ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS ONDAS. Principio de Huygens. El método de Huygens permite obtener el frente de onda que se produce en un instante a partir del frente de onda que se ha producido en un instante anterior. Recordemos que una superficie de onda o frente de onda es una superficie que pasa por todos los puntos del medio que son alcanzados por el movimiento ondulatorio al mismo tiempo. Por tanto, en todos los puntos de una superficie de onda, la perturbación tiene la misma fase. Cada partícula del frente de ondas puede considerarse como foco emisor de ondas secundarias de modo que el nuevo frente de ondas se obtiene como la envolvente de cada uno de estos. Difracción. Es el fenómeno que se produce cuando una onda encuentra un obstáculo o una abertura, al propagarse, cuyo tamaño es comparable a su longitud de onda. Podemos definir por tanto la difracción como el cambio en la dirección que experimenta una onda en su propagación cuando se encuentra obstáculos o aberturas. Reflexión y refracción. Cuando una onda incide sobre la superficie de separación de dos medios distintos, parte de la onda vuelve al medio inicial (reflejada) y parte se transmite al otro medio (refractada). Vamos a explicar estos fenómenos utilizando el método de Huygens: Reflexión: Supongamos un frente de onda plano incidiendo en la superficie de separación de dos medios (ver figura). Este frente toca la superficie de separación en el punto A, y dicho punto se convierte en foco emisor de ondas
secundarias, de forma que cuando el punto B alcanza la superficie en C, el frente generado en A ha avanzado hasta A. Trazamos la envolvente CA que nos da el frente de ondas reflejado. Como los dos frentes se mueven en el mismo medio lo harán con la misma velocidad, por tanto las distancias AA y BC serán iguales. De la figura obtenemos por tanto: AA ' = vt = CAsenr BC = vt = ACseni De donde se obtiene claramente que el ángulo de incidencia y de reflexión son iguales. Refracción: Vamos a estudiar ahora la porción de onda que penetra en el segundo medio. Supongamos que la onda se propaga en el primer medio con velocidad v 1, y que en el segundo medio se propaga con velocidad v. Con un razonamiento similar al empleado en la situación anterior: cuando el frente de onda incide en A, éste se convierte en foco emisor de ondas secundarias, de forma que en el mismo tiempo que el frente de onda recorre la distancia AA, el frente de onda original ha recorrido BC. Pensando en los dos triángulos rectángulos que vemos en la figura: AA ' v t = ACsenr = BC v t = CAseni = 1 Haciendo cociente entre las expresiones anteriores obtenemos que: seni = senr v v 1, expresión conocida como ley de Snell de la refracción. Principio de superposición. Cuando dos ondas coinciden en una región del espacio, la ecuación de la perturbación resultante puede obtenerse a partir de la suma geométrica de las ecuaciones de cada una de las ondas.
Interferencias. Se llama interferencias a la superposición en general de dos o más ondas. Vamos a estudiar el caso más sencillo: la superposición de dos ondas con la misma amplitud y frecuencia que se propagan en el mismo sentido, pero desfasadas una respecto de la otra: y1 ( x, = Asen ( kx ω y ( x, = Asen ( kx ω t + ϕ ) Por el principio de superposición, la perturbación resultante viene representada por: y ( x, = y1( x, + y ( x, que, aplicando las adecuadas fórmulas trigonométricas: ϕ ϕ y ( x, = A cos sen kx ωt + Es decir, el resultado es una onda armónica de la misma frecuencia y cuya amplitud depende de la diferencia de fase entre las dos ondas originales. Vamos a estudiar dos casos extremos: Las ondas están en consonancia de fase: ( ϕ = 0): La onda resultante es una onda de amplitud doble que las ondas componentes: ϕ y ( x, = Asen kx ωt + Se dice entonces que las dos ondas han interferido de forma constructiva. Las ondas están en oposición de fase: ( ϕ = π ): La amplitud de la onda resultante se anula: se ha producido una interferencia destructiva. Generalicemos el resultado: para que las ondas que provienen de focos distintos interfieran constructivamente en un punto tiene que ocurrir que la diferencia de distancia de cada foco a dicho punto sea un número entero de longitudes de onda (en el ejemplo de la figura: si esas dos ondas interfiriesen en un punto situado a la derecha del producirían un máximo de interferencias ya que la diferencia de caminos recorridos es en este caso de dos longitudes de onda):
Ondas estacionarias. Las ondas estacionarias se producen al superponerse en una región dos ondas con la misma amplitud y frecuencia viajando en sentidos contrarios. Por ejemplo: y1 ( x, = Asen ( kx ω y ( x, = Asen ( kx + ω La onda resultante de esa superposición vendrá dada por una función de onda suma geométrica de las anteriores (hemos sumado las expresiones anteriores con la adecuada fórmula trigonométrica): y( x, = Asenkx cos ωt Interpretando esa ecuación, podemos ver que cada punto del medio afectado por esa perturbación, efectúa un movimiento armónico simple ( cos ω t ) con la misma frecuencia que la onda y cuya amplitud de oscilación depende de la posición donde se encuentre ( Asenkx). Por lo tanto, habrá puntos que se encuentren siempre en reposo (la amplitud es siempre cero), llamados nodos, que podemos obtener: Asenkx = 0 kx = nπ x = n (n=0,1,,...), esto nos daría la posición de los nodos.
La distancia entre dos nodos consecutivos:. Además, encontraremos puntos oscilando con amplitud el doble de la amplitud de las ondas componentes (A), a estos puntos se les llama valles, vientres o antinodos. Vamos a analizar distintas situaciones en que se producen ondas estacionarias: Cuerda fija por ambos extremos: Supongamos que tenemos una cuerda de longitud l, fija por un extremo y la hacemos vibrar, las longitudes de onda que pueden producir ondas estacionarias en la cuerda son las siguientes: Primer armónico: dos nodos. l = Segundo armónico: tres nodos. l = Tercer armónico: cuatro nodos. Condición l = 3
En general, las distintas longitudes de ondas que darán lugar a ondas estacionarias en una cuerda son las que cumplen: l = n (n=1,,3...). Y teniendo en cuenta la relación entre la longitud de onda y la frecuencia ( v = f ), podríamos igualmente obtener las relaciones análogas a las anteriores entre la longitud de la cuerda y la frecuencia. Ondas estacionarias en un tubo abierto: Vamos a estudiar la condición de resonancia dentro del tubo (de longitud l), es decir, cuando en la boca de éste tengamos un vientre de la onda estacionaria: Primer armónico. l = Tercer armónico. l = 3 Cuarto armónico. l = 5
Por tanto, tendremos un máximo de resonancia cuando dentro del tubo quepan un número impar de cuartos de longitud de onda: l = (n + 1) (n=0,1,...) Tubo abierto por los dos extremos: Primer armónico. l = Segundo armónico l = Tercer armónico. l = 3 En general: l = n (n=1,,3,...)