Métodos y Modelos Cuantitativos para la toma de Decisiones

Métodos y Modelos Cuantitativos para la toma de Decisiones David Giuliodori Universidad Empresarial Siglo 21 David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 1 / 98

Índice: 1 Conceptos Generales 2 Enfoque Clásico Tendencia Variación cíclica Efecto estacional Componente irregular 3 Modelización Función de Autocorrelación Función de Autocorrelación Parcial Procesos Estocáticos Estacionarios 4 Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo AR Modelo MA Modelo ARMA 5 Contraste de Raíz Unitaria Test de Dickey-Fuller Test de Dickey-Fuller Aumentado 6 Ejemplos - Mercado Accionario 7 Ejemplos - Tasa de Inflación de US 8 Ejemplos - Tasa de Interés de los Bonos del Tesoro de US 9 Ejemplos - Producto Bruto Interno de US David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 2 / 98

Conceptos Generales Conceptos Generales David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 3 / 98

Conceptos Generales Conceptos Generales Definición (Serie Temporal) Una serie temporal (o simplemente una serie) es una secuencia de N observaciones (datos) equidistantes (aunque no necesaria) y ordenadas cronológicamente sobre una característica (serie univariante o escalar) o sobre varias características (serie multivariante o vectorial) de una unidad observable en diferentes momentos. El primer objetivo del análisis econométrico de una serie temporal consiste en elaborar un modelo estadístico que describa adecuadamente la procedencia de dicha serie, de manera que las implicaciones teóricas del modelo resulten compatibles con las pautas muestrales observadas en la serie temporal. Describir la evolución observada de dicha serie, así como las relaciones contemporáneas y dinámicas entre sus componentes. Prever la evolución futura de dicha serie. Contrastar alguna teoría sobre las características o variables a las que se refieren los componentes de dicha serie. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 4 / 98

Conceptos Generales Conceptos Generales La mayoría de los métodos estadísticos elementales suponen que las observaciones individuales que forman un conjunto de datos son realizaciones de variables aleatorias mutuamente independientes. En general, este supuesto de independencia mutua se justifica por la atención prestada a diversos aspectos del experimento, incluyendo la extracción aleatoria de la muestra de una población mas grande, la asignación aleatoria del tratamiento a cada unidad experimental, etc. Además en este tipo de datos (tomamos una muestra aleatoria simple de una población mías grande) el orden de las observaciones no tiene mayor importancia. Sin embargo, en el caso de las series temporales, hemos de tener en cuenta, sin embargo, que: el orden es fundamental: tenemos un conjunto de datos ordenado el supuesto de independencia no se sostiene ya que, en general, las observaciones son dependientes entre sí y la naturaleza de su dependencia es de interés en sí misma David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 5 / 98

Conceptos Generales Conceptos Generales Debido a estas características especificas de los datos de series temporales, se han de desarrollar modelos específicos que recojan y aprovechen la dependencia entre las observaciones ordenadas de una serie temporal. El conjunto de técnicas de estudio de series de observaciones dependientes ordenadas en el tiempo se denomina Análisis de. El instrumento de análisis que se suele utilizar es un modelo que permita reproducir el comportamiento de la variable de interés. Los Modelos de pueden ser: Univariantes: sólo se analiza una serie temporal en función de su propio pasado Multivariantes: se analizan varias series temporales a la vez. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 6 / 98

Conceptos Generales Conceptos Generales El análisis de series temporales se basa en la siguiente noción fundamental: Componentes no observados. Se basa en la idea de que una serie temporal puede ser considerada como una función en la que se superponen varias componentes elementales no observables. Por ejemplo, tendencia, estacionalidad y ciclo. La estimación de tendencias y el ajuste estacional atraen mucho la atención debido a su importancia práctica para el análisis de series económicas. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 7 / 98

Enfoque Clásico Enfoque Clásico David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 8 / 98

Enfoque Clásico Conceptos Generales Ejemplo La evolución del Producto Interno Bruto de Argentina. El modelo clásico de serie de tiempo asume que la estructura de la serie es el resultado de la superposición de varios factores, entre los que se destacan: 1 Tendencia secular 2 Variación cíclica 3 Fluctuación estacional 4 Variación irregular David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 9 / 98

Enfoque Clásico Tendencia Tendencia Definición (Tendencia Secular) Es el movimiento general de la serie a largo plazo. Ejemplo A continuación se presenta una gráfica con la cantidad mensual de helado demandado David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 10 / 98

Enfoque Clásico Tendencia Tendencia Si la tendencia (que puede ser creciente o decreciente) es del tipo lineal, se puede ajustar un modelo lineal simple, del tipo: y = a + bx, como por ejemplo en el caso de la demanda de helados. El ajuste se realiza por el método de mínimos cuadrados. (xi x) (y i y) b = (xi x) 2, a = y bx (1) Si la tendencia no es lineal, se puede aplicar otro modelo que también puede ser ajustado por mínimo cuadrados. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 11 / 98

