consecutivos vale: x l+1 x l = L n 1 Como se puede ver es el mismo valor que él de la distancia entre dos nodos consecutivos. Esto induce a pensar que ambas distancias están relacionadas con alguna propiedad intrínseca de la onda. 3. Ejemplo: Longitud de onda de la onda estacionaria del Ejemplo 1. Antes se ha visto que: k n = (n 1)π L además k n = π L = (n 1)λ n λ n λ n = L n 1 Por tanto, para una cuerda de longitud L, con un extremo fijo y otro libre, La longitud debe ser un múltiplo impar de la cuarta parte de la longitud de onda. Así para n = 1 la longitud de onda es cuatro veces la longitud de la cuerda. También la distancia entre dos vientres consecutivos o entre dos nodos consecutivos es la mitad de la longitud de onda. Esta propiedad se cumple para todas las ondas estacionarias, independientemente de las condiciones de contorno e iniciales..3.. Energía cinética, potencial, mecánica en una onda y potencia transmitida por un punto en el caso de una onda estacionaria 1. Energía cinética: Como se ha visto antes la densidad de energía cinética es: η c = µ ( ) y t La función de onda de una onda estacionaria es de la forma: y n = A n sin(ω n t + β n )sin k n x. La densidad de energía cinética será: η c = µ A nω n cos (ω n t + β n )sin k n x En las magnitudes periódicas interesa más su valor medio en un periodo que su valor instantáneo. Para calcular su densidad de energía cinética media en un periodo, se integra η c con respecto a t y se divide por el valor del periodo T. El valor final es: η c (x) = µ A nω n sin k n x Como se puede ver, la densidad de energía cinética media en un periodo depende del punto considerado. Será nula en un nodo y máxima en un vientre. La energía cinética se calcula integrando la densidad media entre y L. Su valor es:

1 Ondas E cin = µl 8 A n ω n = ma n ω n 8. Energía potencial: Como se ha visto antes la densidad de energía potencial es: η P = T ( y x ) La función de onda de una onda estacionaria es de la forma: y n = A n sin(ω n t + β n )sin k n x. La densidad de energía potencial será: η P = T A n k n sin (ω n t + β n )cos k n x Para calcular su densidad de energía potencial media en un periodo, se integra η P con respecto a t y se divide por el valor del periodo T. El valor final es: η P (x) = T A n k n cos k n x T = c µ y ω n = k n c = η P (x) = µa nω n cos k n x La densidad media de energía potencial en un periodo depende también del punto, es máxima en los nodos y nula en los vientres. Le energía potencial total vale: es decir, coincide con la cinética. E Pot = µl 8 A nω n = ma nω n 8 3. Energía mecánica: Como se ha visto antes la densidad de energía mecánica es la suma de densidad de energía potencial y de la de energía cinética. Pasando por alto sus valores instantáneos en un punto, se van a considerar sus valores medios en un periodo. Por los dos apartados anteriores, se tiene: η E (x) = η c (x) + η P (x) = µa n ω n ( sin k n x + cos k n x ) η E (x) = µa n ω n La densidad media temporal de energía mecánica es la misma en todos los puntos de la cuerda. La energía total vale: E = ma n ω n y no varía con el tiempo. Se trata de un sistema conservativo.. Potencia transmitida por un punto: Aplicando la expresión obtenida antes a la onda estacionaria y n = A n sin(ω n t + β n )sin k n x, se obtiene la expresión: P = Ẇ = TA n ω nk n cos(ω n t + β n )sin(ω n t + β n )cosk n xsin k n x Este valor instantáneo es cero en los nodos, se anula y y, y en los vientres, se anula. En los demás t x puntos es distinto de cero en salvo cuando la cuerda está en posición horizontal. Si dado un punto fijo se calcula la potencia media transmitida en un periodo, el resultado es cero. La potencia va en uno y otro sentido de forma que al cabo de un periodo, no se ha transmitido nada. Este es un argumento más que prueba que las ondas estacionarias no se propagan... Ondas armónicas que se propagan en una cuerda Una vez vistas las ondas estacionarias, se van a ver las ondas que se propagan en una cuerda. Se supone, por comodidad, que avanzan hacia la derecha. Su función de onda es: y = Acos(kx ωt + α)

