POTENCIAL ELECTRICO Un campo eléctrico que rodea a una barra cargada puede describirse no solo por una intensidad de campo eléctrico E (Cantidad Vectorial) si no también como una cantidad escalar llamada Potencial Eléctrico. Diferencia de Potencial eléctrico Considérese una carga de prueba positiva en presencia de un campo eléctrico y que se traslada desde el punto A al punto B conservándose siempre en equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el agente que mueve la carga, la diferencia de potencial eléctrico se define como: El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos el potencial eléctrico en B será respectivamente mayor, menor o igual que el potencial eléctrico en A. La unidad en el SI para la diferencia de potencial que se deduce de la ecuación anterior es Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva unidad, el voltio, esto es: 1 voltio = 1 Joule/Coulomb. El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica (ley de Coulomb) para mover una carga positiva "q" desde el infinito (donde el potencial es cero) hasta ese punto. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria "q" desde el infinito hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica. Matemáticamente se expresa por: VB = W q B o W = Trabajo realizado por un agente externo para mover la carga de prueba q o del infinito hasta el punto B. B V B = Potencial en el punto B E Tanto el trabajo W AB como la Diferencia de Potencial son independientes de la trayectoria a mover q o. RELACION ENTRE POTENCIAL ELECTRICO Y CAMPO ELECTRICO Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico uniforme, estando A a una distancia d de B en la dirección del campo, tal como muestra la figura.
W AB = B B Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F. Considérese una carga de prueba positiva q moviéndose sin aceleración, por efecto de algún agente externo, siguiendo la recta que une A con B. La fuerza eléctrica sobre la carga será qe y apunta hacia abajo. Para mover la carga en la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una fuerza externa F de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El trabajo realizado por el agente que proporciona esta fuerza es: W Fdl = F dl = A A AB B = F. dl. = A pero : θ = 0 Fd B A Fdl cosθ pero : F = E q o Teniendo en cuenta que: Sustituyendo se obtiene: VB VA = Ed Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de campo en un caso sencillo especial. El punto B tiene un potencial más elevado que el A. Esto es razonable porque un agente exterior tendría que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de A hacia B.
CASO GENERAL: Donde el Campo eléctrico no es uniforme y que la trayectoria por donde se mueve la carga de prueba q o no es rectilínea La carga q o experimenta una fuerza Eq o, luego para que la carga de prueba no acelere debe aplicarse una fuerza exterior F igual en magnitud a Eq o para todas las posiciones de la carga de prueba. W = F. dl = q E dl AB o. Entonces: VB VA = E. dl Si el punto A se encuentra a una distancia infinita ( ) entonces V A = 0 ; luego : V B = E. dl POTENCIAL DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL. Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una carga Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura. Según se muestra, apunta a la derecha y, que siempre está en la dirección del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente: Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:
Por lo cual: Combinando esta expresión con la de E para una carga punto se obtiene: Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:, considerando que Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son esferas concéntricas a la carga puntual. Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual Potencial debido a dos cargas puntuales El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto. Siendo y las distancias entre las cargas y y el punto P respectivamente.