Enfoque Clásico Tendencia Tendencia Razones para el estudio de tendencias 1 El estudio de tendencias seculares nos permite descubrir un patrón histórico. Existen muchos ejemplos en los que podemos utilizar un patrón pasado para evaluar el éxito de una poĺıtica/decisión anterior. Por ejemplo, una universidad puede evaluar la efectividad de un programa de capacitación de estudiantes mediante el examen de sus tendencias de inscripciones pasadas. 2 El estudio de tendencias seculares nos permite proyectar patrones pasados, o tendencias, hacia el futuro. 3 En muchas situaciones, el estudio de la tendencia secular de una serie temporal nos permite eliminar la componente de tendencia de la serie, para facilitar el estudio de las otras componentes. Por ejemplo, la eliminación de la componente de tendencia de la demanda de helados nos proporciona una idea más precisa de la componente estacional o temporal. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 12 / 98

Enfoque Clásico Variación cíclica Variación Cíclica Definición (Variación Cíclica) Son fluctuaciones que ocurren generalmente en periodos prolongados, caracterizados por picos y caídas (o cimas y valles) de varios años de duración. Ejemplo La demanda de helados en un periodo extenso de tiempo va a sufrir cambios muy lentos asociados a la marcha general de la economía (periodos de expansión y contracción). David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 13 / 98

Enfoque Clásico Variación cíclica Variación Cíclica Para aislar e identificar la componente cíclica se puede calcular los residuos cíclicos como diferencia entre el valor observado y el valor estimado por el modelo de tendencia, es decir: e i = y i ŷ i (2) David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 14 / 98

Enfoque Clásico Efecto estacional Fluctuación estacional Definición (Fluctuación estacional) Es la variación que se explica estacionalmente, dentro de un periodo como puede ser un año, cuyo patrón tiende a repetirse periodo tras periodo. Ejemplo La demanda de helados tiene un pico durante los meses de verano y un valle o una caída durante los meses de invierno. Una técnica muy útil en este caso es el cálculo de promedios móviles, que permite suavizar las fluctuaciones de la serie y facilitar la identificación de la componente estacional. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 15 / 98

Enfoque Clásico Efecto estacional Efecto estacional Ejemplo A continuación se presenta la demanda eléctrica mensual de España desde enero del 2004 hasta diciembre de 2009. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 16 / 98

Enfoque Clásico Efecto estacional Efecto estacional Ejemplo (Continuación) Mes Demanda (MWh) Media Móvil 12 meses Segundos Promedios 2 meses Razón (2) (3) (4) (5)=(2)/(4) ene-04 21237 feb-04 20684 mar-04 21905 abr-04 19139 may-04 19991 jun-04 21101 21065.58 jul-04 22594 21176.58 106.69 21287.58 ago-04 20816 21355.83 97.47 21424.08... jun-09 21536 22394.00 96.17 22358.08 jul-09 23789 ago-09 22745 sep-09 22125 oct-09 21541 nov-09 21375 dic-09 23841 David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 17 / 98..

Enfoque Clásico Efecto estacional Efecto estacional Ejemplo (Continuación) 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Mediana Perfil Enero 1.10 1.13 1.10 1.11 1.12 1.114 1.111 Febrero 1.02 1.01 0.97 1.04 0.97 1.012 1.009 Marzo 1.01 1.02 1.03 0.98 0.98 1.011 1.009 Abril 0.92 0.88 0.95 0.95 0.91 0.925 0.923 Mayo 0.96 0.95 0.96 0.96 0.93 0.957 0.955 Junio 1.01 0.99 0.97 0.94 0.96 0.972 0.970 Julio 1.07 1.08 1.12 1.06 1.05 1.067 1.065 Agosto 0.97 0.95 0.97 0.97 1.00 0.969 0.967 Septiembre 0.99 0.94 0.99 0.97 0.99 0.985 0.983 Octubre 0.95 0.93 0.95 0.94 0.97 0.949 0.946 Noviembre 0.99 0.99 0.96 1.00 1.01 0.991 0.989 Diciembre 1.03 1.07 1.05 1.07 1.08 1.074 1.071 Promedio 1.002 1.000 De esta forma, si se quiere desestacionarizar la demanda, se divide a cada observación mensual por el perfil del mes correspondiente. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 18 / 98

Enfoque Clásico Componente irregular Componente irregular Definición (Variación irregular) Son todos los movimientos de la serie que no pueden ser explicados por los factores de variación vistos anteriormente, como resultado de la acción de diversas componentes aleatorios. Cuando alguno de estos factores tiene una incidencia determinante sobre el comportamiento de la serie, provocando un brusco pico o caída, resulta importante identificar el punto y asignar la causa de la variación, para facilitar la interpretación del comportamiento de la serie y tener en cuenta la ocurrencia de estos imponderables al efectuar un pronóstico. Ejemplo La crisis económica desatada en Argentina en diciembre de 2001 produjo un shock importante en la economía en general. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 19 / 98

Enfoque Clásico Componente irregular En resumen, el objetivo de analizar una serie de tiempo consiste precisamente en tratar de determinar sus principales propiedades: establecer si la serie presenta algún tipo de tendencia, si tiene fluctuaciones cíclicas o estacionales, etc. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 20 / 98

