Solución al Examen parcial I, Curso de Física I Universidad Nacional Autónoma de México Grupo 14 27 de octubre de 2006 1. Un jugador de béisbol golpea la pelota de modo que ésta adquiere una velocidad de 14.5 ms 1 y un ángulo de 30 por encima de la horizontal. Un segundo jugador, a 30.5 m del bateador y en el mismo plano de la trayectoria de la pelota, empieza a correr en el instante en que la pelota es golpeada. (a)calcule la velocidad mínima del jugador para atrapar la pelota, si su mano puede llegar a 2.4 m del nivel del suelo y la pelota estaba a 0.92 m de altura cuando fue golpeada. (b) Qué distancia tiene que correr el segundo jugador? Respuesta: Podemos calcular el tiempo que tarda la bola en llegar a 2.4m del suelo con la ecuación y = y 0 + V y0 t + 1 2 a yt 2 donde y = 2.4m, y 0 = 0.92m, V y0 = V 0 sen30.5ms 1 (la componente de la velocidad inicial en el eje y) y a y = 9.8ms 2 sustituimos los valores de las variables que conocemos y la ecuación nos queda asi: 2.4m = 0.92m + V 0 sen30.5ms 1 t 1 2 9.8ms 2 t 2 haciendo la aritmética y reacomodando tenemos 4.9ms 2 t 2 7.25ms 1 t + 1.48m = 0 La ecuación anterior es una ecuación cuadrática en la variable tiempo, t, un ejemplo para resolver esta ecuación es el siguiente: La escribimos sin unidades, pues el análisis dimensional nos indica que es correcta 1
4.9t 2 7.25t + 1.48 = 0 dividimos la ecuación entre 4.9 t 2 1.48t + 0.3 = 0 at 2 + bt + c = 0 La resolvemos por la fórmula general para ecuaciones cuadráticas t = b ± b 2 4ac 2a De aqui obtenemos las raices t 1 = 0.24 y t 2 = 1.24, que son los dos tiempos para los cuales la bola alcanza los 2.4m respecto al suelo. Tomamos el tiempo para cuando la bola esta cayendo t = t 2 = 1.24s para calcular el avance en x que tuvo la bola, utilizamos la siguiente ecuación para un movimiento no acelerado en x x = x 0 + V 0x t donde V 0x = V 0 cos30 = 12.56ms 1 y x 0 = 0, sustituimos en la ecuación estos valores x = 12.56ms 1 1.24s = 15.57m Y la distancia que el jugador tiene que recorrer si esta a 30.5m del bateador es 30.5 15.57m = 14.92 m. El jugador tiene que acelerar para realizar una buena atrapada, pues está en reposo y empieza a correr cuando el bateador le pega a la bola, entonces tiene que recorrer 14.92 metros en 1.24 segundos, partiendo de una velocidad V 0x = 0 ms 1. Obtenemos la aceleración con la siguiente ecuación tomando en cuenta que el jugador puede acelerar de manera constante x = x 0 + V 0x t + 1 2 a xt 2 despejamos la aceleración y tomamos en cuenta que x 0 = 0 y V 0x = 0 a x = 2x t 2 2
sustituyendo los valores tenemos que la aceleración del jugador es a x = 2 14.92m (1.24s) 2 = 19.41ms 2 La velocidad del jugador al alcanzar la bola es 1 V x = a x t = 19.41ms 2 1.24s = 24.06ms 1 2. Dos bloques conectados por un cordel que pasa por una polea pequeña sin fricción descansan en planos sin fricción(fig. 1). (a) Hacia donde se moverá el sistema cuando los bloques se suelten del reposo? (b) Qué aceleración tendrán los bloques? (c) Qué tensión hay en el cordel? 100 kg 30.0 o o 53.1 50 kg Fig. 1 Respuesta: Dibujamos el diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas. N T T N w 1 x w 1 y w 2 y w 2 x w 1 masa de 100 kg w masa de 50 kg 2 las componentes de los pesos en x son. w 1x = w 1 sen30 w 2x = w 2 sen53.1 1 Esta velocidad es la mínima, pues el jugador podría haber experimentado un movimiento con aceleración variable, por ejemplo, acelerar muy poco al principio y súbitamente al final de su trayectoria para alcanzar la bola. 3