Potencial eléctrico generado por una distribución discreta de cargas El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea: siendo: el valor de la enésima carga y la distancia de la misma al punto en cuestión. La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo ; para representar el campo se utilizan las superficies equipotenciales que unen todos los puntos que están al mismo potencial. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de Fuerza. Potencial eléctrico generado por una distribución continua de carga Si la distribución de carga es continúa y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral: siendo: dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V y dv el potencial que dq produce en ese punto. ENERGIA POTENCIAL ELECTRICO. La Energía Potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales se define como el trabajo necesario que hay que realizar para formar un sistema de dos cargas trayéndolas desde una distancia infinita. r A q 1 q 2 V V = A B W AB q 2 pero : q o = q 2 y V A = 0 W B W B VB = q V 2 B = q 2 pero : W B = V B.q 2 pero 1 q1 VB = 4πεo r
1 q1 q W. 2 B = 4πε o r 1 = W B = 4πε o q1. q r U 2 W B se puede considerar como queda almacenada en el sistema q 1 + q 2 como La energía representada Energía Potencial, para sistemas que contienen varias cargas el procedimiento es formando par de cargas separadamente luego se suman. U = U + 12 + U13 U 23 1 q. q2 1. 3 U.( + + = 4 πε o 1 q2. r 12 q r q 13 q r 23 3 ) Solución. Problemas: 1.- Determinar el potencial eléctrico para mover una partícula de carga Q del infinito al punto A Retomamos como el potencial eléctrico para el punto V AB el cual era: Por lo que en este caso el punto inicial Lo cual obviamente solo es un límite y por lo tanto Por ser una ecuación muy utilizada deberá de tenerse presente el hecho del cual se ha partido y por lo tanto tener siempre la consideración de que el potencial se calculado es para trasladar una carga Q desde el infinito a un punto. 2.- Determina la carga de una partícula puntual sometida a un potencial eléctrico de una carga de 127V situada 20cm.
Solución. Sabemos que el potencial eléctrico de una partícula esta determinado por: por lo que despejando tendremos: Sustituyendo obtendremos: 3.- Determinar como es el potencial eléctrico en un punto cualquiera. El potencial en el punto P esta determinado por: si consideramos que existe la posibilidad, en la mayoría de dipolos en la naturaleza, de tener el punto P lejos del dipolo, entonces
ya que podemos casi formar un triangulo rectángulo donde por lo que el potencial del dipolo lo podemos expresar como: Podemos ver que cuando el ángulo es a 90 el potencial es V=0 4. Calcular el potencial para un condensador de placas paralelas Sabemos del ejercicio por: que el campo para un condensador de placas paralelas esta determinado donde Q es la carga del condensador, con densidad de carga uniforme; E es el campo eléctrico y A es el área de la placa positiva del condensador de placas paralelas; sabemos que el a N es normal a la superficie del condensador. Por otro lado, de la definición de potencial eléctrico:
5.- Un electrón es lanzado con una velocidad de 2x10 6 m/s paralelamente a las líneas de un campo eléctrico uniforme de 5000 V/m. Determinar: a) La distancia que ha recorrido el electrón cuando su velocidad se ha reducido a 0.5x10 6 m/s b) La variación de energía potencial que ha experimentado en ese recorrido. Solución: Al tener el electrón carga negativa se ve sometido a una fuerza opuesta al campo eléctrico que le va frenando: m. a = q. E a = q. E / m a = 1.6x10-19 x 5000 / 9.1x10-31 = 8'79x10 14 m/s 2 Al ser la aceleración constante, las ecuaciones del movimiento son: v = v o - a. t t = (v o - v) / a = ( 2x10 6 0.5x10 6 ) / 8.79x10 14 = 1'7x10-9 s e = v o. t - a. t 2 /2 = 2x10 6 x1'7x10-9 - 8'79x10 14 x (1.7x10-9 ) 2 / 2 = 0.0021 m La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo uniforme es: La variación de energía potencial será: V A - V B = E. d = 5000x0.0021 = 10.5 Voltios Ep A - Ep B = q x (V A - V B ) = - 1.6 x 10-19. 