Módulo de Mecánica Estadística Objetivos

Módulo de Mecánica Estadística Objetivos Comprender la base fundamental (microscópica) de los conceptos de Equilibrio Termodinámico, Temperatura, Entropía y Energía interna. Ilustrar los métodos de la Mecánica Estadística, aplicándolos al gas ideal. Conocer las diferentes estadísticas que obedecen las partículas de la naturaleza según sean clásicas (Maxwell- Boltzmann) o cuánticas (Fermi-Dirac y Bose-Einstein Einstein). Estudiar los gases ideales de fermiones y bosones para ver cómo las diferentes estadísticas implican propiedades físicas muy diferentes. Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

I. Caracterización de un estado físico Ejemplos de caracterización de estados de sistemas clásicos y cuánticos. Multiplicidad. Sistema binario. Una teoría es tanto mas impactante cuanto mas simples sean sus premisas, mas cosas diferentes relacione entre si y cuanto mas extensa sea su área de aplicación. A esto se debe la profunda impresión que me causó la Termodinámica. Es la única teoría física de contenido universal de la cual estoy convencido que nunca será derribada, dentro del marco de aplicación de sus conceptos básicos. A. Einstein Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

Descripción de un Sistema Físico Cómo se caracteriza un estado de un sistema físico? La respuesta depende de si la descripción del sistema es clásica o cuántica. En la Mecánica Clásica, cada estado del sistema se caracteriza por valores de posición en (x,x+dx) y de cantidad de movimiento en (p,p+dp). En la Mecánica Cuántica, un estado se caracteriza por una función de estado cuya forma queda determinada por un conjunto de números enteros (llamados números cuánticos). Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 3

Ejemplo: Oscilador armónico en una dimensión Energía: E( x, p) p = + m kx x = k x m Este sistema tiene un grado de libertad: dos coordenadas (x,p) caracterizan el estado del sistema. Un estado del sistema queda definido por la posición (x) y la cantidad de movimiento lineal p = mx. A cada estado (x,p) corresponde un punto en el espacio de fases. Muchos estados diferentes pueden tener la misma energía. grado de libertad: número de coordenadas independientes que determinan la posición. Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 4

Espacio de fases A cada estado del sistema le corresponde un punto (x,p) en un espacio (x,p) llamado espacio de fases. p estado A: A: E c c = E E p p = E x hay varios estados (x,p) con energías entre E y E + E p E E+ E x estado B: B: Ec Ec = Ep Ep = E Estados físicamente muy diferentes (como A y B en la figura) tienen la misma energía. La multiplicidad es el número de estados con la misma energía E. Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 5

Descripción cuántica En Mecánica Cuántica, el estado físico se caracteriza por una función n de estado Y cuya forma queda determinada por un conjunto de números enteros (números cuánticos) nticos). En particular, la energía de un sistema confinado sólo puede tomar ciertos valores discretos y queda determinada por el conjunto de los números cuánticos. También aquí varios estados diferentes del sistema pueden tener la misma energía: lo cual introduce el concepto de multiplicidad. Multiplicidad: número de estados accesibles con cierta energía. Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 6

iveles de energía del oscilador armónico (una dimensión) E = ħω n x + ω = m n x =,,,3... k En este ejemplo unidimensional hay un solo nivel de energía para cada estado (valor de n x ), es decir la multiplicidad de cualquier nivel es. V(x)=(/)kx -4-4 posición x 8 7 6 5 4 3 (valores para k = ) Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 7

Multiplicidad del oscilador en 3d La energía de un oscilador cuántico en 3 dimensiones (tres grados de libertad) depende de tres números cuánticos: (n x, n y, n z ) que toman valores enteros no negativos. E = ħω nx + ny + nz + 3 n =,,,3... n =,,,3... n =,,,3... x y La tabla representa los primeros estados del oscilador ordenados por energía creciente z estado números cuánticos multiplicidad energía s E / ħω n x n y n z 3/ 3 3 5/ 4 5 6 7 8 6 7/ 9 3 9/ 3 g s Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 8

Estado 3 4 5 6 7 8 9 Multiplicidad del átomo de H (sin spin) La función de estado Ψ nlm (r, θϕ, ) depende de los tres números cuánticos. La energía depende sólo del número principal n. s n 3 úmeros cuánticos l m - - - E E = E = 3.6 ev n Multiplicidad g s 4 9 Energía -E/E /4 /9 V(r) = -C/r Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 9 -E /9 -E /4 -E electrón ionizado n =,,3 numero cuantico principal l =,, n numero cuantico orbital m = l,,, l numero cuantico magnetico Para pensar: Puedes demostrar que la multiplicidad de la energía E n es n? r

Sistema binario (I) Un sistema simple donde cada partícula puede estar tan solo en uno de dos estados. Esquemáticamente, Energía = Energía = Un estado de un sistema binario de partículas sería, fl flfl fl...... flfl fl fl fl flflfl y el número total de estados posibles es. Cada sitio se supone numerado i=.. de izquierda a derecha. Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

Sistema binario (II) La energía a de un sistema binario de partículas (sin interacción mutua) sería E = ni = = número de partículas i= Para cada sitio i=.. se ha definido n n i = i si la particula esta en el estado n= si la particula esta en el estado La tabla muestra los 3 =8 estados de un sistema binario de tres partículas estado diagrama energía multiplicidad 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

Multiplicidad en un sistema binario Para calcularla, usaremos la expansión del binomio. Los estados con = se generan a partir de: =: ( ) + = + + =3: ( ) 3 3 3 + = + 3 + 3 + donde y En general, para arbitrario (binomio de ewton): el factor C i! = i!( i)! + ( ) Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería + = C i= i i i cuenta el número de estados con i flechas El exceso s = caracteriza el estado y permite una expresión simétrica para la multiplicidad: g!! () s = = ( s)!( + s)!!! La multiplicidad del estado simétrico (s=) es máxima. = + s s =

Entropía Definimos a la entropía S como proporcional al logaritmo del número de estados accesibles al sistema (multiplicidad). S = kln g ( E) k =.38 x -3 J/K (constante de Boltzmann) Veremos luego que en el límite termodinámico esta función coincide con la variable de estado termodinámica. Por ejemplo, la entropía del sistema binario es:! Ss (, ) = kln ( s )!( + s )!, con / V = const. Límite termodinámico: Corresponde a tomar En la práctica, es el límite macroscópico con un gran número de partículas: A 3. Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 3

Sistema binario con muchas partículas En el límite de un gran número de partículas, la multiplicidad es aproximadamente gaussiana:! g( s) = g() e ( s)!( + s)! donde el maximo es g () π En términos de g ( σ ) g () e s σ = s/ = exceso relativo σ el ancho caratceristico σ * = Módulo de Mecánica Estadísitica Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 4 s >> y << - -.5.5 exceso relativo σ En el límite termodinámico, la gaussiana es extremadamente fina, indicando que la gran mayoría de los estados corresponden al caso s=. multiplicidad relativa g(σ)/g().8.6.4. =3 = = /e