Ondas 13..1. Energía cinética, potencial y mecánica en una onda que se propaga 1. Energía cinética: Como se ha visto antes la densidad de energía cinética es: η c = µ ( ) y = µa ω sin (kx ωt + α) t Su valor medio en un periodo es: η c (x) = µa ω ; x [, L] Este valor medio coincide con el valor medio por unidad de longitud. Para verlo basta integrar respecto a x entre y λ y dividir por λ. La energía cinética será por tanto: siendo m la masa de la cuerda. E c = ma ω. Energía potencial: Como se ha visto antes la densidad de energía potencial es: η P = T ( ) y = TA k sin (kx ωt + α) x Teniendo en cuenta que T = µc y ω = ck, queda: η P = µa ω sin (kx ωt + α) que coincide con la densidad de energía cinética. Las densidades de energía cinética y potencial son iguales para toda onda armónica que se propaga en una cuerda. Este resutado se puede generalizar a cualquier onda transversal que se propaga en una cuerda. El valor de la energía potencial transportada por la onda es igual al de la energía cinética. 3. Energía mecánica: El valor de la densidad de energía mecánica es el doble de la de energía cinética y por tanto la energía de la onda es: siendo m la masa de la cuerda. E = ma ω... Potencia transmitida por un punto de una onda que se propaga La expresión es la misma que la usada anteriormente. Si se considera un onda que se propaga hacia la derecha su función de onda es de la forma ϕ(x ct). La componente vertical de la fuerza, que ejerce el punto x sobre la cuerda, es T y dϕ u y dϕ u = T donde u = x ct y la velocidad de oscilación es = x du x t du t = c. La potencia transmitida es: Ẇ = Tc ( ) dϕ du Como puede verse la transmisión es positiva, es decir, va en el mismo sentido que la propagación. Si ahora se considera una onda que se propaga en sentido negativo Ψ(x+ct), haciendo v = x+ct, se tiene para la potencia transmitida la expresión: Ẇ = Tc ( ) dψ dv Como puede verse la transmisión es negativa, es decir, va en el mismo sentido que la propagación. En general: la propagación de la onda y la transmisión de potencia van en el mismo sentido.

1 Ondas En el caso de una onda armónica, se tiene: y = A cos(kx ωt + α). El signo corresponde a propagación hacia la derecha y el + hacia la izquierda. La potencia instantánea, en el punto x y el instante t, es: P = Ẇ = ± T k ω A sin (kx ωt + α) Para calcular la potencia media transmitida en un periodo, se integra la potencia entre y T y se divide la integral por T, el resultados es: P = Ẇ = ± TkωA = ± µc kωa = P = Ẇ = ± µa ω c El signo + corresponde a propagación hacia la derecha y el hacia la izquierda..5. Impedancia de una cuerda La impedancia de una cuerda a las ondas transversales, cuando no hay disipación de energía, está determinada por dos parámetros relacionados con el almacenamiento de energía, inercia y elasticidad y además será real. Este es el caso de las ondas trnsversales vistas aquí. La impedancia de una cuerda viene dada por: Z = Fuerza transversal velocidad transversal = Si la onda es del tipo y = Ae i(kx±ωt), su impedancia es: Z = Tk ω = µc k ω = µc Las dimensiones de esta impedancia son masa Kg. Por esta razón en el sistema internacional se mide en tiempo s. T y x y t.6. Cambio de medio: reflexión y transmisión de ondas en el contorno de una cuerda Una cuerda, en rojo en la figura, está formada por dos materiales diferentes y sus dos partes se unen en x =. A la izquierda está el medio 1, la cuerda está formada por un material y al derecha el. La frecuencia es igual a ambos lados, ya que no se crean ni se destruyen ondas, sin embargo la densidad es diferente a ambos lados del eje y y por lo tanto, también lo son los números de ondas y las velocidades de propagación. La deformación de la cuerda en x = es la misma a ambos lados en todo instante, la cuerda no se rompe. La tensión tiene la misma componente horizontal, pero de signo contrario, a ambos lados y la componente vertical debe ser la misma, en caso contrario la cuerda acabaría por romperse. Incidente Reflejada Y Transmitida 1 X