la suma de fuerzas en x para el cuerpo de masa= 100kg F1x = T w 1 sen30 = m 1 a x la suma de fuerzas en x para el cuerpo de masa= 50kg F2x = T + w 2 sen53.1 = m 2 a x si sumamos F 1x y F 2x tenemos la siguiente ecuación w 2 sen53.1 w 1 sen30 = m 1 a x + m 2 a x la anterior ecuación la podemos escribir de la siguiente manera w 2 sen53.1 w 1 sen30 = a x (m 1 + m 2 ) despejamos la aceleración a x = w 2sen53.1 w 1 sen30 m 1 + m 2 como w = mg y sustituyendo los valores encontramos la aceleración que sufren ambos bloques a x = 490 0.8 980 0.5 100 + 50 = 0.65ms 2 Como la aceleración es negativa el sistema se moverá hacia donde decrece x, es decir hacia la izquierda. Para calcular el valor de la tensión de la cuerda la despejamos de una de las ecuaciones que tenemos para la suma de fuerzas en x, por ejemplo: T w 1 sen30 = m 1 a x, y sustituimos el valor de la aceleración. El valor de la tensión es: T = w 1 sen30 + m 1 a x = 490 + 100 ( 0.65) = 425N 3. Es posible mantener un bloque en equilibrio con dos cables fijos a el como se muestra en la Fig. 2?. Cada cable está fijo a una pared, y el ángulo entre ellos es de 180. Fundamente su respuesta con diagramas de cuerpo libre y con aplicaciones de las leyes de Newton. 4
T2 T 1 m Fig. 2 Respuesta: Para que un cuerpo este en equilibrio se debe de cumplir que la suma de las fuerzas que experimenta sea igual a cero. El bloque del problema cumple con la condición para la componente de la suma de fuerzas en x Fx = T 1 T 2 = 0 ; T 1 = T 2 Sin embargo, para la componente de la suma de fuerzas en y no se cumple la condición Fy = w 0 esto es por que al no haber fuerza normal, debido a la inexistencia de una superficie de contacto, o alguna fuerza en sentido contrario al peso del bloque, no hay manera de contrarestar a w, y la suma de fuerzas es diferente de cero. Por lo tanto el sistema no puede estar en equilibrio. La masa tiende a bajar(esto hace que el ángulo entre las tensiones sea menor que 180 ), de esta manera las tensiones tendrán componentes tanto en x como en y, solo así el sistema podrá estar en equilibrio. 4. Punto extra. Invariancia de la suma vectorial ante la rotación del sistema de coordenadas. La Fig. 3 muestra dos vectores, a y b y a dos sistemas de coordenadas que difieren en el hecho de que sus ejes x y x y sus ejes y y y forman un ángulo φ entre ambos. Demostrar analíticamente que a + b tiene la misma magnitud y dirección sin importar cual de los dos sistemas se usa para hacer el análisis. 5
y y b φ a x x Fig. 3 Respuesta: El producto punto de dos vectores, a y b, que tienen un ángulo θ entre ellos es: a b = a b cosθ La definición de norma de un vector es a = a a de aqui que a 2 = a a Entonces la norma de la suma de los vectores a y b es a + b = ( a + b) ( a + b) = a a + b b + 2 a b = a 2 + b 2 + 2 a b cosθ Tomamos un ángulo ψ como el ángulo que forma el eje x y el vector a y a ρ como el ángulo que forma el eje x con el vector b. y y b ρ φ a ψ x φ x Fig. 3 En el sistema x, y las componentes de los vectores a y b son a x = a cos(ψ φ) 6
a y = a sen(ψ φ) b x = b cos(ψ φ) b y = b cos(ρ φ) Y las normas de estos vectores en sus componentes son a = a (cos 2 (ψ φ) + sen 2 (ψ φ)) 1/2 a = a b = b (cos 2 (ρ φ) + sen 2 (ρ φ)) 1/2 b = b Para el sistema x, y se cumple que la norma de una suma de vectores es: a + b = ( a + b ) ( a + b ) = a a + b b + 2 a b = a 2 + b 2 + 2 a b cosθ Lo que tenemos que averiguar es si se cumple la siguiente igualdad a 2 + b 2 + 2 a b cosθ = a 2 + b 2 + 2 a b cosθ Para esto en la ecuación sustituimos las a y b por sus normas expresadas en términos de sus componentes en x y y para obtener la siguiente ecuación a + b = a 2 + b 2 + 2 a b cosθ Por lo tanto a + b = a + b y además a b = a b La dirección del vector a + b respecto al vector a esta dada por η = arccos ( a + b) a a + b b donde η es el ángulo que forman los vectores ( a + b) y a. Utilizando las propiedades del producto punto tenemos que η = a 2 + a b a + b b 7
en el sistema coordenado rotado, (x, y ), el ángulo entre dichos vectores es: η = a 2 + a b a + b b Utilizando a = a y a b = a b tenemos que η = a 2 + a b a + b b Entonces η = η, es decir la dirección de la suma de vectores ( a + b) respecto a los vectores a y b no cambia ante la rotación de coordenadas. 8