Teoria del Consumidor

Teoria del Consumidor Teoria del Consumidor 1 / 135

A qué nos referimos cuando hablamos de microeconomía? Recordarán del curso de Economía del CBC, la definición del Mochón y Becker: Çiencia que estudia los recursos, la creación de riqueza y la producción, distribución y consumo de bienes y servicios, para satisfacer las necesidades humanas. Otra definición posible es: La microeconomía es una parte de la economía que estudia el comportamiento económico de agentes económicos individuales, como son los consumidores, las empresas, los trabajadores y los inversores; así como el de los mercados. La idea del curso es ampliar y profundizar ambas nociones Teoria del Consumidor 2 / 135

Microeconomía Para comenzar nuestra discusión, en vez de explicitar una definición, vamos a enumerar distintos ejes relevantes: Caracterizar el proceso de toma de decisiones de los agentes económicos: los consumidores, las firmas y el Gobierno Los consumidores: qué variables inciden a la hora de cuánto consumir y ahorrar. Las firmas: qué variables en la demanda de factores (capital y trabajo) y producción (q) El gobierno: Implementación óptima de poĺıticas publicas e impuestos. La asignación del mercado en términos de precios y cantidades en base a dos criterios: equidad y eficiencia Los cambios en la asignaciones ante shocks externos sobre las variables exógenas. Teoria del Consumidor 3 / 135

Microeconomía Efectuaremos el análisis microeconómico mediante el uso de modelos matemáticos. Un modelo matemático tiene la siguiente estructura: Supuestos Vectores de información (variables exógenas) Proceso de optimización Resultados Teoria del Consumidor 4 / 135

Un comentario acerca de los modelos matemáticos Nuestro objetivo es tratar de entender el proceso de toma de decisiones de distintos agentes de la economía para poder explicar porque se consume o produce una cierta cantidad de bienes a un determinado precio. Existen diversas formas de resolver este problema. La microeconomía apela asiduamente a la matemática, aunque existen otras formas de hacer el mismo análisis. La especificación de cada modelo en definitiva contiene los resultados de los modelos. La validez de los modelos matemáticos ha estado en el centro de las discusiones desde hace varias décadas. Teoria del Consumidor 5 / 135

Modelos Económicos Milton Friedman (1966) asegura que los modelos matemáticos no son más que proposiciones tautológicas, por lo que se eliminan incoherencias internas. Los modelos se miden en función de dos criterios: parsimonia y capacidad predictiva. Parsimonia: Contiene la menor cantidad de parámetros posibles Capacidad de predicción: Es el modelo que mejor ajusta a la contrastación empírica Los supuestos, según Friedman, resultar ïrrealistas, pues lo relevante que importa es el poder predictivo de los modelos. Teoria del Consumidor 6 / 135

Clase 1 Durante el trascurso de la materia, vamos a explorar el funcionamiento de una economía, muy particular, la de competencia perfecta, que es lo a que tenderá el Capitalismo de libre mercado. Una economía en competencia perfecta posee las siguientes características: Cantidad suficientemente grande de vendedores y compradores, sin poder de mercado; Productos homogéneos; Información perfecta y completa Mercados completos Libre entrada y salida a los mercados; Movilidad perfecta de bienes y factores; Inexistencia de costos de transacción; Teoria del Consumidor 7 / 135

Definiciones Finalmente vamos a repasar ciertos conceptos que ayudarán a nuestro estudio. Teoria del Consumidor 8 / 135

Definiciones Equidad: Las asignaciones de la economía son tales que la sociedad lo considera aceptable. Eficiencia: Las asignaciones de la economía son tales que no existe desperdicio de recursos. En otras palabras es la mejor asignación posible de esos recursos. Teoria del Consumidor 9 / 135

Definiciones Exógeno: Variables del sistema que vienen dadas. Endógeno: Variables de decisión, son el resultado de los problemas; se determinan al interior del modelo. Parámetro: variables exógenas que se mantienen incólumes en el corto y mediano plazo. Teoria del Consumidor 10 / 135

Definiciones Çeteris Paribus : expresión latina que significa todo lo demás constante. Estáticas comparadas: método para comparar dos estados de equilibrio del sistema, antes y después de cambios en las variables exógenas. Teoria del Consumidor 11 / 135

Definiciones Análisis Normativo: Describe cómo deberían ser las situaciones. Análisis Positivo: Describe cómo son las situaciones. Teoria del Consumidor 12 / 135

El objetivo de la Primera Unidad es caracterizar al individuo y entender acerca de su proceso de toma de decisiones. Naturalmente, estamos en un mercado de competencia perfecta por lo cual cabe repetir los supuestos relevantes para esta unidad: Agentes atomísticos Tomadores de Precios Contraejemplos: negociación o poder de mercado Bienes homogéneos Contraejemplos: Existen distintas variedades de celulares, aunque todas tienen la misma función básica. Mercados completos Precios conocidos y bienes disponibles Contraejemplos: Inexistencia de Precios: Compra de dólares Teoria del Consumidor 13 / 135

Preferencias Conociendo las reglas del juego, procedemos a ver el comportamiento de los individuos. El consumidor tiene la posibilidad de elegir una canasta x perteneciente al espacio de consumo en R L +, donde L es la cantidad de mercancías: En este curso vamos a trabajar como mucho dos mercancías por lo tanto el espacio de consumo es el primer cuadrante (X, Y ) R 2 + Teoria del Consumidor 14 / 135

Figura : Cinco canastas posibles en el espacio de consumo Teoria del Consumidor 15 / 135

Ejemplo Suponga que usted tiene que hacer un viaje ida y vuelta a un lugar que queda a 5 kilómetros de distancia. Las opciones de transporte son: Caminar Colectivo Taxi Limusina Teoria del Consumidor 16 / 135

Otro Ejemplo Coca Cola vs Pepsi vs Manaos Coca de 600 vs Pepsi de 500 Coca de 600 vs Coca de 600 Coca de 600 vs Coca de 600 + Pepsi de 500 Pepsi de 500 vs Manaos de litro y medio Pepsi de 500 vs Manaos de medio litro Coca de 600 vs Manaos de litro y medio Teoria del Consumidor 17 / 135