Modelización Modelización David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 21 / 98

Modelización Conceptos Generales El estudio descriptivo de series temporales se basa en la idea de descomponer la variación de una serie en varias componentes básicas. Este enfoque no siempre resulta ser el más adecuado, pero es interesante cuando en la serie se observa cierta tendencia o cierta periodicidad. Hay que resaltar que esta descomposición no es en general única. Las componentes o fuentes de variación que se consideran habitualmente son las siguientes: Tendencia: Se puede definir como un cambio a largo plazo que se produce en relación al nivel medio, o el cambio a largo plazo de la media. La tendencia se identifica con un movimiento suave de la serie a largo plazo. Variación cíclica/efecto Estacional: Muchas series temporales presentan cierta periodicidad o dicho de otro modo, variación de cierto periodo (anual, mensual...). Por ejemplo, el nivel de desocupación aumenta en general en invierno y disminuye en verano. Estos tipos de efectos son fáciles de entender y se pueden medir expĺıcitamente o incluso se pueden eliminar del conjunto de los datos, desestacionalizando la serie original. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 22 / 98

Modelización Conceptos Generales Componente Irregular: Una vez identificados los componentes anteriores y después de haberlos eliminado, persisten unos valores que son aleatorios. Se pretende estudiar qué tipo de comportamiento aleatorio presentan estos residuos, utilizando algún tipo de modelo probabiĺıstico que los describa De las tres componentes reseñadas, las dos primeras son componentes determinísticas, mientras que la última es aleatoria. Así, se puede denotar que Y t = T t + VC t + EE t + I t (3) donde T t es la tendencia, VC t es la variación cíclica, EE t es el efecto estacional, que constituyen la señal o parte determinística, e I t es el ruido o parte aleatoria. Es necesario aislar de alguna manera la componente aleatoria y estudiar qué modelo probabiĺıstico es el más adecuado. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 23 / 98

Modelización Función de Autocorrelación Conceptos Generales: Coeficiente de Autocorrelación El instrumento fundamental a la hora de analizar las propiedades de una serie temporal en términos de la interrelación temporal de sus observaciones es el denominado coeficiente de autocorrelación que mide la correlación, es decir, el grado de asociación lineal que existe entre observaciones separadas k periodos. Estos coeficientes de autocorrelación proporcionan mucha información sobre como están relacionadas entre sí las distintas observaciones de una serie temporal, lo que ayudaría a construir el modelo apropiado para los datos. Coeficiente de Autocorrelación ρ xt,x t+k = cov(x t, x t+k ) V (xt ) V (x t+k ) (4) El gráfico de la Función de Autocorrelación es el gráfico de los coeficientes de autocorrelación de orden k contra el retardo k. Este gráfico es muy útil para interpretar el conjunto de los coeficientes de autocorrelación de una serie temporal. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 24 / 98

Modelización Función de Autocorrelación Conceptos Generales: Función de Autocorrelación La interpretación de la Función de Autocorrelación no es sencilla. Sin embargo, existen algunas pautas generales que ayudan a la hora de analizar un gráfico de este estilo. Si una serie es puramente aleatoria, entonces para valores de T grandes, r k 0, para cualquier k 0. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 25 / 98

Modelización Función de Autocorrelación Conceptos Generales: Función de Autocorrelación Supongamos que tenemos una serie sin tendencia, que oscila en torno a una media constante, pero cuyas observaciones sucesivas están correlacionadas positivamente, es decir, una serie en la que a una observación por encima de la media, le suele seguir otra o más observaciones por encima de la media (lo mismo, para observaciones por debajo de la media). El correlograma es de la siguiente forma: un valor relativamente alto de r 1, seguido de algunos coeficientes r k distintos de cero, pero cada vez más pequeños y valores de r k aproximadamente cero para k grande. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 26 / 98

Modelización Función de Autocorrelación Conceptos Generales: Función de Autocorrelación Las series sin tendencia que oscilan en torno a una media constante pero que alternan valores con observaciones sucesivas a diferentes lados de la media general, presentan un correlograma que también suele alternar los signos de sus coeficientes. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 27 / 98

Modelización Función de Autocorrelación Conceptos Generales: Función de Autocorrelación Si la serie contiene una tendencia, es decir, cambia continuamente de nivel, los valores de r k no van a decrecer hacia cero rápidamente. Esto es debido a que una observación por encima de la media (o por debajo) de la media general es seguida de muchas observaciones por el mismo lado de la media debido a la tendencia. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 28 / 98

Modelización Función de Autocorrelación Conceptos Generales: Función de Autocorrelación Si una serie presenta algún tipo de ciclo, el correlograma generalmente también presentaría una oscilación a la misma frecuencia. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 29 / 98

Modelización Función de Autocorrelación Parcial Conceptos Generales: Función de Autocorrelación Parcial Además de la correlación entre x t y x t+k, nos podría interesar la correlación entre estos procesos pero una vez que se elimine la dependencia que puedan tener con las variables x t+1,x t+2,...,x t+k 1. Esto se conoce como la auto-correlación parcial entre x t y x t+k. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 30 / 98

