TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE 2008 05/09/2008 APELLIDOS NOMBRE DNI NO DE LA VUELTA A ESTA HOJA HASTA QUE SE LO INDIQUE EL PROFESOR MIENTRAS TANTO, LEA ATENTAMENTE LAS INSTRUCCIONES PARA LA REALIZACIÓN DE ESTE EXAMEN NO SE PERMITE EL USO DE LIBROS NI APUNTES NI LA UTILIZACIÓN DE CALCULADORAS PROGRAMABLES Este examen consta de dos partes: La primera parte consiste en un test de carácter eminentemente teórico. Su objetivo es hacer una evaluación general y homogénea sobre todos los conceptos explicados. Su valor sobre la nota total del examen es de 3 puntos como máximo. La segunda parte consta de ejercicios de carácter eminentemente práctico. Su objetivo es evaluar la capacidad del alumno para resolver problemas de análisis con un nivel de dificultad similar al de los problemas propuestos en la asignatura. Segunda parte (2h 30 ): Esta parte consta de un reducido número de problemas con varios apartados cada uno. El enunciado indica la puntuación máxima de cada problema y de cada apartado. La suma de todas las puntuaciones máximas es de 7 puntos, que es la máxima calificación posible de esta segunda parte. Para la realización de esta parte el alumno recibirá el conjunto de las hojas del enunciado grapadas, y dispondrá del conjunto de hojas para operaciones en sucio entregadas al principio de la primera parte. No se deberán separar las hojas del enunciado ni las de operaciones. Las hojas de enunciado incluyen, detrás de cada problema, espacio suficiente para la resolución del mismo. Únicamente se entregarán estas hojas de enunciado. Se recomienda al alumno que dosifique bien su tiempo, reservando una cantidad suficiente de tiempo para completar el enunciado. Esta segunda parte no es tipo test: la solución no es simplemente el resultado correcto, sino también el razonamiento y el desarrollo que ha llevado a dicha solución.
Problema 1 (2 puntos) Estamos implementando un sistema lineal e invariante de tiempo discreto mediante el mecanismo de convolución por bloques y como parte de esa implementación estamos realizando una convolución lineal de un bloque de la señal (que denominaremos x i [n]) de longitud L (entre 0 y L-1) y la respuesta al impulso del sistema, h[n], también de longitud L (entre 0 y L-1). Suponga que tanto el bloque de la señal como la respuesta al impulso son reales y distintas de cero entre 0 y L-1, y cero fuera de ese intervalo. a) En un primer momento pensamos en realizar la convolución entre esas dos señales de forma directa, sin aplicar FFT sino directamente la fórmula de la convolución lineal. Determine cuántas operaciones matemáticas (sólo multiplicaciones reales) son necesarias para calcular todas las muestras de la convolución x i [n]*h[n]. No tenga en cuenta en sus cálculos ninguna multiplicación por cero. Pista: Puede resultarle útil representar el número de muestras en las que se solapan x i [n-m] y h[m] en función de n, que coincide con el número de multiplicaciones a realizar para calcular la convolución en el instante n.[0.75 puntos]. Posteriormente se consideró mejor opción la de realizar el sistema empleando convoluciones calculadas mediante DFTs de N puntos. Para ello empleamos un algoritmo de FFT que requiere 2Nlog 2 N multiplicaciones reales. Considere en todo momento que la DFT de h[n], H[k], está precalculada, y que la DTF inversa requiere exactamente el mismo coste computacional que la directa. b) En primer lugar se optó por aplicar el mecanismo de solapamiento y almacenamiento empleando DFTs de longitud N=L puntos. Qué muestras de la convolución circular de N puntos obtenida mediante la DFT coinciden con la convolución lineal? [0.5 puntos]. c) Visto lo anterior, no es de extrañar que se pasase a considerar como mejor opción, en este caso particular, el mecanismo de solapamiento y suma, empleando DFTs de longitud N=2L puntos. Es suficiente ese número de puntos en la DFT para que la convolución circular de N puntos del bloque de la señal, x i [n], y la respuesta al impulso, h[n], coincida con la lineal? Calcule, en función de L, el número de operaciones (sólo multiplicaciones reales) necesarias para calcular la convolución circular. Particularize para el caso de L=1024 y compare con el resultado del apartado (a) [0.75 puntos].