Relación de Preferencias La elección del consumidor se puede describir por medio de una relación de preferencia sobre el conjunto de consumo (X). Dados X 1, X 2 R 2 +: Preferencia débil: X 1 X 2 se lee X 1 es débilmente preferido a X 2 La relación, implica otras dos relaciones: Preferencia estricta: X 1 X 2 se lee X 1 es estrictamente preferido a X 2 Demostración: X 1 X 2 X 1 X 2 y X 2 X 1 Indiferencia: X 1 X 2 se lee X 1 es indiferente a X 2 Demostración: X 1 X 2 X 1 X 2 y X 2 X 1 Teoria del Consumidor 18 / 135

Axiomas de Racionalidad Un sistema de preferencias es un mapa que ordena las distintas canastas. La Teoría Microeconómíca se encarga de analizar las preferencias de individuos racionales. Los siguientes axiomas caracterizan la racionalidad en el sentido estricto: Completitud Transitividad Monoticidad fuerte Monoticidad débil Insaciabilidad local Teoria del Consumidor 19 / 135

Axiomas de Racionalidad Completitud: el consumidor siempre puede comparar dos opciones cualesquiera. Definición: Sea (X 1, X 2 ) R 2 +: X 1 X 2 o X 2 X 1 o ambas Transitividad: Excluye la posibilidad de ciclos de preferencias. Definición: para todo X 1, X 2, X 3 R 2 +, si X 1 X 2 y X 2 X 3 X 1 X 3. Teoria del Consumidor 20 / 135

Axiomas de Deseabilidad Monotonicidad fuerte: Siempre que le demos más de algún bien i, se alcanza una curva de indiferencia superior. Definición: para todo X R 2 + tal que X 1 X 2 y X 1 X 2 X 1 X 2 Implica que la pendiente de las curvas de indiferencia es negativa. Monotonicidad débil: Implica que siempre que le demos más de todos los bienes, el individuo va a estar mejor. Definición: X R 2 + tal que X 1 >> X 2 X 1 X 2 Teoria del Consumidor 21 / 135

Axiomas de Deseabilidad Insaciabilidad local: para cualquier canasta se puede encontrar una bola con cualquier radio epsilon que indica que hay canastas mejores. Definición: para todo X R 2 + y ε > 0, existe un X 2 R 2 tal que X 2 X 1 ε. Esto significa que No dice en qué dirección se encuentra esa canasta. Implica que las curvas de indiferencia son finas. Si todos los bienes son no deseables, existe un punto de saciedad en el origen, es decir el vector x = [0,...., 0]. Monotonicidad Fuerte Monotonicidad Insaciabilidad Local. Por lo tanto, si se viola la insaciabilidad local se violan las demás. Teoria del Consumidor 22 / 135

Axiomas extra Función estrictamente cóncava: Una función es cóncava si uniendo cualesquiera dos puntos, el segmento que une los puntos se encuentra siempre por debajo de la función comprendida entre esos dos puntos. De lo contrario es estrictamente convexa. Una función es estrictamente cóncava si para todo x 1, x 2 f (x) la canasta f (x ) = f (αx 1 + (1 α)x 2 )) > (α)f (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ), para todo α (0, 1) Una función es estrictamente convexa si para todo x 1, x 2 f (x) la canasta f (x ) = f (αx 1 + (1 α)x 2 )) < (α)f (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ), para todo α (0, 1) En algún momento más adelante, vamos a exigirle a las funciones de utilidad que sean cóncavas. Teoria del Consumidor 23 / 135

Completitud + Transitividad el Individuo es Racional Completitud + Transitivdad + Continuidad Existencia de una función de utilidad (Demostración en cualquier libro de texto avanzado). Axiomas de Deseabilidad le da la forma a la utilidad. Teoria del Consumidor 24 / 135

Utilidad Las funciones de utilidad describen las preferencias del individuo asignando un valor numérico a cada canasta. Aquel canasta que da mayor utilidad es preferida a otra que da menos utilidad. Vamos a decir que dos funciónes de utilidad son equivalentes si representan el mismo mapa de preferencias. Es decir, el mismo ordenamiento de las canastas. No nos interesa el valor de la utilidad, sino el ordenamiento de las canastas. U(X, Y ) : X R Si X 1 X 2 U(X 1 ) U(X 2 ) Cualquier transformación monótona mantiene la relación de preferencias Teoria del Consumidor 25 / 135

Curvas de Indiferencia Las curvas indican los conjuntos de puntos sobre los cuales el consumidor se encuentra indiferente. Dado U(X, Y ) = U 0 Por lo que la curva de indiferencia se obtiene de despejar Y La urva de indiferencia es Y (X, U 0 ) Por lo que U(X, Y (X, U 0 )) = U 0 Durante el resto de la clase vamos a proponer formas de curvas de indiferencia, eliminado aquellas que no cumplen con los supuestos. Teoria del Consumidor 26 / 135

Violación de los Axiomas de Racionalidad Propiedades de las curvas de indiferencia: Paralelas; Continuas; Finas; Pendiente negativas; No tener punto de saciedad global Ejemplo 1: U(x) = (x 1) 2 Ejemplo 2: U(x, y) = min(xy, 4); Convexas; Teoria del Consumidor 27 / 135

Ejemplos de Curvas de Indiferencia aceptables Curvas Cobb-Douglas Curvas Cuasilineales Curvas Leontieff Curvas sustitutos perfecto Curvas bienes neutros Teoria del Consumidor 28 / 135

Clase 3 La clase pasada observamos distintas curvas de indiferencia que cumplen con los axiomas de racionalidad. El objetivo de la clase de hoy es ver algunas propiedades de la función de utilidad para iniciar el estudio del problema de la maximización de utilidad. Teoria del Consumidor 29 / 135

Principio de Utilidad Marginal Decreciente En este curso nos interesa unicamente las funciónes de utilidad que se comportan bien (Ver ejemplos de funciones de utilidad que no se comportan bien). Por esta razón vamos a apelar al principio de la utildad marginal decreciente Vamos a pedir que la función de utilidad sea cóncava. Algunos ejemplos de funciones cóncavas U(x) =lnx U(x) = x Algunos ejemplos tambíen interesantes U(x) = 1 e x U(x) = X 1 σ (1 σ) Teoria del Consumidor 30 / 135