Ondas 15 En el medio 1 están superpuestas las ondas incidente y reflejada, que constituyen y 1 = y i + y R, y en el medio está la onda y que se transmite. Las condiciones en x = son y 1 (, t) = y (, t) T y 1 x (, t) = T y (, t) x Haciendo: y i = A 1 e i(k1x ωt), y R = B 1 e i(k1x+ωt) y y = A e i(kx ωt), se tiene: A 1 + B 1 = A k 1 (A 1 B 1 ) = k A Si ahora se expresan las k en función de las impedancias k j = ω c j y se tiene en cuenta que Z j = T c j, se obtiene: k j = Z jω, que se sustituye en las ecuaciones de las amplitudes y se obtienen los siguientes coeficientes: T Coeficiente de reflexión de amplitudes = R A = B 1 A 1 = Z 1 Z Z 1 + Z Coeficiente de transmisión de amplitudes = T A = A A 1 = Z 1 Z 1 + Z Casos posibles Z < Z 1 B 1 y A 1 mismo signo, A > A 1, hay reflexión sin cambio de fase. Z = Z 1 B 1 =, A = A 1 la cuerda es igual a ambos lados, no hay reflexión y la onda no se altera. Z > Z 1 B 1 y A 1 distinto signo, A < A 1, hay reflexión con cambio de fase. Z A, B 1 A 1, reflexión total con cambio de signo..6.1. Coeficientes de transmisión y reflexión para la energía Al punto en el que tiene lugar el cambio de medio, llega una potencia: reflejada transporta: Ẇ T = µ ω A c Ẇ R = µ 1ω B1 c 1 = Z A ω = Z 1B 1 ω Ẇ i = µ 1ω A 1 c 1 y la onda transmitida al medio transporta: = Z 1A 1 ω, la onda Coeficiente de transmisión de energía = T E = Ẇ T Ẇ i = Z 1Z (Z 1 + Z ). Coeficiente de reflexión de energía = R E = Ẇ R Ẇ i = (Z 1 Z ) (Z 1 + Z ). Es facil comprobar que: R E + T E = 1, de acuerdo con el principio de conservación de la energía.

Capítulo 3 Ondas longitudinales en gases: ondas sonoras

Ondas 17 3.1. Ondas longitudinales en un tubo cilíndrico lleno de un gas ideal Se tiene un tubo cilíndrico de sección circular uniforme, S, que está lleno de un gas ideal (p. ej. aire), que está en equilibrio a una presión P, cuya densidad es ρ y cuya temperatura es T. Se considera el gas, que en equilibrio ocupa un volumen V = S x. P ρ T P x Se hace vibrar un diapasón en uno de los extremos del tubo. Así se provocan compresiones y dilataciones a lo largo del tubo.el gas, que ocupaba antes x, ahora ocupa x+ φ (si φ >, hay una dilatación y si φ <, una compresión). La densidad, ρ, ahora no es constante, depende del punto y el instante. La perturbación φ, desplazamiento de una sección de gas de su posición de equilibrio, también depende de x y t. P ρ T P + P x + φ La ecuación, que cumple el desplazamiento en un punto x y en un instante t, es: φ t = c φ x γrt siendo: c = M. Aquí γ es la constante adiabática del gas, T la temperatura del equilibrio, R la constante de los gases y M la masa molecular del gas. La intervención de gamma se debe a que las ondas longitudinales se consideran procesos adiabáticos porque, dada su frecuencia, el gas no tiene tiempo para intercambiar calor con su entorno. Las ondas son longitudinales porque la perturbación φ es paralela a la velocidad de propagación de las ondas. Las compresiones y dilataciones tienen lugar en la dirección en la que avanza la onda. 3.1.1. Demostración de la ecuación de ondas longitudinales en un gas Para demostrar la ecuación de las ondas longitudinales son necesarias dos ecuaciones básicas: la de conservación de la masa del gas y la de la segunda ley de Newton. ( 1. Conservación de la masa: ρ S x = ρs( x + φ) ρ ρ 1 + φ ) ( ρ 1 + φ ) x x Como se ha visto en la introducción general de ondas tanto las perturbaciones como todas sus derivadas son pequeñas. Aplicando Taylor a orden uno, se obtiene la expresión de la densidad en función del desplazamiento: ( ρ = ρ 1 + φ ) 1 ( ρ ρ 1 φ ) x x. Segunda ley de Newton: La masa de gas es: ρ xs. La velocidad de desplazamiento de este gas es: φ t φ φ es su aceleración. La segunda ley de Newton es: t t ρ S x φ = S p S x p t x ρ φ t = p x