10x5 = - 1.68x10-18 Julios 6.- Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mc cada una, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos (0,5) y (0,-5), respectivamente, estando las distancias expresadas en metros. a) En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo? b) Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (1,O) al punto (-1,0)? Solución:
La suma de dos vectores da nulo si tienen el mismo modulo y forman entre sí 180º. En los puntos situados fuera del segmento que une las cargas, segmento AB, el campo no puede anularse pues los campos forman ángulos distintos de 180 º. Sólo puede anularse en el segmento AB. Como las cargas son iguales, y el campo depende de la distancia del punto a la carga, para que los dos campos sean iguales y opuestos sólo puede suceder en el punto medio del segmento, en este caso el origen de coordenadas (0,0). Si se desea comprobar analíticamente, consideremos un punto genérico del segmento de coordenadas (x,0) y determinemos x para que el campo sea nulo: Campo creado en P por la carga situada en A: E = K. q /(5+x) 2 Campo creado en P por la carga situada en B: E = K. q /(5-x) 2 Los dos campos deben ser iguales en módulo para que su suma vectorial de campo nulo: K. q /(5+x) 2 = K. q /(5-x) 2 (5+x) 2 = (5-x) 2 x = 0 El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro del campo es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial entre los dos puntos; como en este caso la carga es la unidad el trabajo coincide con la d.d.p.; como el potencial depende de la carga y de la distancia al punto, al ser las cargas iguales y las posiciones relativas de los puntos, con relación a las cargas, iguales, los potenciales son iguales y por tanto el trabajo es nulo: W = q. ( V 1 - V 2 ) V 1 = K. q A / r A + K. q B /r B = 9x10 9 x2x10-3.( 1 /4 + 1 /6) = 7.5x10 6 Voltios V 2 = K. q A / r A + K. q B /r B = 9x10 9 x 2x10-3.( 1 /6 + 1 /4) = 7.5x10 6 Voltios V 1 - V 2 = 7.5x10 6 7.5x10 6 = 0 W = 0 Julios 7.- Dos cargas eléctricas puntuales de +10 m C y - 10 m C están separadas 10 cm. Determinar el campo y potencial eléctrico en el punto medio de la recta que las une y en un punto equidistante 10 cm de las cargas. En el sentido, punto C los campos creados por cada carga son iguales en módulo, dirección y hacia la carga negativa. El campo total será: E(C,+q) = E(C,-q) = k.q /(a/2) 2 E(C) = 2. k.q. 4 / a 2 = 8x9x10 9 1x0.10-6 /0.1 2 = 7.2 N /C El potencial será: V(C) = k. q / (a/2) + k.(-q) /(a/2) = 0 Voltios
El punto A y las cargas forman un triángulo equilátero. En el punto A, también por igualdad de datos, los módulos de los campos son iguales y sus sentidos los del dibujo y el campo total será paralelo a la recta que une las cargas: E(A,+q) = E(A,-q) = k.q /a 2 El valor de E(A) resulta ser igual al campo creado por una carga por ser el triángulo equilátero: E(A) = [E(A,+q) 2 + E(A,-q) 2-2. E(A,+q). E(A,-q).cos 60] 1/2 E(A) = k.q /a 2 = 9.10 9.x0.10-6 /0.1 2 = 9x10 9 N /C V(A) = k. q /a + k. (-q) /a = 0 Voltios 4.