Principio de Utilidad Marginal Decreciente Figura : Principio de Utilidad Marginal Decreciente Teoria del Consumidor 31 / 135

Función Cóncava Hessiano = [ U(X,Y ) X X U(X,Y ) X Y ] U(X,Y ) X Y U(X,Y ) Y Y 2 ( U(X, Y ) X X )( U(X, Y ) Y Y ) U(X, Y ) X Y Qué signo tiene la derivada cruzada? Ejemplos: > 0 (1) > 0 (2) U(X, Y ) X X 0 U(X,Y ) Y Y < 0 (3) Teoria del Consumidor 32 / 135

Las derivadas cruzadas, un gran problema Ejemplo 1: U(x, y) = x 0,5 y 0,5 + xy Ejemplo 2: U(x, y) =lnx+lny Ejemplo 3: U(x, y) = x + y La función puede ser cóncava con distintos signos de las derivadas. Es solamente cuestión de magnitud Teoria del Consumidor 33 / 135

Tasa Marginal de Sustitución Supongamos que tenemos nuestra función de Utilidad fijado en un nivel particular. U(x,y)=U 0 Diferenciamos: U x(x,y)dx+u y(x,y)dy=du 0 Dado que estamos sobre la misma curva de indiferencia entonces du 0 =0 U x(x,y)dx+u y(x,y)dy=0 Despejamos el concepto de la derivada dy dx dy dx = U x(x,y) U y(x,y) Como se relacióna esto con el Principio de Utilidad Marginal Decreciente? Teoria del Consumidor 34 / 135

Tasa Marginal de Sustitución La tasa marginal de sustitución es la pendiente de la Curva de Indiferencia. Indica cuantas unidades del bien Y debo dar para recibir una unidad del bien X. En cada punto de la curva de indiferencia, la tasa marginal de sustitución es distinta. Por ejemplo, cuando tengo mucho de X, mi utilidad marginal es muy baja. Por lo tanto, voy a tener que dar menos Y por la misma cantidad de X. Teoria del Consumidor 35 / 135

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Restricción Presupuestaria Debido a la insaciabilidad de las preferencias, cada individuo siempre quiere mas, pero tiene un ĺımite impuesto por la restricción presupuestaria. Existen distintos formatos de restricción presupuestarias: Como por ejemplo el Impuestos a las Ganancias, Tarifas por tramos ect). En este curso (y en los libros también) vamos a usar el formato de la Restricción Presupuestaria Walrasiana que es una identidad contable. PxX + PyY M Teoria del Consumidor 37 / 135

Restricción Presupuestaria Teoria del Consumidor 38 / 135

Restricción Presupuestaria PxX + PyY M M = Riqueza del individuo, valor exógeno Px;Py = Precios de cada bien Precios: Datos que provienen del mercado que contiene información acerca de la escasez relativa de los bienes. Es un limitante tanto de la oferta como de la demanda. Px Py = Precios relativos, cuánto me cuesta un bien con respecto a otro. Teoria del Consumidor 39 / 135

Precios Relativos Precios Relativos distorsionados determinan una asignación ineficiente de los recursos en una sociedad Ejemplos : Ir al Cine vs peĺıcula trucha Energía Barata Departamentos con 3 aires acondicionados Final del Mundial, entrada a 115,000 pesos Triangulo pesos, dólar oficial, dólar blue El cociente de precios se llama Tasa Objetiva Cambio e indica cuanto se tiene que dar de un bien por otro para mantenerse sobre la restricción presupuestaria. Teoria del Consumidor 40 / 135

Cambios Exógenos en el Precio: Aumento del Precio X Teoria del Consumidor 41 / 135

Cambios Exógenos en el Precio: Aumento de la Renta Teoria del Consumidor 42 / 135

Maximización de Utilidad Cada individuo conoce su función de utilidad y conoce los valores exógenos (Precios y Renta). Entonces el individuo va a poder encontrar la canasta que mayor utilidad le de. Por qué vamos a poder escribir la restricción presupuestaria con igualdad? Respuesta: por la insaciabilidad local, siempre voy a querer más, por lo tanto tiene sentido que en el óptimo, no deje dinero sin gastar. Teoria del Consumidor 43 / 135

Restricción Presupuestaria Teoria del Consumidor 44 / 135

Un Pequeño Ejemplo Utilidad: U(X,Y)=XY, Px=Py=1, M=6 Qué canastas pueden comprar con su ingreso? 1 (0;6) 2 (1;5) 3 (2;4) 4 (3;3) 5 (4;2) 6 (5;1) 7 (6;0) Qué utilidad aporta cada canasta? Qué canasta otorga la mayor utilidad? Teoria del Consumidor 45 / 135

Problema de Maximización de Utilidad: Condiciones de Primer Orden L(X, Y, λ) = U(X, Y ) + λ(m PxX PyY ) (4) (X )U x(x, Y ) λpx = 0 (5) (Y )U y(x, Y ) λpy = 0 (6) (λ)m PxX PyY = 0 (7) Teoria del Consumidor 46 / 135

Condiciones de Segundo Orden Hessiano Orlado = U(X,Y ) X Y Px U(X,Y ) Y Y Py > 0 Px Py 0 U(X,Y ) X X U(X,Y ) X Y Teoria del Consumidor 47 / 135

Interpretación de las CPO De (1), (2), despejamos λ λ = U X (X, Y ) Px λ = U Y (X, Y ) Py U x(x, Y ) Px = U y(x, Y ) Py Proporción común gasto - beneficio Voy a consumir hasta que la utilidad marginal por unidad sea igual para ambos bienes. (Ejemplo Cuasilineal con precios iguales a uno). Teoria del Consumidor 48 / 135

Condiciones de Primer Orden Reordenando: U x U y = Px Py Vamos a encontrar un punto donde la Tasa Marginal de Sustitución es igual a Tasa Objetivo de Cambio Combinando esta expresión, con la tercera (que nos indica que vamos a gastar todo nuestro ingreso) llegamos al proceso de maximización de utilidad. Teoria del Consumidor 49 / 135

