Clase 13 Condensación de un gas ideal de bosones Para un gas de bosones, el número promedio de partículas está dado por la expresión, N = i e βɛ i 1 e βɛ i(v ) (13.1) Es a través de la fugacidad, denotada con la letra, que podemos condensar el gas a una temperatura distinta de cero. Suponemos la energía del estado base ɛ 0 = 0, el estado de mínima energía. Por lo tanto, N = e βɛ i + 1 1 e }{{} βɛ i i }{{} estados con energía cero contribución de los estados excitados (13.2) Cuando la temperatura es cero, sólo sobrevive el primer término del lado derecho en la ecuación 13.2. Sin embargo, cuando la temperatura aumenta, algunas partículas empiean a poblar los estados excitados. En el límite termodinámico, N 1 + 0 (2π) 3 V ( ) 2m ɛ 1/2 e βɛ dɛ (13.3) h 2 1 e βɛ Si implicamos una temperatura T grande, estamos significando que T > T c, con T c la temperatura donde 1. Entonces tenemos lo siguiente, q x q = 1 1 x es decir, e βɛ 1 e = βɛ q e βɛq (13.4) Denotando las constantes que multiplican a los estados excitados con Λ, obtenemos, 1
2 CLASE 13. CONDENSACIÓN DE UN GAS IDEAL DE BOSONES N = 1 + V Λ 3 = 1 + V Λ 3 q dɛ ɛ 1/2 e βɛq 0 q q 3/2 = 1 + V Λ 3 g 3/2( ). (13.5) donde hemos introducido, g l = i=1 q q l. (13.6) En el límite clásico, a temperatura alta, 1. Cuando la temperatura es baja, ambas funciones de aumentan. En el límite termodinámico tenemos, Entonces la densidad de partículas queda como, ( ) = 0 1. (13.7) V [1 ] ρ = N V = 1 Λ 3 g 3/2() < 1. (13.8) por lo tanto, la densidad de partículas tiene que ver con las partículas que no se encuentran en el estado base. Si aumentamos (T baja), manteniendo la densidad ρ constante, la función g 3/2 crece, aunque tiene un límite superior, dado por la función eta de Riemann. Por lo tanto, ζ(l) = q=0 1 q l. (13.9) ρλ 3 c = ζ(3/2) donde ζ(3/2) = 2.61238, es decir, Λ c (ρ) = h 2πmkTc (ρ) (13.10) que es una longitud gobernada por la densidad de energía. Si bajamos la temperatura aún más, por debajo de la crítica, esta aproximación ya no es válida. Habrá una fración λ de partículas en el estado base, donde 0 < λ < 1, entonces, λ N = 1 (13.11)
3 En el límite termodinámico, La densidad de partículas es, = { 1 ρ = LT V λ N 1 + λ N = 1 1 + 1. (13.12) λ N 1 + 1 } Λ g 3/2() 3 (13.13) { 1 g ρ = Λ 3 3/2 () T > T c ρ 0 + 1 ζ( 3) T < T Λ 3 2 c Es decir, tenemos una transición de fase, donde el parámetro de orden es la densidad N 0 /N, con N 0 el número de partículas en el estado base, como se muestra en la figura 13.1, N 0 N = ρ 0 ρ = 1 ζ(3/2) = 1 Λ3 c(ρ) ζλ 3 Λ 3 ( ) 3/2 T = 1 (13.14) T c (ρ) ecuación que nos dice cómo diverge la suceptibilidad en T crítica. (13.15) Figura 13.1: Fracción condensada N 0 /N en función de la temperatura para un gas ideal de Bose uniforme. La fracción condensada es diferente desde cero, por debajo de T c donde el sistema exhibe una condensación de Bose-Einstein. Cuando T > T c no hay en el estado base ninguna partícula, cuando T < T c estamos en la fase condensada. Para observar la condensación de Bose, se requiere llevar al sistema