- Se tienen tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas, expresadas en cm, son: A (0,2), B (-3, -1), C (3, -1) Se sabe que las cargas situadas en los puntos B y C son iguales a 2 C y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas (centro del triángulo) es nulo. Determinar: a) El valor de la carga situada en el vértice A b) El potencial en el origen de coordenadas Solución: El campo eléctrico a una distancia r de una carga es : E = [K.Q / r 2 ].u siendo u el vector unitario en el sentido de la carga al punto Si el triángulo es equilátero el centro del mismo equidista de los vértices, por lo que el valor de r es el mismo para las tres cargas. Al mismo tiempo los sentidos de los tres campos en el centro del triángulo forman 120º. Si el campo total es nulo, si el centro equidista de los vértices y si los campos forman 120º, las tres cargas deben ser iguales; por tanto el valor de la carga situada en el vértice A es de + 2 C El potencial en el centro del triángulo será la suma de los potenciales creados por cada carga: V O = V O,A + V O,B + V O,C
El potencial en un punto debido a una carga es una magnitud escalar de valor: V = K.Q / r Al tener cada vértice la misma carga, al tener r el mismo valor para cada carga, se deduce que los potenciales creados por cada carga son iguales y de valor: V O,A = V O,B = V O,C = K. Q / r = 9.10 9.2.10-6 / 0'02 = 900 000 Voltios V O = 3 x 900000 = 2 700 000 Voltios Nota: Con los datos de las coordenadas se puede deducir que el triángulo es equilátero y que el centro del triángulo coincide con el centro de coordenadas, por lo que estos datos son redundantes. 8.- Calcular el campo y el potencial eléctrico producido por un anillo conductor de radio R cargado con una carga Q, en un punto de su eje perpendicular. Consideremos un elemento del anillo formado por un arco de apertura dθ. El valor de ese arco será: y la carga que contiene será: dl = R. dθ dq = Q. dl /(2.π.R) = Q. dθ /(2. π ) El campo creado por este elemento de carga en un punto z del eje perpendicular es: de = k. dq / r 2 = k. Q. dθ /(2π r 2 ) Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y otro perpendicular al anterior; esta ultima componente se anulará con la componente producida por un elemento de carga situado en la posición simétrica en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z: de z = de. sen θ = [ k. Q. dθ /(2. π. r 2 ) ]. (z / r) = k. Q. z. dθ /(2. π. r 3 ) El campo total producido por el anillo será la integral respecto a θ entre 0 y 2. π : E z = de 2 = KQZdθ /(2. π. r 3 ) = k. Q. z / r 3 = k. Q. z / (z 2 + R 2 ) 3/2 El potencial creado por el elemento de anillo será:
dv z = k. dq /r = k. Q. dθ /(2. π. r) El potencial total se obtiene integrando la expresión anterior: V z = k. Q. dθ /(2. π. r) = k. Q / r = k. Q / (z 2 + R 2 ) 1/2 9.- Un disco circular de radio R está cargado uniformemente con una densidad de carga σ C/m 2. Determinar el campo eléctrico y el potencial en un unto del eje perpendicular. Consideremos un elemento de superficie formado por un sector de apertura dθ de una corona circular de radios r y r + dr. El valor de esa superficie será: y la carga que contiene será: ds = r. dθ.dr dq =σ. ds =σ. r. dθ.dr Esta carga creará en un punto, del eje perpendicular, situado a una distancia z, un campo eléctrico de valor: de = k. dq /u 2 Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y otro perpendicular al anterior; esta ultima componente se anulará con la componente producida por un elemento de carga situado en la posición simétrica en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z: de z = de. sen θ = (k. dq /u 2 ). (z /u) = k. z. dq /u 3 = k. z. σ. r. dθ.dr /(z 2 + r 2 ) 3/2 El campo total será la integral de la expresión anterior desde 0 a 2π., respecto a θ, y desde 0 a R, respecto a la variable r: E z = dez = k. z. σ. r. d θ.dr /(z 2 + r 2 ) 3/2 = k. z.. 2.. r. dr /(z 2 + r 2 ) 3/2 = -.. k. z. (z 2 + r 2 ) -1/2 R ] 0 E z =.. k. z. [z -1 - (z 2 + R 2 ) -1/2 ] =.. k. [1 - z. (z 2 + R 2 ) -1/2 ] El potencial en el punto debido al elemento de carga es: dv z = k. dq /u = k.. r. d.dr / (z 2 + r 2 ) 1/2