Condiciones de Primer Orden Partiendo de la condición de óptimo U x U y = Px Py Encuentro una relación entre X e Y Y (X, Px, Py) Cuántas canastas cumplen está relación de equilibrio en el óptimo? Teoria del Consumidor 50 / 135

Interpretación Grafica I Teoria del Consumidor 51 / 135

Interpretación Grafica II Teoria del Consumidor 52 / 135

Condiciones de Segundo Orden Observamos entonces que en el óptimo, la curva de indiferencia más alto es tangente a la restricción presupuestaria. Como podemos asegurar que es un óptimo? Existe alguna forma de no tener que calcular las condiciones de segundo orden, cada vez que queremos encontrar un óptimo? Si, existen condiciones necesarias y suficientes. Teoria del Consumidor 53 / 135

Condiciones de máximo Una función cóncava curva de indiferencia convexa Una curva de indiferencia convexa un Hessiano Orlado positivo, por lo tanto un máximo. La demostración la pueden encontrar en cualquier libro de Microeconomía Avanzada, aunque en este curso no la vamos a ver. Lo único que vamos a ver es una condición sobre la curva de indiferencia. Si TMS X > 0 entonces la curva de indiferencia es estrictamente convexa. Teoria del Consumidor 54 / 135

Concavidad de Utilidad implica Convexidad de Curva de Indiferencia Teoria del Consumidor 55 / 135

Miremos un contraejemplo donde no se cumple Supongamos que la curva función de Utilidad es U(x, y) = X 2 + Y 2 La curva de indiferencia es implicitamente es un arco con radio U 0, por lo que es concavo. La TMS es x y Donde TMS X = 1 y < 0 No se cumple la condición, por lo que el punto es un mínimo, no un máximo. Teoria del Consumidor 56 / 135

Concavidad de Utilidad implica Convexidad de Curva de Indiferencia Teoria del Consumidor 57 / 135

Entonces, qué canasta elegirá? Elegirá una canasta que sólo contenga bienes X o sólo contenga bienes Y. En las famosas soluciones de esquinas no se cumple TMS=TOC Cual es la Utilidad Marginal de consumir X? 2X Cual es la Utilidad Marginal de consumir Y? 2y La Utilidad Marginal es creciente (segunda derivada positiva), y las derivadas cruzadas son cero, entonces no tiene sentido armar canastas mixtas. Conclusión 1: Curvas de indiferencias cóncavas implican soluciónes de esquina. Conclusión 2: Curvas de indiferencias convexas implican soluciones de interior donde se cumple TMS = TOC. Teoria del Consumidor 58 / 135

Demandas Marshallianas La solución del problema de la Maximización de Utilidad son las Demandas Marshallianas, y son funciones de las variables exógenas. X M (Px, Py, M) Y M (Px, Py, M) λ M (Px, Py, M) Teoria del Consumidor 58 / 135

Propiedades de Demandas Marshallianas Propiedades 1 X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M) son homogénea de grado 0 2 Cumplimiento de Ley de Walras Px.X M (Px, Py, M) + Py.Y M (Px, Py, M) = M 3 Demandas Marshallianas Continuas 4 λ M (Px, Py, M) homogénea de Grado -1 Teoria del Consumidor 59 / 135

Demostración 1 De las condiciones que caracterizan el Lagrangeano son homogéneas de grado 0 Solo importan los precios relativos y no los nominales. 2 Si los Individuos maximizan su utilidad y gastan todo su ingreso, entonces en equilibrio tiene sentido que se gaste todo el ingreso. 3 Las demandas nos indica que consumir ante todas las situaciones posibles. 4 Veremos más adelante la demostración de este punto. Teoria del Consumidor 60 / 135

Identidades Elasticidad Existen varios conceptos de elasticidad. Nosotros utilizaremos el de elasticidad aritmética, el cual nos indica la variación porcentual de la demanda ante un cambio porcentual en alguna de las variables exógenas. ɛ X,b = X M (Px,Py,M) b b. X M (Px,Py,M) Si ɛ X,b > 1 Elástico. Si tiende a infinito entonces es perfectamente elástico. Si ɛ X,b < 1 Inelástico. Si tiende a 0 entonces es perfectamente inelástico. Si ɛ X,b = 1 Elasticidad Unitaria Nos da una noción sobre la capacidad de respuesta (sensibilidad) ante cambios en las variables exógenas. El signo lo da el signo de la derivada parcial. Teoria del Consumidor 61 / 135

Suma de Elasticidades X M (Px, Py, M) Aplica Teorema de Euler Px X M (.) Px + Py X M (.) Py + M X M (.) M = nx M (.) Divido por X Marshalliano Px X M (.) X M (.) Px + Py X M (.) X M (.) Py + M X M (.) X M (.) M = n X M (.) X M (.) ɛ X,Px + ɛ X,Py + ɛ X,M = n Dado que N = 0; ɛ X,Px + ɛ X,Py + ɛ X,M = 0 Conclusión: La suma de las elasticidades es igual a cero: Interpretar Teoria del Consumidor 62 / 135

Condición de Agregación de Engels Partiendo de la Ley de Walras. Px.X M (Px, Py, M) + Py.Y M (Px, Py, M) = M Derivo con respecto a M Px X M (.) M M + Py. Y (.) M = 1 Multiplico y divido por expresiones equivalente a 1 para transformar los terminos en Elasticidades demanda renta. M X M (.) M X M (.) Px X M (.) M + M Y M (.) M M Y M (.) Py. Y (.) M = 1 Reordeno Teoria del Consumidor 63 / 135

Condición de Agregación de Engel PxX M (.) M ɛ X,M + PyY M (.) M ɛ Y,M = 1 PxX es el total de dinero que un individuo gasta en el bien X PxX es el porcentaje del gasto del bien X sobre el total del M presupuesto. El porcentaje lo podemos llamar α PyY M = 1 α αɛ X,M + (1 α)ɛ Y,M = 1 Interpretación: El gasto total varía en relación la variación de la renta de cada bien. Nota: La condición de agregación es una combinación lineal de las elasticidades, donde el valor 1 esta comprendido en ella. Corolario: Los bienes no pueden ser ambos inferiores, los bienes no pueden ser ambos de lujo. Teoria del Consumidor 64 / 135