FIN DEL PROBLEMA 1
Problema 2 (1.5 puntos) Considere el siguiente filtro, del que se sabe que cumple las condiciones de reposo inicial. x[n] c b a z -1 z -1 y[n] e d a) Determine la forma algebraica de su función de transferencia, justificando su respuesta [0.5 puntos]. b) Dibuje el diagrama de polos y ceros y determine si el sistema es estable en los siguientes casos, justificando sus respuestas [0.5 puntos]: b.1) En el caso de que los valores sean: a = 1, b = 2, c = 1, d = 6/4, e = -18/16. b.2) En el caso de que los valores sean: a = 1, b = 0, c = -1/4, d = 0, e = 1. πn c) Determine la respuesta del sistema a x[ n] = cos 3 = 1, d = 0, e = 1/4 [0.5 puntos]. para el caso de los valores a = 1, b = -1, c
FIN DEL PROBLEMA 2
Problema 3 (2 puntos) Considere los dos sistemas mostrados en la siguiente figura: SISTEMA 1 T T x c (t) C/D x[n] ( ) 2 y[n]= x 2 [n] D/C y 1 (t) ideal ideal SISTEMA 2 x c (t) T T ( ) 2 s c (t)= x 2 c (t) C/D s[n] D/C 2 ideal ideal y 2 (t) a) Dibuje los espectros de las distintas señales que aparecen en los sistemas { x[n], y[n], y 1 (t), s c (t), s[n], y 2 (t) } si x c (t) tiene el espectro indicado en la siguiente figura. Para dibujar los espectros considere que T = π/ω M. Dibuje los espectros de las señales discretas entre -3π y +3π, y los de las señales continuas en el rango en el que son distintos de cero. Encuentre la relación entre la señal de entrada y cada una de las señales de salida, así como la relación entre y 1 (t) e y 2 (t). [2 puntos]. X c (jω) 1 -Ω M Ω M Ω
FIN DEL PROBLEMA 3
Problema 4 (1.5 puntos) Queremos diseñar un filtro de tiempo discreto que cumpla el siguiente esquema de tolerancias. H(e jω ) 2.01 1.99 1.01 0.99 0.1 0 0 0.2π 0.3π 0.475π 0.1 0.525π 0.7π 0.8π π ω a) Si deseamos diseñar el filtro en tiempo discreto como un filtro IIR, indique qué método o métodos de diseño de los que conoce podría aplicar y por qué [0.25 puntos]. b) Los métodos de diseño de filtros IIR requieren pasar esas especificaciones a las de un filtro en tiempo continuo que será el que se diseñará con las técnicas de diseño de filtros en tiempo continuo. Obtenga las especificaciones del filtro (o de los filtros) en tiempo continuo para el método (o los métodos) seleccionados en el apartado anterior. Establezca todos los parámetros de diseño (T d ) a 1 [0.5 puntos]. c) Considerando ahora el diseño del filtro FIR mediante enventanado, determine qué ventanas de las que conoce puede emplear en su diseño y cuáles no, sabiendo además que por restricciones de coste computacional no puede emplear filtros con respuesta al impulso mayor de 150 muestras. (0.75 puntos).
FIN DEL PROBLEMA 4
TABLAS Y DATOS ADICIONALES FACILITADOS PARA LA RESOLUCIÓN DEL EXAMEN Fórmulas para el diseño de filtros con la ventana de Kaiser: 0.1102( A 8.7) 0.4 β = 0.5842( A 21) + 0.07886( A 21) 0.0 A 8 M = 2. 285 ω A > 50 21 A 50 A < 21