18 Ondas El problema ahora es calcular p. La variable relacionada con x es el desplazamiento φ, que a su vez x está relacionado con ρ. La densidad y la presión están relacionadas a través de la ecuación del proceso, que tiene lugar en la formación y propagación de las ondas de presión. Si la relación entre p y ρ en este proceso se designa como p = p(ρ) proceso, se cumple: p ( ) ( ) dp x = ρ dp dρ proceso x = ρ φ. dρ proceso x ( ) dp Sólo se van a considerar procesos en los que: >. dρ Para estos procesos se verifica: proceso φ t = c φ x (dp ) c = dρ proceso Para un proceso adiabático se cumple: pv γ = C p = C V γ ; como ρ = m V p = Cργ m γ dp dρ = γrt M = c = p = Cρ γ = dp dρ = γ Cρ γ ρ γrt M = γp ρ = El módulo de compresibilidad y la velocidad de las ondas de presión. (dp ) Se ha visto que c =, ahora se va a calcular c de una forma diferente, muy frecuente en los libros dρ proceso de texto y de problemas. ( ) ( ) ( ) dp dp dv dp = dρ ad dv ad dρ = V ρ dv ad Esta expresión se ha obtenido teniendo en cuenta la relación entre V y ρ y operando. Se define el módulo de compresibilidad adiabática como: ( ) dp B a = V dv ad B a Con esta definición la velocidad de propagación es: c =. El cálculo de B a da γp y la velocidad c ρ coincide con la anterior. 3.. Ecuaciones de las ondas acústicas para las demás magnitudes del gas Las perturbación de cualquier magnitud, respecto a su valor de equilibrio, cumple, a primer orden, la ecuación de ondas 1. Velocidad de oscilación v = φ t. Densidad ρ (Aproximación a orden 1) v t = c v x

Ondas 19 3. Presión p. Temperatura T ρ t = c ρ x p t = c p x T t = c T x En todas estas ecuaciones la velocidad de propagación es: γrt M 3.3. Relaciones de fase y amplitud entre las diversas perturbaciones en una onda de presión Las perturbaciones de todas las magnitudes, excepto el desplazamiento, están en fase entre sí y retrasadas en π respecto al desplazamiento. 1. Velocidad de oscilación y desplazamiento. φ = φ m e i(kx ωt) y v = φ t = v = iωφ me i(kx ωt) = v = v m e i(kx ωt π/) y v m = φ m ω. Velocidad de oscilación y presión. v = v m e i(kx ωt π/) v p y ρ = p = t x x = iωρ v m e i(kx ωt π/) = p = ρ ωv m e i(kx ωt π/) = p = p m e i(kx ωt π/) y p m = ρ v m c k 3. Velocidad de oscilación y densidad. ( ρ = ρ 1 φ ) ρ x t = ρ v x y v = v me i(kx ωt π/) = ρ t = iρ v m ke i(kx ωt π/) = ρ = ρ v m k ω ei(kx ωt π/) =. Temperatura y densidad. ρ = ρ m e i(kx ωt π/) y ρ m = ρ v m c γ 1 T Total = T + T, ρ Total = ρ + ρ y T Total = Cρ Total = T + T = C ( ρ + ρ m e i(kx ωt π/)) γ 1 ρ m T C(γ 1) ρ γ 1 e i(kx ωt π/) ρ T = T (γ 1)ρ m ρ e i(kx ωt π/) = T = T m e i(kx ωt π/) y T m = T (γ 1)ρ m ρ 3.. Potencia transportada por una onda sonora. Intensidad y sensación sonora Como ya se ha visto la potencia transportada por una onda, dejando de lado su signo, es: Ẇ = F v osc ; si p = pm cos(kx ωt) y v = v m cos(kx ωt) Ẇ = Sp m v m cos (kx ωt) = Ẇ = Sp mv m