Como inciden los cambios en las variables exógenas Las condiciones de primer orden caracterizan la solución. Nos interesa saber si un cambio en el precio o renta tiene incidencia en el consumo. U x U y = Px Py (8) M = PxX + PyY (9) Un cambio en el precio tiene un efecto directo y un efecto indirecto. Por un lado distorsiona los precios relativos (Cuanto puedo comprar de X en función de Y); Px Py Por otro parte cambia los precios absolutos(cuanto puedo comprar si comprara todo de X); M Px Teoria del Consumidor 65 / 135

Estáticas Comparadas con respecto al Propio Precio X M (Px,Py,M) Px X M (Px,Py,M) Px X M (Px,Py,M) Px > 0 Bien Giffen = 0 Bien perfectamente inelástico < 0 Bien típico Teoria del Consumidor 66 / 135

Estáticas Comparadas con respecto a la Renta X M (Px,Py,M) Px X M (Px,Py,M) Px X M (Px,Py,M) Px > 0 Bien normal = 0 Bien innecesario < 0 Bien inferior Teoria del Consumidor 67 / 135

Estáticas Comparadas con respecto al Precio del otro Bien X M (Px,Py,M) Py X M (Px,Py,M) Py X M (Px,Py,M) Py > 0 Bien sustituto = 0 Bien independiente < 0 Bien complementario Teoria del Consumidor 68 / 135

Shocks al Precio (Ejemplo Aumento de Precio) Teoria del Consumidor 69 / 135

Shocks al Precio En I: X es un bien típico, Y es un bien sustituto En II: X es un bien típico, Y es un bien complementario En III: X es un bien Giffen, Y es un bien sustituto Teoria del Consumidor 70 / 135

Shocks a la Renta Teoria del Consumidor 71 / 135

En Tramo I: X es un Bien inferior, Y es un Bien normal En Tramo II: X es un Bien normal, Y es un Bien normal En Tramo III: X es un Bien normal, Y es un Bien inferior Nota: El único caso que no existe es que los dos bienes sean inferiores. Tiene sentido que si me dan plata, no puede ser que gaste menos en los dos bienes, dado que estaríamos violando el supuesto de no saciedad local. Teoria del Consumidor 72 / 135

Senda de Expansión y Curva de Engel Indica donde estaría la Demanda Marshalliana ante todos los cambios en la renta Figura : Teoria del Consumidor 73 / 135

Senda de Expansión y Curva de Engel Curva de un bien que es normal hasta cierto punto y luego se convierte en inferior (ejemplo) Figura : Teoria del Consumidor 74 / 135

Curva de Precio, mismo concepto que de Renta que para Precio También llamado Curva de Oferta. Figura : Teoria del Consumidor 75 / 135

Estática Comparada Es un método matemático que trata, partiendo del análisis en el óptimo, que ocurre con el equilibrio ante cambios en las variables exógenas. Procedimiento 1 Reemplazar el Lagrangeano con las Demandas Marshallianas 2 Derivar con respecto a variable deseada 3 Mantener del lado izquierda todo lo que depende de las derivadas parciales y despejar a la derecha lo que no depende de las derivadas parciales. 4 Utilizar el metodo Cramer para llegar a una expresión. Observación: Las derivadas cruzadas no estan definidas Teoria del Consumidor 76 / 135

Conclusiones: Para las Demandas Marshallianas, por la indeterminación de las derivadas cruzadas, no existe una relación que describe de forma preestablecida que ocurre con el equilibrio ante cambios de las variables para todas las funciones de utilidad habidas y por haber. Teoria del Consumidor 77 / 135

Utilidad Indirecta El consumidor entonces eligirá sus canastas de consumo que son sus demandas Marshallianas. La utilidad que le da la mejor canasta se conoce como la Utilidad Indirecta. U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) = U M (Px, Py, M) Un cambio en el precio provoca un cambio en las Demandas Marshallianas (según el bien sea un bien tipico ect) lo que modifica la utilidad en el óptimo. Un cambio en la renta, modifica las Demandas Marshallianas, por lo que cambia la utilidad en el óptimo. Como habíamos señalado, nos interesa el carácter ordinal de las preferencias. Teoria del Consumidor 78 / 135

Propiedades de la Utilidad Indirecta 1 Homogénea de grado 0 2 Continua 3 Utilidad es no creciente en precios 4 Utilidad es estrictamente creciente en renta Teoria del Consumidor 79 / 135

Demostración 1 Por composición de función de homogénea de grado cero. U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) = U M (Px, Py, M) Multiplicamos todos los precios y renta por t U(X M (tpx, tpy, tm), Y M (tpx, tpy, tm)) = U M (tpx, tpy, tm) Por ser homogenea de grado 0, el lado izquierdo se mantiene igual U(t 0 X M (Px, Py, M), t 0 Y M (Px, Py, M)) = U M (tpx, tpy, tm) U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) = U M (tpx, tpy, tm) Pero eso es igual a la utilidad indirecta inicial U M (Px, Py, M) = U M (tpx, tpy, tm) U M (tpx, tpy, tm) = t 0 U M (Px, Py, M) Por lo que la utilidad indirecta es homogénea de grado 0 Si los precios se multiplican por t, entonces demando por lo mismo (por propiedad de homogénea de grado cero de las demandas Marshallianas), por lo que la utilidad indirecta es la misma. Teoria del Consumidor 80 / 135

Propiedades de la Utilidad Indirecta Propiedad 2: Continuidad: Composición de funciónes continuas es continua Propiedad 3: No creciente en precios: Es un caso particular del teorema de la envolvente. Observamos como es el cambio de la utilidad indirecta con respecto al precio. U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) Px U x(.) X M (.) Px + U y(.) Y M (.) Px Recordamos de las condiciones de primer orden que λ = U x Px y λ = U y Py Por lo tanto U x = λpx y U y = λpy Teoria del Consumidor 81 / 135 =

Reemplazando U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) = Px λpx X M (.) + λpy Y M (.) Px Px Sacando factor común U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) = Px λ[px X M (.) Px + Py Y M (.) ] Px Teoria del Consumidor 82 / 135