Modelización Función de Autocorrelación Parcial Conceptos Generales: Función de Autocorrelación Parcial Supongamos que tenemos una serie sin tendencia, que oscila en torno a una media constante, pero cuyas observaciones sucesivas están correlacionadas positivamente. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 31 / 98

Modelización Función de Autocorrelación Parcial Conceptos Generales: Función de Autocorrelación Parcial Las series sin tendencia que oscilan en torno a una media constante pero que alternan valores con observaciones sucesivas a diferentes lados de la media general. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 32 / 98

Modelización Procesos Estocáticos Estacionarios Conceptos Generales: Procesos Estocásticos Definición (Proceso Estocástico) Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias que, en general, generalmente están relacionadas entre sí y siguen una ley de distribución conjunta. Un proceso estocástico se caracteriza por: Tener una función de distribución: para conocer la función de distribución de un proceso estocástico es necesario conocer las funciones de distribución univariantes de cada una de las variables aleatorias del proceso. Momentos del proceso estocástico. Como suele ser muy complejo determinar las características de un proceso estocástico a través de su función de distribución se suele recurrir a caracterizarlo a través de los dos primeros momentos. El objetivo es utilizar la teoría de procesos estocásticos para determinar qué proceso estocástico ha sido capaz de generar la serie temporal bajo estudio con el fin de caracterizar el comportamiento de la serie y predecir en el futuro. Si se quieren conseguir métodos de predicción consistentes, es necesario que la estructura probabiĺıstica del proceso estocástico sea estable en el tiempo. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 33 / 98

Modelización Procesos Estocáticos Estacionarios Conceptos Generales: Procesos Estocásticos La idea que subyace en la teoría de la predicción es siempre la misma: se aprende de las regularidades del comportamiento pasado de la serie y se proyectan hacia el futuro. Por lo tanto, es preciso que los procesos estocásticos generadores de las series temporales tengan algún tipo de estabilidad. Si, por el contrario, en cada momento de tiempo presentan un comportamiento diferente e inestable, no se pueden utilizar para predecir. A estas condiciones que se les impone a los procesos estocásticos para que sean estables para predecir, se les conoce como estacionariedad. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 34 / 98

Modelización Procesos Estocáticos Estacionarios Conceptos Generales: Procesos Estocásticos Definición (Proceso Estocástico Estacionario) Un proceso estocástico, Y t, es estacionario si y solo si: 1 Es estacionario en media, es decir, todas las variables aleatorias del proceso tienen la misma media y es finita: E(Y t ) = µ <, t (5) 2 Todas las variables aleatorias tienen la misma varianza y es finita: V (Y t ) = E(Y t µ) 2 = σ 2 Y <, t (6) 3 Las autocovarianzas solo dependen del número de periodos de separación entre las variables y no del tiempo El proceso estocástico más sencillo es el denominado Ruido Blanco que es una secuencia de variables aleatorias de media cero, varianza constante y covarianzas nulas. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 35 / 98