Ondas Como p m = ρ v m c la potencia media transportada por una onda sonora es: Ẇ = Sρ v mc 3..1. Intensidad. Más interesante que la potencia transportada por una onda sonora es la: Intensidad :La intensidad de una onda, en un punto x y un instante t, es la potencia transportada por la onda por unidad de superficie en ese punto y ese instante. I = Ẇ S = ρ v mc cos (kx ωt) = Ī = ρ v mc = p mv m 3... Sensación sonora, nivel de intensidad sonora La sensación fisiológica de fuerza de un sonido varía logarítmicamente con la intensidad de este. Como en toda sensación hay un valor umbral de intensidad, I = 1 1 w/m, por debajo del cual el oido medio no oye. Hay también un valor máximo de intensidad I max = 1w/m, por encima del cual no se oye, se siente dolor. La sensación sonora,β entre estos valores se mide en decibelios db y su escala viene dada por la expresión: β = 1 log 1 I I db El nivel de intensidad sonora es el valor de la intensidad para la que se oye y está comprendido entre = 1 1 w/m y 1w/m. estos valores de intensidad sonora correponden a unos valores de los niveles de intensidad sonora entre db y 1dB. 3.5. Impedancia de una onda acústica Por definición: ( ) 1 φ Z = p t = p m como p m = ρ v m c = Z = ρ c v m La impedancia se mide en Kg m, cuando se mide en el sistema internacional de unidades. s 3.6. Densidades de energía cinética, potencial y mecánica La densidad de energía cinética, energía cinética por unidad de volumen, es: ρ cin = ρ ( ) φ = ρ vm sin (kx ωt), su valor medio en un periodo es: ρ cin = ρ vm t La densidad de energía potencial, energía potencial por unidad de volumen, tiene el mismo valor que la de energía cinética para una onda que se propaga. La densidad de energía mecánica, energía mecánica por unidad de volumen, su valor es dos veces él de la densidad de energía cinética, para una onda que se propaga. 3.7. Ondas esféricas Se va a calcular la ecuación de una onda esférica de dos maneras. Una mediante razonamiento basado en la conservación de la energía y la otra obteniendo la ecuación de una onda esférica.

Ondas 1 O R1 R 1. Conservación de la energía: Se considera un emisor puntual, O, en un espacio homogéneo e isótropo. Las ondas que emite son superficies esféricas, que van alejándose del punto. Como no hay absorción de energía, a todas las superficies esféricas llega la misma potencia. Si se consideran las superficies de radios R 1 y R, se verifica: Ẇ 1 = Ẇ = Ẇ = Ẇ = Sρ cv m cos (kx ωt) es independiente del radio = ρ cv m1πr 1 = ρ cv mπr = v m1r 1 = v mr ; v m y r = v m = A v r En este caso la amplitud de la velocidad debe ser una constante, propia de la velocidad, dividida por la distancia al foco emisor. Lo mismo debe ocurria con todas las magnitudes de esta onda sonora, que cumplan la ecuación de ondas. Así las ecuaciones de onda son de la forma: a) Desplazamiento: φ(r, t) = A φ r f(r ct) y para una onda armónica φ(r, t) = A φ r cos(kr ωt + α + π ). b) Velocidad de oscilación: v(r, t) = A v f(r ct) y para una onda armónica: r v(r, t) = A v r cos(kr ωt + α). c) Perturbación de la presión de equilibrio: p(r, t) = A p f(r ct) y para una onda armónica: r p(r, t) = A p r cos(kr ωt + α). d) Perturbación de la densidad de equilibrio: ρ(r, t) = A ρ f(r ct) y para una onda armónica: r ρ(r, t) = A ρ r cos(kr ωt + α). e) Perturbación de la temperatura de equilibrio: T(r, t) = A T r T(r, t) = A T r cos(kr ωt + α). f(r ct) y para una onda armónica:. Ecuación para las ondas esféricas: Un onda esférica viene caracterizada por una función de onda f(r, t), que sólo depende de la distancia al foco emisor, r, y del tiempo, t. Siendo r = x + y + z. Su ecuación en coordenadas cartesianas es:

Ondas f x (r, t) + f y (r, t) + f z (r, t) = 1 f c (r, t) t Ahora se cambia de variables la ecuación, se pasa de (x, y, z) (r, t). Para ello se empieza por f x. f f (r, t) = (r, t) r x r x = x f r r (r, t) f x ( ) f f 1 (r, t) = x r (r, t) + (r, t) r r r x r 3 f f (r, t) = (r, t) r y r y = y f r r (r, t) f y ( ) f f 1 (r, t) = y r (r, t) + (r, t) r r r y r 3 f f (r, t) = (r, t) r z r z = z f r r (r, t) f z ( ) f f 1 (r, t) = z r (r, t) + (r, t) r r r z r 3 Si se suman ahora las derivadas segundas y se tiene en cuenta la ecuación de la onda sonora esférica, queda: f r (r, t) + f r r (r, t) = 1 f c (r, t) = t c (rf) r (r, t) = (rf) t (r, t) Esta es una ecuación de ondas para el producto rf(r, t) cuya solución es de la forma: f(r, t) = 1 ϕ(r ct) r y f(r, t) = 1 r A f cos(kr ωt + α) si es una onda armónica. 3.8. Condiciones de contorno en tubos sonoros En un extremo abierto de un tubo, la perturbación de la presión es nula, este extremo es un nodo de la presión. En un extremo cerrado la sobrepresión alcanza un máximo en valor absoluto. Así la perturbación de la presión tiene un nodo en un extremo abierto y un vientre en uno cerrado. El desplazamiento es máximo en valor absoluto en un extremo abierto y nulo en un extremo cerrado. Tiene un vientre en un extremo abierto y un nodo en uno cerrado. 3.8.1. Coeficientes de transmisión y reflexión para la velocidad de oscilación y la presión Cuando una onda sonora llega a una superficie que separa dos medios de impedancias acústicas distintas, hay que tener en cuenta dos condiciones de contorno, al considerar la reflexión y transmisión de la onda. Estas son: 1. -La velocidad de oscilación: φ i + φ r = φ t.. -La perturbación de la presión: p i + p r = p t. Donde el subíndice i indica incidente, r reflejada y t transmitida. φ i + φ r = φ t v mi + v mr = v mt. p i + p r = p t Z i v mi Z i v mr = Z D v mt Aquí se obtiene para la velocidad de desplazamiento: R Av = Z i Z D Z i + Z D y T Av = Z i Z i + Z D. y para las amplitudes de la presión: p r = Z i v mr y las ecuaciones anteriores R Ap = R Av y T Ap = T Av Z D Z i =

Ondas 3 R Ap = Z i Z D Z i + Z D y T Ap = Z D Z i + Z D 3.8.. Coeficientes de transmisión y reflexión para la energía La relación entre la energía transmitida y la incidente es la mima que la relación entre la intensidad transmitida y la incidente. El coeficiente de transmisión para le energía es: T E = I t = ρ Dc D vmd I i ρ i c i vmi = Z ( ) D Zi = T E = Z iz D Z i Z i + Z D (Z i + Z D ) Análogamente la relación entre la energía reflejada y la incidente es la misma que entre la intensidad reflejada y la incidente. El coeficiente de reflexión para le energía es: R E = I r I i = v mr v mi ( Zi Z D = R E = Z i + Z D )

Apéndice A Apéndice

Ondas 5 A.1. Integración de funciones trigonométricas En las partes siguientes del curso se usarán integrales definidas, entre y su periodo, de funciones trigonométricas y sus cuadrados. Por esta razón se va a dar aquí un resumen de como calcularlas. A.1.1. Formas directas Las formas directas son: 1.. 3. π π π π sin ϕdϕ, π cos ϕdϕ, π sin ϕdϕ, sin ϕdϕ = [ cosϕ] π = cos cosπ = cosϕdϕ = [sinϕ] π = sin ϕdϕ. π cos ϕdϕ, π cosϕsin ϕdϕ Para resolver esta integral hay que usar dos igualdades trigonométricas. π cosϕcosαdϕ cos ϕ + sin ϕ = 1 cos ϕ sin ϕ = cosϕ De este sistema se deduce: sin ϕ = 1 1 π cosϕ sin ϕdϕ = 1 1 π π π sin ϕdϕ = 1 (1 cosϕ)dϕ = π sin ϕdϕ = π. π cos ϕdϕ. Del sistema de ecuaciones del apartado anterior, se deduce también: cos ϕ = 1 + 1 π cosϕ cos ϕdϕ = 1 1 π π π cos ϕdϕ = 1 (1 + cosϕ)dϕ = π cos ϕdϕ = π 5. 6. π π cosϕsin ϕdϕ = 1 π cosϕcosαdϕ = cosα sin ϕdϕ =. π cosϕdϕ = A.1.. Expresiones usadas en ondas estacionarias Sea la onda estacionaria y n = A n sin(ω n t + β n )sin k n x. Se quiere calcular su densidad de energía cinética media en un periodo, su densidad de energía potencial media en un periodo y su densidad media de energía mecánica en un periodo y también la potencia media transmitida por un punto en un periodo. 1. Densidad media de energía cinética en un periodo: La densidad de energía cinética en un punto x y un instante t vale: η c = µa n ω n cos (ω n t + α n )sin k n x