Propiedad 3: Utilidad no Decreciente en Precios Recordando la Ley de Walras Px.X M (Px, Py, M) + Py.Y M (Px, Py, M) = M Derivamos con respecto a Px X M (.) + [Px X M (.) + Py Y M (.) ] = 0 Px Px Por lo tanto [Px X M (.) + Py Y M (.) ] = X M (.) Px Px Reemplazando Teoria del Consumidor 83 / 135

U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) = λ[ X M (.)] 0 Px Un aumento en el precio del bien, hace caer la utilidad (No cambia mi utilidad si no hay consumo del bien) Teoria del Consumidor 84 / 135

Utilidad es Creciente en la Renta Propiedad 4: Es un caso particular del teorema de la envolvente. Observamos como es el cambio de la Utilidad Indirecta con respecto a la renta. U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) = M U x(.) X M (.) M + U y(.) Y M (.) M Recordamos de las condiciones de primer orden que λ = U x Px y λ = U y Py Por lo tanto U x = λpx y U y = λpy Teoria del Consumidor 85 / 135

Reemplazando U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) = M λpx X M (.) M + λpy Y M (.) M Sacando factor común U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) = M λ[px X M (.) M + Py Y M (.) M ] Teoria del Consumidor 86 / 135

Propiedad 4: Utilidad Creciente en Renta Recordando la Ley de Walras Px.X M (Px, Py, M) + Py.Y M (Px, Py, M) = M Derivamos con respecto a M [Px X M (.) M + Py Y M (.) M ] = 1 Reemplazando Teoria del Consumidor 87 / 135

U(.) M = λ > 0 Un aumento en la renta siempre nos otorga un mayor nivel de utilidad. Lambda (λ) es la Utilidad Marginal de la renta. Teoria del Consumidor 88 / 135

Significado y Propiedades de λ 1: λ es la Utilidad Marginal del dinero. Interpretación: Si me dan un peso más, voy a rearmar mi canasta (consumir más del bien X o Y según se trate de un bien Normal o inferior). Esta nueva canasta nos dará un nivel de utilidad más alta. La diferencia entre este nivel de utilidad y el original es aproximadamente el valor de λ Teoria del Consumidor 89 / 135

2: λ es estrictamente mayor que cero. λ por salir de un problema de maximización es mayor a cero por definición. Que significa? Si a mi me dan dinero (por ejemplo un peso), mi utilidad aumenta en λ. Este valor no puede ser cero pues si lo fuese entonces esto significa que no hay relación entre utilidad indirecta y dinero. Si no hay relación entre utilidad y renta, entonces estaríamos violando la no saciedad local. Teoria del Consumidor 90 / 135

3: λ es homogénea de grado -1 Matemáticamente, U(.) M = λ > 0 Recordamos que la función de utilidad indirecta es homogénea de grado 0. También recordamos que la derivada parcial de una función homogénea de grado n con respecto a algunos de sus parámetros hace reducir un grado de homogeneidad. Interpretación: Supongamos que dados precios Px, Py, M, nosotros elegimos consumir la canasta (X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) que otorga un nivel de utilidad U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) y un nivel de λ M (Px, Py, M) Supongamos que los precios se multiplican por T (Por ejemplo 2) Teoria del Consumidor 91 / 135

Como las demandas y la utilidad indirecta son homogenea de grado cero, entonces demando lo mismo y obtengo el mismo nivel de utilidad λ es cuanto aumenta mi utilidad si me dan un peso más. Ahora el peso a los nuevos precios vale medio peso a los viejos precios. Conclusión, un peso de hoy aumenta la mitad del lambda anterior. Por lo tanto λ es homogéneo de grado -1 Teoria del Consumidor 92 / 135

Identidad de Roy Objetivo: Si sabemos la utilidad indirecta del individuo, podemos encontrar las demandas que lo generaron. U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) Px U(X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M)) M X M (.) = λ[ X M (.)] λ = Teoria del Consumidor 93 / 135

Hemos terminado el estudio de la maximización de utilidad. El consumidor podría optar otro camino para determinar su canasta de consumo. Dado los precios, determinar la canasta más barata para llegar a un nivel de utilidad dado Teoria del Consumidor 94 / 135

Problema de Minimización de Gasto:Condiciones de Primer Orden L(X, Y, λ) = PxX + PyY λ(u 0 U(X, Y )) (10) (X )Px λu x(x, Y ) = 0 (11) (Y )Py λu y(x, Y ) = 0 (12) (λ)u 0 U(X, Y ) = 0 (13) Teoria del Consumidor 95 / 135

Condiciones de Segundo Orden λ U(X,Y ) U(X,Y ) X X λ X Y U x Hessiano Orlado = U(X,Y ) U(X,Y ) λ X Y λ Y Y U y < 0 U x U y 0 Teoria del Consumidor 96 / 135

Interpretacion de las CPO De (1), (2), despejamos λ λ = Px U X (X, Y ) Py λ = U Y (X, Y ) Reordenando U x(x, Y ) Px = U y(x, Y ) Py Dado un nivel de precios, me define un mapa de curvas de isogastos. Nuestro objetivo es obtener una curva de isogasto que sea tangente al nivel de utilidad que queremos alcanzar. Teoria del Consumidor 97 / 135

Curva de Isogasto Teoria del Consumidor 98 / 135

Minimización de Gasto Teoria del Consumidor 99 / 135

Minimización de Gasto Teoria del Consumidor 100 / 135

Demandas Hicksianas La solución del problema de minimización de gasto son las demandas Hicksianas que depende de las variables exógenas. X H (Px, Py, U o ) Y H (Px, Py, U o ) λ H (Px, Py, U o ) Teoria del Consumidor 101 / 135

Propiedades de Demandas Hicksianas Propiedades 1 X M (Px, Py, M), Y M (Px, Py, M) son homogéneas de grado 0 en precios (Px,Py) 2 Cumplimiento de no exceso de utilidad: U(X H (Px, Py, U o ), Y H (Px, Py, U o )) = U o 3 Demandas Hicksianas son continuas 4 λ H (Px, Py, M) homogenea de Grado 1 en Precios. 5 Efectos estáticos comparados definidos. Teoria del Consumidor 102 / 135