Modelización Procesos Estocáticos Estacionarios Conceptos Generales: Procesos Estocásticos Estacionarios Las características de la función de autocorrelación de un proceso estocástico estacionario: El coeficiente de autocorrelación de orden 0 es, por definición, 1. Por eso, a menudo, no se le incluye expĺıcitamente en la función de autocorrelación. Es una función simétrica. Por ello, en el correlograma se representa la función de autocorrelación solamente para los valores positivos del retardo k. La función de autocorrelación de un proceso estocástico estacionario tiende a cero rápidamente cuando k tiende a. La función de autocorrelación va a ser el principal instrumento utilizado para recoger la estructura de dependencia dinámica lineal del modelo. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 36 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelos ARMA: Modelo Lineal David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 37 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelos Univariantes La metodología de la modelización univariante es sencilla. Dado que el objetivo es explicar el valor que toma en el momento t una variable económica que presenta dependencia temporal, una forma de trabajar es recoger información sobre el pasado de la variable, observar su evolución en el tiempo y explotar el patrón de regularidad que muestran los datos. La estructura de dependencia temporal lineal de un proceso estocástico puede ser recogida en la función de autocorrelación. En un modelo de series temporales univariante se descompone la serie Y t en dos partes, una que recoge el patrón de regularidad, o parte sistemática, y otra parte puramente aleatoria. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 38 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelos Univariantes La parte sistemática es la parte predecible con el conjunto de información que se utiliza para construir el modelo, es decir, la serie temporal Y 1 ; Y 2 : : : ; Y T. La parte aleatoria respecto al conjunto de información con el que se construye el modelo, es una parte aleatoria en la que sus valores no tienen ninguna relación o dependencia entre sí. La parte aleatoria en el momento t no está relacionada, por lo tanto, ni con los términos aleatorios anteriores ni con las posteriores, ni con la parte sistemática del modelo. Es impredecible, es decir, su predicción es siempre cero. A la hora de construir un modelo estadístico para una variable económica, el problema es formular la parte sistemática de tal manera que el elemento residual, o sea la parte aleatoria, sea un ruido blanco. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 39 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelos Univariantes Supongamos una serie temporal de media cero, como el valor de Y en el momento t depende de su pasado, un modelo teórico capaz de describir su comportamiento sería: Y t = f (Y t 1, Y t 2, Y t 3,...) + ɛ t (7) donde se exige que el comportamiento de Y t sea función de sus valores pasados, posiblemente infinitos. Dentro de los procesos estocásticos estacionarios se considerará únicamente la clase de procesos lineales que se caracterizan porque se pueden representar como una combinación lineal de variables aleatorias. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 40 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelos Univariantes De hecho, en el caso de los procesos estacionarios con distribución normal y media cero, la teoría de procesos estocásticos señala que, bajo condiciones muy generales, Y t se puede expresar como combinación lineal de los valores pasados infinitos de Y, más un término aleatorio que tiene las características de un ruido blanco: Y t = π 1 Y t 1 + π 2 Y t 2 + π 3 Y t 3 +... + ɛ t (8) Las condiciones generales que ha de cumplir el proceso son: Que el proceso sea no anticipante, es decir, que el presente no venga determinado por el futuro. Que el proceso sea invertible, es decir, que el presente dependa de forma convergente de su propio pasado lo que implica que la influencia de Y t k en Y t ha de ir disminuyendo conforme nos alejemos en el pasado. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 41 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelos Univariantes El modelo de la ecuación (8) se puede escribir de forma más compacta en términos del operador de retardos: Y t = (π 1 L + π 2 L 2 + π 3 L 3 +...)Y t + ɛ t (1 π 1 L π 2 L 2 π 3 L 3...)Y t = ɛ t Π (L)Y t = ɛ t (9) Otra forma alternativa de escribir el modelo de la ecuación (8) es: Y t = 1 Π (L) ɛ t = Ψ (L)ɛ t Y t = (1 + ψ 1 L + ψ 2 L 2 + ψ 3 L 3 +...)ɛ t Y t = ɛ t + ψ 1 ɛ t 1 + ψ 2 ɛ t 2 + ψ 3 ɛ t 3 +... (10) Es decir, el valor Y t se puede representar como la combinación lineal del ruido blanco ɛ t y su pasado infinito. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 42 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelos Univariantes Tanto la representación (9) como la (10) son igualmente válidas para los procesos estocásticos estacionarios siempre que se cumplan las dos condiciones antes mencionadas, o sea que el modelo sea no anticipante e invertible. Como en la práctica se va a trabajar con series finitas, los modelos no van a poder expresar dependencias infinitas sin restricciones sino que tendrán que especificar una dependencia en el tiempo acotada y con restricciones. Por lo que los modelos de las ecuaciones (9) y (10) serán simplificados. Sabiendo que un polinomio de orden infinito se puede aproximar por el cociente de polinomios finitos, se puede escribir: Π (L) φ p(l) θ q (L) (11) donde φ p (L) y θ q (L) son polinomios en el operador de retardos finitos de orden p y q. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 43 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelos Univariantes Entonces, la ecuación (8) puede escribirse como: Π (L)Y t φ p(l) θ q (L) Y t = ɛ t φ p (L)Y t = θ q (L)ɛ t (1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p )Y t = (1 θ 1 L θ 2 L 2... θ q L q )ɛ t (12) Por lo tanto: Y t = φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 +... + φ p Y t p } {{ } + ɛ t θ 1 ɛ t 1 θ 2 ɛ t 2... θ q ɛ t q } {{ } Parte autorregresiva Parte Medias Móviles (13) David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 44 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo AR Modelos AR: Autorregresivo David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 45 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo AR Modelos Univariantes: Autorregresivo (AR) Este es un modelo que sólo presenta parte autorregresiva, es decir, el polinomio de medias móviles es de orden 0: Y t = φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 +... + φ p Y t p + ɛ t (14) El modelo autorregresivo finito de orden p, AR(p) es una aproximación natural al modelo lineal general (8). Se obtiene un modelo finito simplemente truncando el modelo general. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 46 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo AR Modelos Univariantes: Autorregresivo (AR) En el proceso AR(1) la variable Y t viene determinada únicamente por su valor pasado, Y t 1, y la perturbación contemporánea, ɛ t : Y t = φ 1 Y t 1 + ɛ t (15) donde ɛ t RB(0, σ). Además, la perturbación ɛ t entra en el sistema en el momento t e influyendo en Y t y en su futuro, pero no en su pasado. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 47 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo AR Modelos Univariantes: Autorregresivo (AR) La función de autocorrelación (FAC) y la función de autocorrelación parcial (FACP) para un AR(1) son: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 48 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo AR Modelos Univariantes: Autorregresivo (AR) En el proceso AR(2) la variable Y t viene determinada únicamente por sus valores pasados, Y t 1, Y t 2, y la perturbación contemporánea, ɛ t : Y t = φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 + ɛ t (16) donde ɛ t RB(0, σ). Nuevamente, la perturbación ɛ t entra en el sistema en el momento t e influyendo en Y t y en su futuro, pero no en su pasado. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 49 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo AR Modelos Univariantes: Autorregresivo (AR) La función de autocorrelación (FAC) y la función de autocorrelación parcial (FACP) para un AR(2) son: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 50 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo MA Modelos MA: Media Móvil David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 51 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo MA Modelos Univariantes: Media Móvil (MA) El modelo de medias móviles de orden finito q, MA(q), es una aproximación natural al modelo lineal general (10). Se obtiene un modelo finito por el simple procedimiento de truncar el modelo de medias móviles de orden infinito: Y t = ɛ t + θ 1 ɛ t 1 + θ 2 ɛ t 2 +... + θ q ɛ t q (17) Los procesos de medias móviles se suelen denominar procesos de memoria corta, mientras que a los autorregresivos se les denomina procesos de memoria larga. Esto es debido a que, la perturbación ɛ t aparece en el sistema en el momento t e influye en Y t e Y t+1 únicamente, por lo que su memoria es de un solo periodo. Sin embargo, en un proceso autorregresivo la perturbación ɛ t aparece en el sistema en el momento t, influye en Y t y a través de Y t en las observaciones futuras, permaneciendo su influencia en el sistema un periodo más largo. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 52 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo MA Modelos Univariantes: Media Móvil (MA) El modelo MA(1) determina el valor de Y en el momento t en función de la perturbación contemporánea y su primer retardo: donde ɛ t RB(0, σ). Y t = ɛ t + θ 1 ɛ t 1 (18) David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 53 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo MA Modelos Univariantes: Media Móvil (MA) La función de autocorrelación (FAC) y la función de autocorrelación parcial (FACP) para un MA(1) son: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 54 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo MA Modelos Univariantes: Media Móvil (MA) Conclusiones Los procesos son estacionarios y no anticipables Son procesos invertibles La Función de Autocorrelación (FAC) me informa si el proceso es autorregresivo o no. Además, me dice el orden del proceso de media móvil La Función de Autocorrelación (FACP) me informa si el proceso es una media móvil o no. Además, me dice el orden del proceso autorregresivo Los procesos autorrgresivos tienen memoria a largo plazo, mientras que los procesos de media móvil tienen a corto plazo David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 55 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo ARMA Modelos ARMA: Autorregresivo con Media Móvil David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 56 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo ARMA Modelos Univariantes: Autorregresivo con Media Móvil (ARMA) Los procesos autorregresivos de medias móviles determinan Y t en función de su pasado hasta el retardo p, de la perturbación contemporánea y el pasado de la perturbación hasta el retardo q. Es decir, donde ɛ t RB(0, σ). Y t = φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 +... + φ p Y t p + + ɛ t + θ 1 ɛ t 1 + θ 2 ɛ t 2 +... + θ q ɛ t q (19) El modelo ARMA(p,q) va a compartir las características de los modelos AR(p) y MA(q) ya que contiene ambas estructuras a la vez. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 57 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo ARMA Modelos Univariantes: Autorregresivo con Media Móvil (ARMA) Teorema 1 Un proceso autorregresivo de medias móviles finito ARMA(p,q) es estacionario sí el modulo de las raíces del polinomio autorregresivo está fuera del circulo unidad. Teorema 2 Un proceso autorregresivo de medias móviles finito ARMA(p,q) es invertible sí el modulo de las raíces del polinomio de medias móviles está fuera del circulo unidad. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 58 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo ARMA Modelos Univariantes: Autorregresivo con Media Móvil (ARMA) El modelo ARMA(1,1) determina el valor de Y en el momento t en función de la perturbación contemporánea, la perturbación del primer retardo y su primer retardo. Es decir: donde ɛ t RB(0, σ). Y t = φ 1 Y t 1 + ɛ t + θ 1 ɛ t 1 (20) David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 59 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo ARMA Modelos Univariantes: Autorregresivo con Media Móvil (ARMA) La función de autocorrelación (FAC) y la función de autocorrelación parcial (FACP) para un ARMA(1) son: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 60 / 98

