LORTORIO 8 - LORTORIO INFORMÁTICO Caso. Interesa estudiar el efecto del tamaño de broca (factor ) y de la velocidad (factor ) sobre la vibración de la ranuradora (respuesta Y). Para ello se decide utilizar un diseño factorial 2 2 con cuatro réplicas. : : velocidad Vibración Totales /6 4 - - + 8,2 8,9 2,9 4,4 64,4 = () /8 4 + - - 27,2 24, 22,4 22,5 96, = a /6 9 - + - 5,9 4,5 5, 4,2 59,7 = b /8 9 + + + 4, 43,9 36,3 39,9 6, = ab Las preguntas fundamentales que se quieren responder con el experimento son: la velocidad y el tamaño de la broca afectan la vibración de la ranuradora?, si la afecta, cómo es tal efecto y cuál combinación de velocidad y tamaño de broca minimizan la vibración?, cuál es la vibración esperada en las condiciones óptimas?, se cumplen los supuestos del modelo? Los efectos estimados se podrían calcular directamente (los términos entre corchetes se denominan contrastes ): Empecemos a crear el diseño factorial y a analizarlo con MINIT. Estadísticas > Crear diseño factorial > Tipo de diseño: Factorial de 2 niveles (generadores predeterminados) > Diseños: Factorial completo; Número de puntos centrales por bloque: ; Número de réplicas para puntos factoriales: 4; Número de bloques: Diseño factorial completo Factores: 2 Diseño de la base: 2; 4 Corridas: 6 Réplicas: 4 loques: Puntos centrales (total): Todos los términos están libres de estructuras alias.
Podríamos predecir directamente el tratamiento (los valores x están codificados): Estadísticas > DOE > Factorial > nalizar diseño factorial > Gráficas juste factorial: Vibración vs. ; Velocidad Efectos y coeficientes estimados para Vibración (unidades codificadas) Término Efecto Coef SE Coef T P Constante 23,83,62 38,99, 6,637 8,39,62 3,6, Velocidad 7,537 3,769,62 6,7, *Velocidad 8,73 4,356,62 7,3, S = 2,44476 PRESS = 27,57 R-cuad. = 95,8% R-cuad.(pred.) = 92,54% R-cuad.(ajustado) = 94,76% En general, para fines de predicción se recomienda un coeficiente de determinación ajustado de al menos 7%. Cuando hay muchos factores se prefiere el R 2 aj que el R 2 sin ajustar, puesto que este último es engañoso al incrementarse de manera artificial con cada término que se agrega al modelo, aunque sea un término que no contribuya en nada a la explicación de la respuesta. En cambio, el R 2 aj incluso baja de valor cuando el término que se agrega no aporta nada. De esta manera, de acuerdo con R 2 aj el modelo ajustado explica el 94,75% de la variabilidad de la vibración observada en el experimento. Vemos a continuación como existen diferencias significativas en la broca, la velocidad y su interacción (p-valor <,5). Se llaman efectos o interacciones activas. nálisis de varianza para Vibración (unidades codificadas) Fuente GL SC Sec. SC just. MC just. F P Efectos principales 2 334,48 334,48 667,24,64, 7,23 7,23 7,23 85,25, Velocidad 227,26 227,26 227,26 38,2, 2º orden (interacciones) 33,63 33,63 33,63 5,8, *Velocidad 33,63 33,63 33,63 5,8, Error residual 2 7,72 7,72 5,98 Error puro 2 7,72 7,72 5,98 Total 5 79,83
Gráfico de efectos en papel normal o gráfico de Daniel. Los efectos no significativos deben seguir una distribución normal con media igual a cero y varianza constante. Esto implica que si los efectos se representan en papel probabilístico normal, los que no son significativos tenderán a formar una línea recta en esa gráfica. Gráfica normal de efectos estandarizados (la respuesta es Vibración, lfa =,5),E+2 99,9999 99,99 Tipo de efecto No significativo Significativo Factor Nombre V elocidad Porcentaje 99 95 8 5 5 4 8 Efecto estandarizado 2 6 Gráfica de efectos normales (absolutos) estandarizados (la respuesta es Vibración, lfa =,5),E+2 Tipo de efecto No significativo Significativo,E+2 Factor Nombre V elocidad Porcentaje 99,98 98 95 85 8 5 2 4 6 8 Efecto estandarizado absoluto 2 4
El diagrama de Pareto para los efectos representa una manera práctica de ver cuáles efectos son los más grandes en cuanto a su magnitud. quí se ven mejor los efectos activos. Diagrama de Pareto de efectos estandarizados (la respuesta es Vibración, lfa =,5) 2,8 Factor Nombre V elocidad Término 2 4 6 8 Efecto estandarizado 2 4 Cuando hay efectos o interacciones no significativas, el nivel de operación debería elegirse o bien en aquel que de mayor economía o productividad al proceso, o bien aquel que produzca menor variabilidad en la respuesta. El supuesto de varianza constante se puede verificar representando los residuos contra los predichos, y los puntos deben caer aleatoriamente en el sentido vertical dentro de una banda horizontal.