De las condiciones que caracterizan el Lagrangeano (TMS=TOC) son homogéneas de grado 0. Solo importan los precios relativos y no los nominales. Si los individuos gastan para llegar a un cierto nivel de utilidad, entonces la utilidad de consumir la canasta es el nivel de utilidad que se quiso buscar en primer lugar. Las demandas nos indica que consumir ante todas las situaciones posible. Teoria del Consumidor 103 / 135

Condiciones Necesarias y Suficientes Las mismas condiciones que garantizaban un máximo en el problema de la maximización de utilidad son las mismas que garantizan un mínimo en el problema de la minimización del gasto. Si la función de utilidad es estrictamente cóncava entonces la curvas de indiferencia serán estrictamente convexas. Si las curvas de indiferencia son estrictamente convexas, entonces el punto que minimiza el gasto es un mínimo. Teoria del Consumidor 104 / 135

Efectos de las Precios sobre las Demandas Hicksianas A diferencia de las demandas Marshallianas, un cambio en el precio afecta siempre, sin importar cual sea la función de utilidad, la composición de la canasta. Existe un efecto inverso con respecto a su propio precio y efecto positivo con respecto al precio del otro bien. X H (Px,Py,U 0 ) Px < 0 Y H (Px,Py,U 0 ) Px > 0 X H (Px,Py,U 0 ) Py > 0 Y H (Px,Py,U 0 ) Py < 0 Teoria del Consumidor 105 / 135

Efectos de las Precios sobre las demandas Hicksianas, Análisis Gráfico Teoria del Consumidor 106 / 135

Efectos de las Precios sobre las Demandas Hicksianas, Análisis Analtíco Igual que con las Demandas Marshallianas, las condiciones de primer orden caracterizan la solucion. U x U y = Px Py (14) U o = U(X, Y ) (15) Un cambio en el Precio solo efecto en la TOC. Por la forma que le impusimos a la función de utilidad, esto implica que tiene que subir U x verificandose una disminución en el consumo de X Teoria del Consumidor 107 / 135

Por el otro lado, si disminuyo mi consumo de X, no estoy llegando al nivel de utilidad U o. Entonces debemos consumir más del bien Y para volver a compensar el nivel de utilidad. Teoria del Consumidor 108 / 135

Función de Gasto Mínimo Una vez hallada nuestra canasta de consumo de las Demandas Hicksianas, podemos encontrar cual es el nivel del gasto más bajo que nos garantiza llegar al nivel de utilidad dado. G min (Px, Py, U o ) = e(px, Py, U o ) = PxX H (Px, Py, U 0 ) + PyY H (Px, Py, U 0 Teoria del Consumidor 109 / 135

Propiedades de la Función de Gasto Mínimo 1 Homogénea de grado 1 en Px, Py 2 Continua en Precios 3 Estrictamente creciente en precios 4 Estrictamente creciente en U o 5 Estrictamente cóncava Teoria del Consumidor 110 / 135

Homogénea de grado 1 en Precios e(tpx, tpy, U o ) = (tpx)x H (tpx, tpy, U 0 ) + (tpy)y H (tpx, tpy, U 0 ) Las Demandas Hicksianas son homogéneas de grado cero. Por lo tanto. e(tpx, tpy, U o ) = (tpx)x H (Px, Py, U 0 ) + (tpy)y H (Px, Py, U 0 ) Se saca factor común t e(tpx, tpy, U o ) = t[px)x H (Px, Py, U 0 ) + Py)Y H (Px, Py, U 0 )] La función de gasto minimo es homogénea de grado 1. Si los precios se duplican, entonces se deberá gastar el doble. Teoria del Consumidor 111 / 135

Propiedades de la Función de Gasto mínimo Continuidad: Composición de funciones continuas son continuas. El Lema de Sheppard demuestra las demás propiedades (Un caso particular del Teorema de la Envolvente). e(px, Py, U o ) = X H (Px, Py, U 0 ) Px e(px, Py, U o ) = Y H (Px, Py, U 0 ) Py e(px, Py, U o ) = λ H (Px, Py, U 0 ) U 0 Teoria del Consumidor 112 / 135

Lema de Sheppard Realizamos la demostración para uno sólo de los bienes, ya que los demás son análogos. e(px, Py, U o ) = X H (Px, Py, U 0 ) + Px X H (.) + Py Y H (.) Px Px Px Recordamos de las condiciones de primer orden que λu x = Px y λu y = Py Teoria del Consumidor 113 / 135

Reemplazando y sacando factor común e(px, Py, U o ) = Px X H (Px, Py, U 0 ) + λ[u x X H (.) Px + U y Y H (.) Px ] Teoria del Consumidor 114 / 135

Recordando la restricción utilitaria U o = U(X H (Px, Py, U 0 ), Y H (Px, Py, U 0 )) Derivamos con respecto a Px U x X H (.) + U y Y H (.) = 0 Px Px Por lo tanto: e(px, Py, U o ) = X H (Px, Py, U 0 ) Px Teoria del Consumidor 115 / 135

Interpretación del Lema de Sheppard e(px, Py, U o ) = X H (Px, Py, U 0 ) Px A nivel intuitivo, un aumento en el precio (ejemplo del bien X), en primer lugar provoca un cambio en la canasta de consumo, de tal forma que se consume menos de X y más de Y. Este cambio en el canasta cuantifica el mismo aumento que el de la canasta inicial. A nivel practico, si conocemos la forma del gasto mínimo, derivando con respecto a los precios y la utilidad podemos llegar a las demandas. Teoria del Consumidor 116 / 135

Dualidad Hasta ahora hemos analizado los dos problemas que el individuo puede optar por resolver. En principio son dos problemas distintos. Pero bajo ciertas condiciones, ambos problemas son dos caras de la misma moneda. Teoria del Consumidor 117 / 135

Dualidad Problema Exogeno Endogeno Resultado Max U Px,Py, M X M (.); Y M (.) U M (.) Min G Px,Py, U 0 X H (.); Y H (.) e(.) Teoria del Consumidor 118 / 135