Modelos ARMA: Modelo Lineal Modelo ARMA Modelos Univariantes: Autorregresivo con Media Móvil (ARMA) Para comprobar la estacionariedad (aplicando el teorema 1), se deben calcular las raíces del polinomio autorregresivo, es decir: 1 φ 1 L = 0 L = 1 L = 1 φ 1 φ 1 < 1 (21) Para comprobar la invertibilidad (aplicando el teorema 2), se deben calcular las raíces del polinomio de media móvil, es decir: φ 1 1 θ 1 L = 0 L = 1 L = 1 θ 1 θ 1 < 1 (22) θ 1 David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 61 / 98

Contraste de Raíz Unitaria Test de Dickey-Fuller Contraste de Raíz Unitaria David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 62 / 98

Contraste de Raíz Unitaria Test de Dickey-Fuller Contraste de Raíz Unitaria: Test de Dickey-Fuller Sin duda alguna, el test más habitual a la hora de determinar la estacionariedad de una serie temporal, consiste en la aplicación del conocido como test de Dickey-Fuller (Test DF) o Dickey-Fuller Ampliado (Test ADF). Éste es un contraste de No estacionariedad ya que la hipótesis nula es precisamente la presencia de una raíz unitaria en el proceso generador de datos de la serie analizada. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 63 / 98

Contraste de Raíz Unitaria Test de Dickey-Fuller Contraste de Raíz Unitaria: Test de Dickey-Fuller Vamos a suponer inicialmente, como modelo de partida para el análisis de una determinada serie Y t, el de un proceso estacionario autorregresivo de orden uno. Formulación de Hipótesis Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa H 0 : Y t = Y t 1 + ɛ t (23) H 1 : Y t = φ 1 Y t 1 + ɛ t (24) Es decir, se contrasta una serie autorregresiva de orden uno, frente a un paseo aleatorio no estacionario (φ 1 = 1). Por lo tanto, se trata de contrastar si el coeficiente φ 1 es mayor o igual a la unidad o menor que ella. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 64 / 98

Contraste de Raíz Unitaria Test de Dickey-Fuller Contraste de Raíz Unitaria: Test de Dickey-Fuller En la práctica, por cuestiones de sencillez operativa, el modelo utilizado para el contraste DF no es el expuesto al comienzo sino otro, equivalente al anterior, que se obtiene restando a uno y otro lado el término Y t 1 : Y t = γy t 1 + ɛ t (25) donde γ = (φ 1 1) Formulación de Hipótesis Hipótesis Nula H 0 : γ 0 (26) Hipótesis Alternativa H 1 : γ < 0 (27) David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 65 / 98

Contraste de Raíz Unitaria Test de Dickey-Fuller Contraste de Raíz Unitaria: Test de Dickey-Fuller Decir que γ es nulo o superior es lo mismo que decir que φ 1 = 1, o sea, que existe una raíz unitaria. Decir que es menor que cero equivale a decir que φ 1 es menor que la unidad (proceso autorregresivo estacionario). El procedimiento básico para la aplicación simple del test DF es relativamente sencillo. Se estima el modelo propuesto y se calcula el valor estimado del estadístico t del parámetro analizado. Una vez calculado se compara con el valor empírico de referencia obtenido con las tablas de Dickey y Fuller o de MacKinnon. Si el valor estimado para γ es inferior en valor absoluto al tabulado dado un determinado nivel de confianza, admitiremos la hipótesis nula, o sea, la presencia de una raíz unitaria. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 66 / 98

Contraste de Raíz Unitaria Test de Dickey-Fuller Aumentado Contraste de Raíz Unitaria: Test de Dickey-Fuller Aumentado Está claro que el test anterior permite contrastar la presencia de una o más raíces unitarias en una determinada serie temporal para la que se supone un proceso AR(1). Sin embargo, muchas serie temporales se ajustan más adecuadamente a procesos autorregresivos de orden superior AR(2) o AR(3). No parece, por tanto, muy correcto, contrastar la presencia de una o más raíces unitarias utilizando siempre la estructura de un modelo AR(1) ya que las raíces unitarias pueden aparecer también en estructuras más complejas. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 67 / 98

Contraste de Raíz Unitaria Test de Dickey-Fuller Aumentado Contraste de Raíz Unitaria: Test de Dickey-Fuller Aumentado Este problema da lugar a lo que se conoce como test de raíces unitarias de Dickey-Fuller Ampliado (DFA): si se quiere contrastar la presencia de una raíz unitaria en una serie que sigue un proceso AR(p), deberá aplicarse el procedimiento expuesto para el caso simple AR(1), pero suponiendo ahora del modelo: Y t = γy t 1 + donde γ = (1 p i a i ) y β i = p j a j p β i Y t i+1 + ɛ t (28) i =2 David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 68 / 98