4 vs. ajustes (la respuesta es Vibración) 3 2 Residuo - -2-3 -4 5 25 3 Valor ajustado 35 4 Gráfica de probabilidad normal (la respuesta es Vibración) 99 95 9 8 Porcentaje 7 6 5 4 3 5-5, -2,5, Residuo 2,5 5, Puesto que sólo se estudian dos factores, toda la información relevante del experimento se encuentra en la gráfica de la interacción. Cuando hay interacciones activas, es decir, significativas, lo primero y prioritario es estudiar la interacción. Los efectos principales, en este caso, nos podrían llevar a engaño. Sólo deberemos interpretar los efectos principales si no interactúan con ningún otro!
Gráfica de interacción para Vibración Medias de datos - 4-3 4 3 Velocidad Velocidad - - Se puede afirmar que cuando la broca se encuentra en su nivel bajo la velocidad no afecta de manera significativa la vibración, por el contrario, cuando la broca se encuentra en su nivel alto, la velocidad tiene un efecto considerable sobre la vibración. En otras palabras, al estar la broca en su nivel bajo, la vibración será baja sin importar la velocidad. Gráfica de efectos principales para Vibración Medias de datos 32,5 Velocidad 3, 27,5 Media 25, 22,5, 7,5 5, - -
Gráfica de cubos (medias de los datos) para Vibración 4,925 4,275 Velocidad - 6, 24,25 - Respuesta pronosticada para los nuevos puntos del diseño utilizando el modelo para Vibración EE de Punto juste ajuste IC de 95% IP de 95% 6,,2224 (3,4367; 8,7633) (,446; 22,554) 2 24,25,2224 (2,367; 26,6883) (8,696; 29,984) 3 4,925,2224 (2,267; 7,5883) ( 8,9696;,884) 4 4,275,2224 (37,67; 42,9383) (34,396; 46,234) 5 6,,2224 (3,4367; 8,7633) (,446; 22,554) 6 24,25,2224 (2,367; 26,6883) (8,696; 29,984) 7 4,925,2224 (2,267; 7,5883) ( 8,9696;,884) 8 4,275,2224 (37,67; 42,9383) (34,396; 46,234) 9 6,,2224 (3,4367; 8,7633) (,446; 22,554) 24,25,2224 (2,367; 26,6883) (8,696; 29,984) 4,925,2224 (2,267; 7,5883) ( 8,9696;,884) 2 4,275,2224 (37,67; 42,9383) (34,396; 46,234) 3 6,,2224 (3,4367; 8,7633) (,446; 22,554) 4 24,25,2224 (2,367; 26,6883) (8,696; 29,984) 5 4,925,2224 (2,267; 7,5883) ( 8,9696;,884) 6 4,275,2224 (37,67; 42,9383) (34,396; 46,234) Vamos a representar en MTL la superficie de respuesta. >> [X,Y]=meshgrid(-:.:); >> Z=23.83+8.32.*X+3.77.*Y+4.35.*X.*Y; >> surfc(x,y,z)
4 45 35 4 Vibración 35 3 25 3 25 5 - -.5.5 (unidades codificadas) - 5 Velocidad (unidades codfiicadas) En MINIT también se puede realizar el dibujo de la superficie de respuesta. Como tenemos la matriz de diseño y la respuesta ya introducida en la hoja de datos, no usamos Crear diseño de superficie de respuesta, sino Definir diseño de superficie de respuesta. Estadísticas > DOE > Superficie de respuesta > Definir diseño de superficie de respuesta > Factores:, Velocidad Estadísticas > DOE > Superficie de respuesta > nalizar el diseño de superficie de respuesta Coeficientes de regresión estimados de Vibración utilizando datos en unidades no codificadas Término Coef Constante 23,833 8,3875 Velocidad 3,76875 *Velocidad 4,35625 Estadísticas > DOE > Superficie de respuesta > Gráficas de contorno/superficie
Gráfica de superficie de Vibración vs. Velocidad; 4 Vibración 3 - - Velocidad Gráfica de contorno de Vibración vs. Velocidad; Velocidad,,5, Vibración < 5 5 25 25 3 3 35 35 4 > 4 -,5 -, -, -,5,,5,