el potencial total se obtendrá integrando dos veces entre los mismos límites: V z = k.. 2.. r. dr /(z 2 + r 2 ) 1/2 = k.. 2..[(z 2 + r 2 ) 1/2 ] 0 R V z = k.. 2.. [ (z 2 + R 2 ) 1/2 - z ] 10.- En tres vértices de un cuadrado de 40 cm de lado se han situado cargas eléctricas de +125 m C. Determinar el campo eléctrico en el cuarto vértice y el trabajo necesario para trasladar una carga de - 10 m C desde ese vértice al centro del cuadrado. El campo producido en D será la suma vectorial de los campos creados por cada carga: E C = E A = k.q / a 2 E B = k. q / (a 2 + a 2 ) El campo resultante tendrá la dirección y sentido de E B y valdrá: E = E B + (E 2 A + E 2 C ) 1/2 = k. q /(2.a 2 ) + (2. k 2. q 2. / a 4 ) 1/2 E = k. q. (1 / 2 + 2 1/2 ) / a 2 = 9.10 9. 125.10-6. (1 / 2 + 2 1/2 ) / 0.4 2 = 1.35x10 7 N /C El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro es la carga por la d.d.p. entre los puntos: El potencial en un punto es la suma de los potenciales creados por cada carga: V(D) = k. q / a + k. q. /a + k. q. /(a 2 + a 2 ) 1/2 = + k. q. (2 + 1 / 2 1/2 ) / a V(D) = 9.10 9 x 125.10-6. (2 + 1 /2 1/2 ) / 0.4 = 7613738 Voltios V(O) = 3. k. q. /( a / 2 1/2 ) = 3x 9.10 9. 125.10-6 x 2 1/2 / 0.4 = 11932427 Voltios W = q' (V(O) - V(D)) = - 10x10-6. ( 11932427-7613738 ) = 43'2 J
Problemas propuestos: 1.-Las tres placas metálicas mostradas, están cada una separadas por una distancia b si las cargas sobre las placas son ± σ como se indica. Cuál es la diferencia de potencial entre las dos placas? 2.- Una esfera metálica de radio R 1 con potencial V 1, se rodea con una envoltura esférica conductora de radio R 2 sin carga. Como varía el potencial de la esfera después de estar durante cierto tiempo conectado con la envoltura. 3.-Un cilindro infinito de radio a tiene una carga por unidad de volumen ρ 0. Demuestre que el potencial a una distancia r del eje del cilindro es : 2 r, r a ρ { 2 o V r = 2 2 ε o a 2 r a ln, r a 2 a A condiciones de que V o = 0 4.-Dos esferas metálicas, concéntricas y finas, de radios R 1 y R 2 donde R 1 < R 2, poseen cargas Q 1 y Q 2, respectivamente. Hallar la energía de este sistema de cargas, para el caso del condensador esférico. 5.- Dos pequeñas esferas conductoras cargadas de radio r, están situadas en la distancia R una de otra. Estas dos esferas se conectan por turnos a tierra durante cierto tiempo. Hallar el potencial de la esfera que se conectó primeramente a tierra, si la carga inicial de cada esfera era q. 6.- Dos esferas pequeñas conductoras, de radio r, están situados a la distancia R una de otra. Estas esferas se conectan por turno a tierra durante cierto tiempo. Hallar la carga que queda en la esfera, que se conectó a tierra en segundo lugar, si inicialmente cada esfera tenía el potencial V. 7.-Se tiene dos anillos finos de alambre de radio R, cuyos ejes coinciden. Sus cargas son iguales a q y q. Calcular la diferencia de potencial entre sus centros siendo la distancia entre ellos igual a a. 8.- Hallar el potencial y el campo eléctrico en el centro de una semiesfera de radio R, cargada uniformemente con una densidad superficial de la carga. σ. 9.- Una carga laminar uniforme con λ = 2nc/m yace en el plano z= 0 paralelo al eje x en y = 3m. Halle la diferencia de potencial V AB para los puntos A(2,0,4)m y B(0,0,0)m 10.- Un disco circular de radio R o tiene una carga por unidad de área σ. Que cantidad de trabajo se requiere para llevar una partícula de carga q o de un punto en el eje del disco y a una distancia z de su plano a: a).- El punto en el eje a una distancia z del otro lado del disco. b).- El centro del disco.