Contraste de Raíz Unitaria Test de Dickey-Fuller Aumentado Metodología para estimar un modelo Analizar la estacionariedad de la serie. En caso que no lo sea, aislar la componente estacionaria de la no estacionaria, utilizando, por ejemplo, primeras diferencias, estimación determinista de la tendencia, etc. Una vez aislada la componente estacionaria de la serie, realizar el contraste de Dickey-Fuller Aumentado para rechazar la posible presencia de raíz unitaria y así asegurar la estacionariedad de la serie. Realizar un correlograma de la serie estacionaria para poder ver las posibles estructura de dependencia que presenta esa serie. Estimar el modelo con la estructura que se desprende del correlograma. Calcular los residuos correspondiente a la estimación anterior. Realizar el contraste de raíz unitaria a los residuos y graficar el correlograma para descartar la posible presencia de estructura en los residuos del modelo estimado. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 69 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo - Mercado Accionario David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 70 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 1: YPF David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 71 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 1 - Mercado Accionario: YPF A continuación se presenta las cotizaciones de las acciones de YPF desde el 19 de agosto del 2004 al 9 de mayo del 2014. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 72 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 1 - Mercado Accionario: YPF El correlograma correspondiente a la serie de la acción de YPF en logaritmos es: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 73 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 1 - Mercado Accionario: YPF Dado que el correlograma indica la presencia de una raíz unitaria, se debe transformar la serie en estacionaria para analizarla. Para ello se realiza la siguiente operación: Y t = Y t Y t 1 (29) A este operador se lo suele denominar primeras diferencias. La evolución de la variable en primeras diferencias es la siguiente: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 74 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 1 - Mercado Accionario: YPF El correlograma correspondiente a la primera diferencia es el siguiente: Este correlograma sugiere que la posible estructura que la serie puede ser un ARMA(2, 1). Y t = φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 + θ 1 ɛ t 1 + ɛ t (30) David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 75 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 1 - Mercado Accionario: YPF Contraste aumentado de Dickey-Fuller incluyendo un retardo: Tamaño muestral 2441 Hipótesis nula de raíz unitaria: φ 1 = 1 Sin constante Con constante Valor p 8,327 10 39 8,151 10 45 Como conclusión, el contraste sugiere que la serie es estacionaria. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 76 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 1 - Mercado Accionario: YPF La estimación de los coeficientes del modelo da los siguientes resultados: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 77 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 1 - Mercado Accionario: YPF Se puede comprobar que el correlograma de los residuos no presenta estructura y rechaza la hipótesis nula de existencia de raíz unitaria (ADF). Conclusión: Se encontró una estructura en la primera diferencia de las acciones de YPF del tipo ARMA David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 78 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 2: GOOGLE David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 79 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 2 - Mercado Accionario: GOOGLE A continuación se presenta las cotizaciones de las acciones de GOOGLE desde el 19 de agosto del 2004 al 9 de mayo del 2014. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 80 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 2 - Mercado Accionario: GOOGLE El correlograma correspondiente a esta acción es: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 81 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 2 - Mercado Accionario: GOOGLE La evolución de la variable en primeras diferencias de la acción de GOOGLE es la siguiente: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 82 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 2 - Mercado Accionario: GOOGLE El correlograma correspondiente de la primera diferencia de esta acción es: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 83 / 98

Ejemplos - Mercado Accionario Ejemplo 2 - Mercado Accionario: GOOGLE Conclusiones Se encontró estructura en las acciones de YPF No se encontró estructura en GOOGLE Esto sucede ya que en un mercado desarrollado, la posibilidad de arbitraje desaparece. Dado que la acción de GOOGLE es mucho más ĺıquida que la acción de YPF, no se encuentra estructura en la serie y sólo se puede modelizar con lo que se llama un paseo aleatorio. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 84 / 98

Ejemplos - Tasa de Inflación de US Ejemplo - Tasa de Inflación de US David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 85 / 98

Ejemplos - Tasa de Inflación de US Ejemplo - Tasa de Inflación de US A continuación se presenta la tasa de inflación de US desde enero de 1914 a mayo de 2014 David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 86 / 98

Ejemplos - Tasa de Inflación de US Ejemplo - Tasa de Inflación de US El correlograma de la serie de inflación es el siguiente: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 87 / 98

Ejemplos - Tasa de Inflación de US Ejemplo - Tasa de Inflación de US El modelo sugerido es un AR(5) con una componente estacional autorregresiva de primer orden. David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 88 / 98

Ejemplos - Tasa de Interés de los Bonos del Tesoro de US Ejemplo - Tasa de Interés de los Bonos del Tesoro de US David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 89 / 98

Ejemplos - Tasa de Interés de los Bonos del Tesoro de US Ejemplo - Tasa de Interés de los Bonos del Tesoro de US A continuación se presenta la tasa de interés de los bonos del Tesoro de US desde enero de 2000 a mayo de 2014 David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 90 / 98

Ejemplos - Tasa de Interés de los Bonos del Tesoro de US Ejemplo - Tasa de Interés de los Bonos del Tesoro de US El correlograma de la serie en primeras diferencias es el siguiente: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 91 / 98

Ejemplos - Tasa de Interés de los Bonos del Tesoro de US Ejemplo - Tasa de Interés de los Bonos del Tesoro de US Proponiendo como modelo del tipo MA(1) y estimando los coeficientes para la serie en primeras diferencias, se obtiene: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 92 / 98

Ejemplos - Producto Bruto Interno de US Ejemplo - Producto Bruto Interno de US David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 93 / 98

Ejemplos - Producto Bruto Interno de US Ejemplo - Producto Bruto Interno de US A continuación se presenta la evolución del producto bruto interno de US desde Q1 de 1947 a Q1 de 2014 David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 94 / 98

Ejemplos - Producto Bruto Interno de US Ejemplo - Producto Bruto Interno de US El correlograma de la serie correspondiente a la segunda diferencia es el siguiente: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 95 / 98

Ejemplos - Producto Bruto Interno de US Ejemplo - Producto Bruto Interno de US Estimando un modelo del tipo MA(2) para la segunda diferencia de la serie, tenemos: David Giuliodori (UE-Siglo 21) MMC 96 / 98