Podemos pasar al análisis con SPSS. nalizar > Modelo lineal general > Univariante > Variable dependiente: Vibración; Factores fijos: Velocidad, Factores inter-sujetos Etiqueta del valor N Velocidad - 8 2 + 8-8 2 + 8 Estadísticos descriptivos Variable dependiente: Vibración Velocidad Media Desviación típica N - 6, 2,986 4 - + Total + 4,925,75 4 Total 5,53 2,643 8-24,25 2,2396 4 + 4,275 3,45 4 Total 32,5 9,458 8 -,63 4,873 8 + 27,6 3,74 8 Total 23,83,6766 6 Se puede comprobar también que no se puede rechazar la hipótesis nula de homogeneidad de varianzas de la variable duración, validando así una de las hipótesis estructurales del modelo propuesto. En efecto, la prueba de Levene da lo siguiente: Contraste de Levene sobre la igualdad de las varianzas error a Variable dependiente: Vibración F gl gl2 Sig.,92 3 2,83 Contrasta la hipótesis nula de que la varianza error de la variable dependiente es igual a lo largo de todos los grupos. a. Diseño: Intersección + + Velocidad + * Velocidad
Variable dependiente: Vibración Pruebas de los efectos inter-sujetos Origen Suma de gl Media F Sig. Eta al Parámetro Potencia cuadrados cuadrática cuadrado de no observada b tipo III parcial centralidad Parámetro Modelo corregido 638,2 a 3 546,37 9,358,,958 274,75, Intersección 986,856 986,856 5,336,,992 5,336, 7,226 7,226 85,252,,939 85,252, Velocidad 227,256 227,256 38,22,,76 38,22, * 33,63 33,63 5,8,,89 5,8, Velocidad Error 7,723 2 5,977 Total 796,69 6 Total corregida 79,834 5 a. R cuadrado =,958 (R cuadrado corregida =,948) b. Calculado con alfa =,5 Estimaciones de los parámetros Variable dependiente: Vibración Parámetro Error t Sig. Intervalo de Eta al Parámetro Potencia típ. confianza 95% cuadrado de no observada b Límite inferior Límite superior parcial centralidad Parámetro Intersección 4,275,222 32,948, 37,62 42,938,989 32,948, [=] -25,35,729 -, - -2,583,947 4,664, 4,664 29,7 [=2] a........ [Velocidad=] -6,25,729-9,4, - -2,483,88 9,4,,7 [Velocidad=2] a........ [=] * [Velocidad=] 7,425 2,445 7,27, 2,98 22,752,89 7,27, [=] * a........ [Velocidad=2] [=2] * a........ [Velocidad=] [=2] * [Velocidad=2] a........ a. l parámetro se le ha asignado el valor cero porque es redundante. b. Calculado con alfa =,5
En el gráfico matricial de puntos tenemos una idea de si se verifican los supuestos de independencia, homogeneidad de varianzas falta de ajuste. En efecto, se observa en la casilla Residuos-Observados que los puntos están dispersos, lo que redunda en su aleatoriedad y por tanto en corroborar la hipótesis de independencia. La nube Residuos-Pronosticados muestra una dispersión semejante para cada valor pronosticado, lo cual corrobora la homoscedasticidad (homogeneidad de varianzas). Por último, en la nueve Pronosticados-Observados se ajusta a una relación lineal, probando así el nivel de ajuste del modelo estimado.
Caso 2: En una línea de fabricación de tubos de escape para la industria del automóvil se desea optimizar el proceso de soldadura que se realiza en un componente de acero inoxidable. Para ello se lleva a cabo un diseño factorial 2 3 considerando los factores que figuran en el cuadro. Nivel - Nivel +. Caudal de gas (l/m) 8 2. Intensidad () 23 24 C. Velocidad cadena (m/min),6 Caudal de gas (l/m) Intensidad () Velocidad cadena Respuesta Y (m/min) 8 23,6 2 23,6 26,5 8 24,6 5 2 24,6 7,5 8 23,5 2 23 26 8 24 7,5 2 24 Usaremos MINIT para diseñar la matriz de experimentos. Estadísticas > DOE > Factorial > Crear diseño factorial > Tipo de diseño: Factorial de 2 niveles (generadores predeterminados); Número de factores: 3 > Diseños: Factorial completo; Número de puntos centrales por bloque: ; Número de réplicas para puntos factoriales: ; Número de bloques: Diseño factorial completo Factores: 3 Diseño de la base: 3; 8 Corridas: 8 Réplicas: loques: Puntos centrales (total): Todos los términos están libres de estructuras alias.