11.-Una esfera conductora S de radio a está rodeada de otra esfera hueca conductora S 1 de Radio b, de espesor despreciable. Las dos esferas están sin carga eléctrica. Si luego S 1 Se mantiene a un potencial V 1 Y S a tierra, hallar la carga Q de la esfera S (V 1 = 400V, b= 1m, a= 0.5m) S a S 2 b V 1 12.- Dos esferas conductoras de radio 6 cm están unidas mediante un hilo metálico largo delgado y cargados a un potencial de 100 voltios. Una esfera hueca y conductora de 15 cm de radio se divide en dos hemisferios y se colocan concéntricamente alrededor de una de las esferas y a tierra. El alambre que une las esferas pasa por un hueco de uno de los hemisferios. Hallar el potencial final de los dos conductores. a a b 1 13.- Demostrar que el potencial en el punto P es: V r = 4πε P. U r ( 2 ) ; r >>b 14.-Una varilla no conductora tiene una densidad lineal de carga constante λ = 2X10-6 C/m y forma ¾ de la circunferencia de radio R = 1 m. Hallar el potencial eléctrico en el centro de la circunferencia. 15.-Sea R 1 = 10 cm y R 2 = 20 cm los radios de una esfera,, muy alejados después de conectar a la esferas con el alambre delgado, se coloca una carga de 1x 10-8 C en la esfera pequeña y la grande no tiene carga. Calcular a).-la Carga, b).- Potencial de cada esfera; una vez que se la ha conectado.
16.- Determine el trabajo realizado, en µ J, al trasladar una carga puntual q o = 50 µ C en una región donde E i j existe un campo eléctrico = (5X Y) + 10X, N/C siguiendo las trayectorias: a).- T1 = ABC, b).- AC c).- Es conservativo el campo? 17.- Se tiene una esfera metálica maciza de radio a cargada con Q = 5x10-8 C, rodeada por un cascarón esférico conductor, cargado con +2Q, de espesor despreciable y de radio interno b. Luego se une la esfera de radio a a otra esfera de radio c también conductora, mediante un hilo metálico muy largo, atravesando el cascaron esférico por un agujero muy pequeño. Calcular la carga y potencial de la esfera de radio c. a = 5 cm b = 10 cm c = 3 cm c a b 18.- La figura muestra un dipolo eléctrico ± q de L = 2a. Demostrar que el campo eléctrico en un punto P, alejado del dipolo, a partir del potencial eléctrico, cuando x =0 es : E y = πε 2p 1 ( 3 y ), donde p = ql, r >> L
19.- Un conductor esférico de radio a = 50cm tiene una carga Q a = 5x10-8 C, se encuentra en el interior de una esfera conductora hueca de radio b = 100cm. Esta última se halla conectad a tierra a través de una batería de diferencia de potencial V = 100voltios. Hallar el potencial a una distancia r del centro de la esfera. si : r = 25cm, r = 75cm y r = 150cm. 20.-Se establece una diferencia de potencial de 1600 voltios entre dos placas paralelas separadas 4cm. Un electrón se libera de la placa negativa en el mismo instante en que un protón se libera de la placa positiva. A).- A qué distancia de la placa positiva se cruzan? b).- Comparar sus velocidades cuando inciden sobre las placas opuestas. 21.- El potencial V del dipolo de la figura para el punto P(x,y) con y= 0.64 m está dado por : V = 10-5 yr -3.. Calcular el vector E en dicho punto si : r = 1 mt. 22.- Una esfera metálica hueca S 1 de radio a, está rodeada por un cascarón S 2 de espesor despreciable aunque finito de radio interno b. S 2 está puesto a tierra y S 1 es : V1ε a. b σ = 2 ( b a ) ; Hallarσ si : a V 1 =200 Voltios, b = 2a = 1.00m 23.- Demuestre que la componente horizontal del campo eléctrico E en puntos P (x,y), a partir del potencial 1 3pxy eléctrico, debido al dipolo de momento p= 2aq es : E x = ( )( ) 4πε 2 2 5 ( x + y )
24.-Una región de espacio está caracterizado po un Potencial V x = - 80e -0.1X Voltios, en donde X está en metros. El potencial es independiente de Z y de X. Un protón se halla inicialmente en reposo en el punto X = 19 10m, y = z = 0. Hallar su velocidad cuando llegue al punto X = 2.0m, y = z = 0 + e = 1.6x10 C 27 mp = 1.67x10 kg 25.- La figura muestra tres cascarones esféricos de radios a = 20 cm, b = 40 cm, c= 60 cm. Inicialmente el cascarón de radio a no tiene carga pero si b y c con Q b =40 µ C y Q c = 30 µ C. Las esferas de radio a y b están conectados por medio de un alambre que pasa a través de un agujero en el cascarón de radio c. Hallar la carga final en el cascaron a cuando se cierra el interruptor S. Las esferas a y b están muy alejadas. 26.-El hilo AB de longitud L 1 tiene distribuida uniformemente una carga Q 1, el hilo OC tiene distribuido uniformemente una carga +Q 2. Si la longitud de OC es L 2, Hallar : a).- Potencial Eléctrico en el punto P ( L 1 = L 2, a = L/2) b).- El trabajo desarrollado por una fuerza para traer una carga Q 3 desde el infinito hasta el punto P.