6 Ondas Para hacer la integral Tn cos (ω n t + α n )dt, se hace el cambio: ω n t + α n = φ n. ω n t + α n = φ n dt = dφ n ω n Cuando t =, φ n = β n y cuando t = T n, φ n = β n π. Se va a calcular: 1 π T n cos (ω n t + α n )dt. 1 T n π cos (ω n t + α n )dt = 1 βn+π cos φ n dφ n = 1 π β n Así se cumple: η c (x) = µa nω n sin k n x. Densidad media de energía potencial en un periodo: La densidad de energía potencial en un punto x y un instante t vale: Queda por resolver la integral: y se tiene: Así se cumple: 1 T n π η P = TA nkn sin (ω n t + α n )cos k n x Tn sin (ω n t + α n )dt. Para ello se hace el cambio del apartado anterior sin (ω n t + α n )dt = 1 βn+π sin φ n dφ n = 1 π β n η P (x) = TA n k n teniendo en cuenta que T = µc y ω n = ck n queda: η P (x) = µa nω n cos k n x cos k n x 3. Densidad media de energía mecánica en un periodo: La densidad media de energía mecánica en un periodo es: η E (x) = η c (x) + η P (x) = µa n ω n. Potencia media transmitida por un punto en un periodo: ( sin k n x + cos k n x ) η E (x) = µa n ω n y P = Ẇ = T y x t (x, y) = Tk nω n cosk n xsin k n xcos(ω n t + α n )sin(ω n t + α n ) P(x) = Ẇ(x) = Tk n ω n cosk n xsin k n x 1 Tn cos(ω n t + α n )sin(ω n t + α n )dt = T P(x) = Ẇ(x) =. n A.1.3. Expresiones usadas en ondas armónicas que se propagan Para la onda armónica que se propaga: y = Acos(kx ωt + alpha) se van a calcular su densidad de energía cinética media en un periodo, su densidad de energía potencial media en un periodo y su densidad media de energía mecánica en un periodo y también la potencia media transmitida por un punto en un periodo. 1. Densidad media de energía cinética en un periodo: La densidad de energía cinética en un punto x y un instante t vale:

Ondas 7 η c = µa n ω n sin (kx ωt + alpha) η(x) = µa n ω n T T sin (kx ωt + α)dt. Se hace: kx ωt + α = φ dt = dφ. Cuando φ = kx + ωt + α los límites de integración son ω φ = π + kx + α y φ = kx + α y la densidad es: η c (x) = µa nω n Cuando φ = kx ωt + α, dt = dφ ω densidad es: η c (x) = µa ω 1 π π+kx+α kx+α sin φdφ = η c (x) = µa nω n y los límites de integración son φ = π + kx + α y φ = kx + α. La 1 π π+kx+α kx+α sin φdφ = η c (x) = µa ω La densidad media en un periodo de energía cinética es constante en todos los puntos y vale: η c (x) = µa ω. Densidad media de energía potencial en un periodo: La densidad de energía potencial en un punto x y un instante t vale: η P (x) = TA k 1 T T sin (kx ωt + α)dt = η P (x) = TA k = µa ω ; x La densidad media en un periodo de energía potencial es constante en todos los puntos e igual a la densidad media de enrgía cinética en un periodo, su valor es: η P (x) = µa ω 3. Densidad media de energía en un periodo: De acuerdo a lo calculado previamente la densidad media de energía en un periodo vale: η = η c + η P = µa ω. Potencia media transmitida por un punto en un periodo: P = y Ẇ = T y x t (x, y) = TkωA sin (kx ωt+α) = P = Ẇ = TkωA = µa ω c