Estadísticas > DOE > Factorial > nalizar diseño factorial > Gráficas > Gráficas de efectos: Normal, Normales (absolutos), Pareto; Residuos para las gráficas: Regular; Gráficas de residuos: Cuatro en uno juste factorial: Y vs. Caudal; Intensidad; Velocidad Efectos y coeficientes estimados para Y (unidades codificadas) Término Efecto Coef Constante 8, Caudal 9, 4,5 Intensidad -, -,5 Velocidad,5,75 Caudal*Intensidad -6,5-3,25 Caudal*Velocidad -,5 -,25 Intensidad*Velocidad,,5 Caudal*Intensidad*Velocidad,5,25 S = * PRESS = * nálisis de varianza para Y (unidades codificadas) Fuente GL SC Sec. SC just. MC just. F P Efectos principales 3 68,5 68,5 56,67 * * Caudal 62, 62, 62, * * Intensidad 2, 2, 2, * * Velocidad 4,5 4,5 4,5 * * 2º orden (interacciones) 3 87, 87, 29, * * Caudal*Intensidad 84,5 84,5 84,5 * * Caudal*Velocidad,5,5,5 * * Intensidad*Velocidad 2, 2, 2, * * 3º orden (interacciones),5,5,5 * * Caudal*Intensidad*Velocidad,5,5,5 * * Error residual * * * Total 7 256, Coeficientes estimados para Y utilizando datos en unidades no codificadas Término Coef Constante -893,75 Caudal 2,625 Intensidad 3,75 Velocidad 86,25 Caudal*Intensidad -,425 Caudal*Velocidad -3, Intensidad*Velocidad -,75 Caudal*Intensidad*Velocidad,25
Gráfica normal de los efectos (la respuesta es Y, lfa =,5) Porcentaje 99 95 9 8 7 6 5 4 3 Tipo de efecto No significativo Significativo Factor C Nombre C audal Intensidad V elocidad 5-5, -2,5, 2,5 Efecto 5, 7,5, PSE de Lenth =,5 Gráfica de efectos normales (absolutos) (la respuesta es Y, lfa =,5) 98 Tipo de efecto No significativo Significativo Porcentaje 95 9 85 8 7 Factor C Nombre C audal Intensidad V elocidad 6 5 4 3 2 3 4 5 6 Efecto absoluto 7 8 9 PSE de Lenth =,5
Diagrama de Pareto de los efectos (la respuesta es Y, lfa =,5) 5,646 Factor C Nombre C audal Intensidad V elocidad Término C C C C 2 3 4 5 Efecto 6 7 8 9 PSE de Lenth =,5 Estadísticas > DOE > Factorial > Gráficas factoriales > Gráfica de interacción > Configuración 28 26 24 22 Gráfica de interacción para Y Medias de datos Caudal 8 2 Media 8 6 4 2 23 Intensidad 24
Estadísticas > DOE > Factorial > Gráficas factoriales > Gráfica de cubos Gráfica de cubos (medias de los datos) para Y 24 6,25 8,75 Intensidad 23,75 26,25 8 Caudal 2 El mejor resultado se obtiene con un caudal de 2 l/min y una intensidad de 23. Nótese que si un día, por las razones que sean, el caudal debe fijarse a 8 l/min, lo mejor es una intensidad de 24. La experimentación podría seguirse con valore más altos de caudal y más bajos de intensidad (si técnicamente es posible). Podemos dibujar la superficie de contorno, también con MINIT.
Gráfica de superficie de Y vs. Intensidad; Caudal Valores fijos Velocidad,8 25 Y 5 24 235 8 23 Caudal 2 Intensidad Gráfica de contorno de Y vs. Intensidad; Caudal 24, 238,5 237, Y < 2 2 5 5 8 8 2 2 24 > 24 Intensidad 235,5 234, Valores fijos Velocidad,8 232,5 23, 8 9 Caudal 2