EL GRFICDOR GRPHMIC Las representaciones gráficas de las funciones contienen información muy útil y rápidamente visualizables. En este trabajo práctico vamos a utilizar el software Graphmatica para graficar algunas funciones trigonométricas y analizar sus características. Para que te familiarices con el programa, te presentamos el siguiente instructivo: Podés descargar el programa Graphmática de www.graphmatica.com eligiendo el link Graphmática en español Una vez instalado podrás ver una pantalla como la siguiente: Figura 1 - Pantalla inicial del Graphmatica ntes de comenzar a graficar, te conviene activar las barras de desplazamiento para poder ver con comodidad los gráficos que realices. Esto lo podés hacer desde el menú Ver> Barras de desplazamiento. ambién podés modificar otros aspectos del espacio de trabajo desde el menú Opciones>Papel gráfico como se ve en la figura 2. Podés probar distintas opciones y ver cómo cambia el aspecto. Para esta guía, vamos a cambiar el fondo a blanco (en la solapa Colores) y dejar el resto de las opciones como está. Figura 2 - Preferencias del documento Para graficar una función sólo tenés que tipear en la barra de fórmulas y= seguido de la fórmula de la función. demás de los símbolos de adición (+) y sustracción (-), para realizar un producto deberás utilizar el asterisco (*); para una división la barra (/) y los exponentes se ingresan con el símbolo (^). Por ejemplo, para graficar f ( x) = ( x 1) 2 ( x+ 2) tendrás que tipear y=(x-1)^2(x+2) 1
Números irracionales como e o π se ingresan e y pi respectivamente. Para graficar funciones irracionales utilizaremos para su escritura un exponente racional. No olvides utilizar los paréntesis cuando la expresión lo requiera. Por ejemplo: Para graficar Deberás tipear en la barra de fórmulas x 3 f ( x) = y=(x-3)/(x^2-4) x 2 4 1 g ( x) = 2 x+ y=2^(x+1) h ( x) = 3 2 x y=x^(2/3) En la barra de herramientas encontrarás botones que te pueden ser útiles para graficar varias funciones a la vez: Barra de fórmulas Formula activa Borrar gráfica Botones de zoom Limpiar pantalla Ocultar gráfica Figura 3 - Barra de herramientas y barra de fórmulas La barra de fórmulas sólo muestra la fórmula activa, pero las fórmulas en memoria pueden verse mediante el botón desplegable a la derecha de la barra de fórmulas. El botón Limpiar Pantalla te permite borrar todas las gráficas trazadas. Estas gráficas permanecen en memoria. Para borrar de la pantala una gráfica en particular, deberás seleccionarla con el puntero del mouse (aparecerá como fórmula activa) y luego utilizar el botón Ocultar Gráfica. El botón Borrar Gráfica borra la gráfica y elimina la fórmula de memoria. Los botones de zoom te permiten ver el gráfico con mayor nivel de detalle, podés usarlos junto con las barras de desplazamiento para explorar el comportamiento de la función en el entorno de un punto. Por ejemplo, para ver con detalle cómo es la gráfica muy cerca de una raíz. 2
Es posible especificar el dominio de la función a graficar. Para ello, cuando se tipea la fórmula, hay que dejar un espacio en blanco e ingresar el intervalo del dominio entre llaves. Por ejemplo, para graficar f ( x) = ( x 4) 2 + 2 cuando Domf : ( 2, 5) deberemos tipear en la barra de fórmulas y=-(x-4)^2+2 {2,5} Figura 4 - Graficar funciones especificando su dominio Los siguientes ejemplos te pueden servir de guía para determinar dominios en distintas situaciones: Domf En graphmatica (-3;10) {-3,10} (,2) {,2} ( 5 ;+ ) {5,} En Graphmatica no se diferencian intervalos abiertos de cerrados 3
Las funciones trigonométricas y sus gráficas Introducción: La rotura de un vidrio, el estallido de un petardo o la presión de la tecla de un piano, produce una perturbación del aire adyacente al objeto en cuestión. La propagación de esta perturbación se conoce como ondas sonoras, las que se desplazan a través del aire en todas direcciones. Una fuente de sonido puede ser una cuerda cuya pulsación genera un movimiento que se trasmite al aire circundante. El aire que se encuentra en la dirección del movimiento se ve comprimido y el que está en la dirección opuesta, se expande, empujando en todas direcciones al aire que lo rodea. Capas sucesivas de aire se comprimen y se expanden a medida que la onda se aleja de la fuente de perturbación. El aire no se desplaza gran distancia pero sí la perturbación. Las regiones de aire que se ven comprimidas están a mayor presión sonora que las regiones de expansión. La variación de la presión sonora puede captarse con un micrófono y puede usarse un osciloscopio para visualizar como varía con el tiempo o sea, podemos ver la forma de la onda sonora. En el siguiente gráfico se puede observar la forma del denominado sonido puro, generado en un laboratorio Esta función recibe el nombre de senoidal. Su gráfica responde a una función, ya que a cada valor del tiempo le corresponde un único valor de presión sonora. Si las ondas son aproximadamente periódicas, dan lugar a sensaciones agradables como los sonidos musicales. 4