4 CLASE 13. CONDENSACIÓN DE UN GAS IDEAL DE BOSONES a una temperatura crítica de nano Kelvin. En presencia de un campo magnético oscilante obtenemos, Para obtener la temperatura crítica, ( ) 3 N 0 T N = 1 (13.16) T c (ρ) ( ) 1/2 N kt c (N) = ω 0 (13.17) ζ() En el experimento con 1000 átomos de rubidio, la temperatura de condensación fué del orden de nano Kelvins, como se muestra en la figura 13.2 Condensación de Bose-Einstein: gases atómicos ultra-fríos ( 87 Rb) 37 electrones + 87 nucleones = 124 fermiones Boson 2000 átomos de Rb en una trampa T c = 170 nk Distribución de velocidades T < T c T > T c T T c Ocupación macroscópica de un estado con p = 0 Figura 13.2: Condensación de Bose-Einstein. 13.0.1. Demostración de que existe una discontinuidad: Transición de fase Partiendo de la gran función de particion, Q = N=0 N {n i } e βɛ in i (13.18) que es una suma de funciones analíticas que son exponenciales. Si N es finita, en un numero finito de sumandos, donde cada sumando es analítico, la Q es analítica. Sin embargo, no existe un teorema que diga que la suma infinita de sumandos analíticos es también analítica, por lo tanto, para que ocurra una transición de fase, se requiere que el sistema sea infinito. Un fenómeno crítico existe si existe una crit 1 cuando N.
5 ln Q = ln(1 ) 2πV Introduciendo el desarrollo en series del logarítmo, ( ) 3/2 2m dɛ ɛ 1/2 ln(1 e βɛ ) (13.19) h 2 0 ln(1 ) = q q (13.20) ln Q = ln(1 ) + V Λ 3 g 5/2() (13.21) Entonces, e E N = 1 β ( e = 3 2 kt ( ln Q β = 3 2 kt 1 ρλ 3 g 5/2() (13.22) ) 3/2 T g5/2 () T c(ρ) T T c(ρ) T > T ζ( 5 2 ) c ) 3/2 ζ(5/2) : x 0 ζ(3/2) la energía por partícula es una función continua en la temperatura crítica T c. Por otro lado, el calor específico, c V ( ) = 15 ( ) 3/2 T 4 k g 5/2 () T c ζ(3/2) T < T c (13.23) c V (+) = 15 ( ) 3/2 T 4 k g 5/2 () T c ζ(5/2) = 3 ( ) 3/2 T 2 k 1 g 5/2 () T c ζ(3/2) T T > T c (13.24) Podemos escribir, g 5/2 () T = g 5/2 T = g 3/2() T T = 2T ρλ3 g 1/2 () Sustituyendo en la ecuación 13.24, llegamos a, c V (+) = 9 ( k T 4 ζ(3/2) T c ) 3/2 g 3/2 () g 1/2 () (13.25) cuando 1 obtenemos, c V ( ) = c V (+), (13.26)
6 CLASE 13. CONDENSACIÓN DE UN GAS IDEAL DE BOSONES por lo tanto, el calor específico es continuo en T c, es decir la condensación de Bose es una transición de fase de segundo orden, véase la figura 13.3. No diverge c V ya que la temperatura no es el parámetro de orden, sino la densidad ρ. En este caso, la cantidad que diverge es c V, T o la primera derivada en la suceptibilidad, c V ( ) T = c V (+) T = 27 { ζ 16π ( )} 3 k 2 T c (ρ). (13.27) Figura 13.3: Calor específico de una gas de Bose ideal uniforme, en función de la temperatura. Para T grande la curva se aproxima al valor clásico 3/2. La curva exhibe un pico en T = T c.
Referencias [1] Equilibrium Statistical Physics, Phases of matter and Phase Transitions Marc Baus and Carlos F. Tejero Springer 2008 [2] Statistical Mechanics R. K. Pathria and Paul D. Beale Ed. Elsevier [3] Donald A. McQuarrie Statistical Mechanics Ed. University Science Books 7