Dualidad Dado un cierto nivel de precios Si en el problema de la minimización del gasto se elige alcanzar el nivel de utilidad que surge de maximizar la utilidad, entonces la canasta necesariamente es la misma. Si en el problema de la maximización de utilidad, la renta con la que el individuo tiene coincide con el valor del gasto mínimo para llegar al nivel de utilidad u0, la canasta necesariamente es la misma. Para cada nivel de precios, siempre existe un punto dual (En este curso, no lo vamos a demostrar). Teoria del Consumidor 119 / 135

Condiciones de Dualidad Si se cumplen las condiciones de Dualidad entonces 1 U M (Px, Py.M) = U o 2 M = e(px, Py, U o ) 3 X M (Px, Py.e(Px, Py, U o )) = X H (Px, Py, U o ) 4 Y M (Px, Py.e(Px, Py, U o )) = Y H (Px, Py, U o ) 5 λ M 1 (Px, Py.e(Px, Py, U o )) = λ H (Px, Py, U o ) 6 X M (Px, Py.M) = X H (Px, Py, U M (Px, Py.M)) 7 Y M (Px, Py.M) = Y H (Px, Py, U M (Px, Py.M)) 1 8 λ M (Px, Py, M) = λh (Px, Py, U M (Px, Py.M)) 9 U M (Px, Py, e(px, Py, U o )) = U o 10 M = e(px, Py, U M (Px, Py, M)) Teoria del Consumidor 120 / 135

Ejemplo 1: Cobb Douglas U(X,Y)=XY Maximización de Utilidad X M (Px, Py.M) = M 2Px Y M (Px, Py.M) = M 2Py λ M (Px, Py.M) = M 2PxPy U M (Px, Py.M) = M2 4PxPy Teoria del Consumidor 121 / 135

Cobb Douglas U(X,Y)=XY Minimización del gasto X H Py (Px, Py.U 0 ) = U o Px Y H Px (Px, Py.U 0 ) = U o Py PxPy λ H (Px, Py, U 0 ) = U 0 e(px, Py.U 0 ) = 2 U 0 PxPy Teoria del Consumidor 122 / 135

Cuasilineal U(X,Y)=lnX+Y Maximización de Utilidad X M (Px, Py.M) = Py Px Y M (Px, Py.M) = M Py 1 λ M (Px, Py.M) = 1 Py U M (Px, Py.M) = ln( Py Px ) + M Py 1 Teoria del Consumidor 123 / 135

Cuasilineal U(X,Y)=lnX + Y Minimización del gasto X H (Px, Py, U 0 ) = Py Px Y H (Px, Py, U 0 ) = U o ln( Py Px ) λ H (Px, Py, U 0 ) = Py e(px, Py.U 0 ) = Py(1 + U o ln( Py Px ) Teoria del Consumidor 124 / 135

Ejemplo 3: Complementos Perfectos - U(X, Y ) = min(px, Py) Maximización de Utilidad X M M (Px, Py.M) = Py + Px Y M M (Px, Py.M) = Px + Py λ M 1 (Px, Py.M) = Px + Py U M M (Px, Py.M) = Px + Py Teoria del Consumidor 125 / 135

Ejemplo 3: Complementos Perfectos - U(X, Y ) = min(px, Py) Minimización del Gasto X H (Px, Py.U 0 ) = U 0 Y H (Px, Py.U 0 ) = U o λ H (Px, Py.U 0 ) = Px + Py e(px, Py.U 0 ) = U o (Px + Py) Teoria del Consumidor 126 / 135

Dualidad - Ecuación de Slutsky A continuación, vamos a llegar a una de las conclusiones más importantes de la. X M (Px, Py, M) = X H (.) X M (.) X M (.) Px Px M Efecto Total = Efecto Sustitución + Efecto Ingreso Teoria del Consumidor 127 / 135

Demostración Partimos de la condición de dualidad: X M (Px, Py.e(Px, Py, U o )) = X H (Px, Py, U o ) Derivamos con respecto al Precio. X M (Px, Py, M) + e(px, Py, U 0) X M (.) Px Px M = X H (.) Px Vimos que por Lema del Sheppard e(px, Py, U 0 ) = X H (Px, Py, U 0 ) Px Como estamos en dualidad X H (Px, Py, U 0 ) = X M (Px, Py, M) Reemplazamos y despejamos el primer término. Teoria del Consumidor 128 / 135

Dualidad - Ecuación de Slutsky X M (Px, Py, M) = X H (.) X M (.) X M (.) Px Px M Efecto Total = Efecto Sustitución + Efecto Ingreso Teoria del Consumidor 129 / 135

Efecto Total Efecto Total: Cuantifica el cambio en mi demanda ante un cambio en el precio. X M (Px, Py, M) > 0 Bien Giffen Px X M (Px, Py, M) = 0 Bien perfectamente inelástico Px X M (Px, Py, M) < 0 Bien típico Px Teoria del Consumidor 130 / 135

Efecto Sustitución Efecto Sustitución: Vamos a suponer una compensación monetaria por curva para retornar al nivel de utilidad inicial. Como se vio anteriormente, si se verifica un aumento en el precio de la Demanda Marshalliana se vería una utilidad menor. En este caso, le compensación al consumidor actuaría como un subsidios. En cambio, si se observa una disminución en el precio el individuo debido a esto se encontraría en una situación mejor. Para retornarlo a su utilidad inicial debería introducirse un impuesto. El efecto sustitución cuantifica la diferencia de la situación inicial con respecto a la situación compensada. Teoria del Consumidor 131 / 135

X H (Px, Py, U 0 ) < 0 Px X H (Px, Py, M) = 0 Si no existe ninguna sustitución Px [Ejemplo: complementos perfectos] Teoria del Consumidor 132 / 135

Efecto Ingreso Efecto Ingreso: Es una proporción de la derivada parcial pero con el signo opuesto. El efecto Ingreso cuantifica la diferencia entre la cantidad compensada y luego le sacan la compensación. X M (Px,Py,M) M > 0 Bien Normal EI < 0 X M (Px,Py,M) Px = 0 Bien Independiente EI = 0 X M (Px,Py,M) Px < 0 Bien Inferior EI > 0 En la practica surge por diferencia. Teoria del Consumidor 133 / 135

Slutsky Figura : Teoria del Consumidor 134 / 135

Slutsky Teoria del Consumidor 135 / 135