27.- Un electrón gira entre dos cilindros con una trayectoria circular de radio R, concéntricos a ellos. Cual debe ser su Energía cinética E k? 28.-Se tiene dos conductores concéntricos de radios a y b (b>a) y con cargas Q 1 y Q 2 a).- Calcular el potencial para diversas posiciones de r b).- Cuales son los valores de los potenciales en estos mismos puntos, si la esfera exterior se conecta a tierra. 29.-En cierta región el potencial está dado por V = 250 ( x 2 + y 2 ) -1/2 Voltios. Determine (en Volt/mt) en el punto P (3;4), estando las coordenadas en mts. 30.- Calcular la velocidad aproximada del electrón al incidir en el punto A si ha partido en B. La diferencia de potencial entre cilindros coaxiales es 1000voltios. ( m = 9.1 x 10-31 Kg, e =1.6 x10-19 C) E A B 31.- Se tiene un cubo de arista a en los vértices del cubo estan situados acho cargas positivas de igual valor q. Hallar el trabajo W necesario para traer dedede el infinito una novena carga igual a q y ubicarlo en el centro del cubo. a = 1 m, q = e 32.- Una región esférica de radio a se desea llenar con cargas igualmente distribuidas con densidad cúbica de ρ Coul/m 3. Hallar el trabajo correspondiente. ρ = 5x10-6 C/m 3, a = 0.2 m 33.- Dadas dos esferas conductoras fijas hallar el trabajo de la fuerza externa para mover una carga de 10-4 C desde A hacia B
34.- Una esfera metálica de radio R 1 = 30 cm, cargado hasta el potencial V 0 =200Voltios, está rodeado por una envoltura esférica conductora cargada y concéntrica de radio R 2 = 60 cm. a).- Cuál es el potencial del cascarón esférico? b).- Cual será el potencial de la esfera si conectamos a tierra la envoltura exterior?. 10 4 C 35.-Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contiene carga unifórmenle distribuida por todo su volumen con una densidad de 4 10-5 / C/m 3. En su centro hay una esfera conductora de 1 cm de radio cargada con -4 10-9 C. Obtener, razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las siguientes regiones r<1, 1< r<3, 3<r<5, r>5. Indíquese la dirección y sentido del campo Dibujar una gráfica de la intensidad del campo en función de la distancia radial. Calcular el potencial del centro de la esfera conductora 36.- Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero tiene un radio de 2 cm y está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de 4/ 10-6 C/m 3. El hueco de radio interior 5 cm y de radio exterior 8 cm, es un conductor cargado con una carga por unidad de longitud de -9 10-9 C/m. Determinar, de forma razonada, la expresión del campo eléctrico en las siguientes regiones: r<2, 2<r<5, 5<r<8, r>8 cm. Representar el campo en función de la distancia radial. Calcular la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje de los cilindros y otro situado a 15 cm del mismo, a lo largo de la dirección radial.