Si observamos la gráfica, veremos que la presión del aire crece hasta y desciende hasta, para nuevamente crecer hasta y decrecer hasta. Esto se repite en el gráfico a partir de un instante y periódicamente. En la senoidal se destacan los siguientes parámetros: amplitud, período y fase El tiempo a partir del cual la onda comienza a repetirse se lo llama PERÍODO, y en el gráfico se lo denota con. La amplitud es la máxima presión que alcanza el aire, está representado por. La fase de una onda está dada por el instante más cercano al origen en que la onda cruza el eje del tiempo, en su trayectoria ascendente. Cómo calcularemos estos parámetros en cualquier función trigonométrica? Si y = sen (B. t), vimos, a partir de su gráfica que su conjunto imagen es : f I =[ ;] Definiremos la amplitud de la onda como, la mitad de la diferencia entre el máximo y el mínimo valor alcanzado por la función. ( ) Es decir la amplitud es igual a: 2 Definiremos el período como la longitud del intervalo en el cual se da una onda completa. ambién definiremos la frecuencia, como la cantidad de ondas completas que entran en una unidad. Sabemos que: unidades --------------- 1 onda 1unidad x1 onda 1 unidad ------------------ f (frecuencia)= unidades Por lo tanto, la frecuencia f = 1 1 = = onda Este modelo senoidal permite describir determinados comportamientos que han sido observados en forma experimental. De los modelos trigonométricos, en este práctico nos ocuparemos de los siguientes en especial: f(t)=. sen (B. t) y f(t)=. cos (B. t) donde t R f(t)=. sen (B.t+C) y f(t)=. cos (B.t+C) donde t R 5
RBJO PRÁCICO Para completar las tablas se utilizará como ayuda la herramienta informática, a través del software: Graphmatica (para la función seno ingresar: sin t) I) a) Completá el siguiente cuadro observando los gráficos de algunas funciones que responden a la forma: f(t) = sen (t), en el intervalo: 0 t 2π mplitud Período Imagen Máximos Mínimos Raíces Intervalos de crecimiento o decrecimiento. Frecuencia 1/ f(t)= sen (t) f(t)= 2.sen (t) f(t)= - ½.sen(t) b) Graficá las tres funciones anteriores en el siguiente sistema cartesiano: π/2 π ¾ π 2 π 6
II) a) Completá el siguiente cuadro observando los gráficos de algunas funciones que responden a la forma: f(t) = sen (B t), en el intervalo: 0 t 4π mplitud Período 2π/ B Máximos Mínimos Raíces Intervalos de crecimiento o decrecimiento Frecuencia 1/ f(t)= sen (t) f(t)= sen (2.t) f(t)=.sen (½.t) Es decir que: =...... b) Graficá las tres funciones anteriores en el siguiente sistema cartesiano: π /2 π ¾ π 2 π III) Para las siguientes funciones, sin utilizar el software, indicá el dominio, la imagen, el período, la frecuencia y la amplitud. demás, raíces, puntos máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento en el intervalo de un solo período. Realizá un gráfico aproximado. a. f(t) = - 2 sen (2.t) b. f(t)= 2/3 sen (1/3.t) IV) Los conceptos de período, amplitud y frecuencia también son aplicables a la función trigonométrica de la forma: f(t) = cos (B t) 7
a) Completá el siguiente cuadro utilizando el software y teniendo en cuenta que 0 t 4π mplitud Período Imagen Máximos Mínimos Raíces Intervalos de crecimiento o decrecimiento Frecuencia 1/ f(t)= cos (t) f(t)=- 2.cos (t) f(t)= - cos (2 t) f(t)= 2 cos (1/2 t) b) Graficá las funciones anteriores en el siguiente sistema cartesiano: V) Para las siguientes funciones, sin utilizar el software, indicá el dominio, la imagen, el período, la frecuencia y la amplitud. demás, y en un solo período, raíces, puntos máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento. Realizá un gráfico aproximado. a. f(t) = - 3 cos (4 t) b. f(t) = 1/3.cos (1/3 t) 8
VI) Completá el siguiente cuadro utilizando el software y teniendo en cuenta que 0 t 4π mplitud Período Imagen Máximos Mínimos Raíces Frecuencia 1/ Fase f(t)= sen (t- 2 π ) f(t)= 2 1 cos (t+ 2 π ) f(t)= - cos (t-π) f(t)= 2 cos (t+π) b) Graficá las funciones anteriores en el siguiente sistema cartesiano: VII) Para las siguientes funciones, sin utilizar el software, indicá el dominio, la imagen, el período, la frecuencia, amplitud y fase. demás, y en un solo período, raíces, puntos máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento. Realizá un gráfico aproximado. a) f(t) = 3 sen (t- 3 π ) b) f(t) = -2.cos (1/2 t-π) 9