TEMA 3 TRABAJO Y ENERGÍA CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS Trabajo y energía cinética A la hora de resolver un problema de trabajo y energía cinética, escoge las posiciones inicial y final del cuerpo y dibuja un diagrama del cuerpo libre con todas las fuerzas que actúan sobre él. Lista las fuerzas y calcula el trabajo efectuado por cada una. Una o más de las fuerzas pueden desconocerse; representa las incógnitas con símbolos algebraicos. Revisa los signos. Si una fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento, su trabajo es positivo; si tiene una componente opuesta al desplazamiento, su trabajo es negativo. Si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares, el trabajo es nulo. Suma el trabajo realizado por las fuerzas individuales para obtener el trabajo total. Cuida los signos. A veces puede ser más fácil obtener primero la suma vectorial de las fuerzas (fuerza neta) y luego calcular el trabajo de la fuerza neta. Escribe expresiones para la energía cinética inicial y final (E Ci y E Cf ). Si desconoces una cantidad como v i o v f, exprésala con su símbolo algebraico. Al calcular las energías cinéticas asegúrate de usar la masa del cuerpo, no su peso. Usa la relación W total =E Cf -E Ci = E C ; inserta los resultados de los pasos anteriores y despeja la incógnita requerida. Recuerda que la energía cinética nunca puede ser negativa. Si obtienes una energía cinética negativa cometiste un error. Tal vez intercambiaste los subíndices i y f, o tuviste un error de signo en uno de los cálculos del trabajo. Energía potencial y conservación de la energía Decide primero si conviene resolver el problema con métodos de energía, con métodos dinámicos (usando ΣF=ma directamente), o con una combinación de ambos. El primer enfoque es muy útil si el problema implica movimiento con fuerzas variables, en una trayectoria curva o ambas cosas. Si el problema implica tiempo transcurrido el enfoque de energía no suele ser el mejor porque en él no interviene el tiempo directamente. Si usas el enfoque de la energía, decide primero cuáles son los estados inicial y final (posiciones y velocidades) del sistema. Puedes usar el subíndice 1 para el estado inicial y 2 para el final. Es útil preparar dibujos que muestren los estados inicial y final. Define tu sistema de coordenadas, sobre todo el nivel en el que y=0. Esto te servirá para calcular las energías potenciales gravitatorias. La ecuación E Pg =mgy supone que la dirección +y es hacia arriba; te sugiero hacer esto de forma consistente. Lo mismo debes hacer a la hora de determinar la energía potencial elástica almacenada en un resorte; ten en cuenta que se mide la elongación con respecto a la longitud natural del resorte. Lista las energías cinéticas y potenciales iniciales y finales. En general, algunas serán conocidas y otras no. Usa símbolos algebraicos para las coordenadas o velocidades desconocidas.
Identifica las fuerzas no gravitatorias que efectúan trabajo. Los diagramas de cuerpos libres siempre son útiles. Calcula el trabajo W otras realizado por tales fuerzas. Si alguna de las cantidades que necesitas son incógnitas, represéntalas con símbolos algebraicos. Relaciona las energías cinética y potencial y el trabajo no gravitatorio W otras usando la ecuación: E C1 +E P1 +W otras =E C2 +E P2 Si W otras =0, tendremos la ecuación E C1 +E P1 =E C2 +E P2. Despeja la cantidad desconocida. Ten presente, aquí y más adelante, que el trabajo efectuado por cada fuerza debe estar representado en E P2 -E P1 = E P o en W otras, pero nunca en ambos. El trabajo gravitatorio está incluido en E Pg ; no lo incluyas otra vez en W otras. Estudio energético del movimiento del punto En ocasiones sólo estaremos interesados en comprender cualitativamente algunas de las características del movimiento de la partícula, y para ello, nos puede bastar con el análisis de la curva que representa gráficamente la función de la energía potencial, E P (x), frente a la coordenada posicional x de la partícula. Veremos una posible curva de energía potencial, tal como la representada en la figura, para un movimiento unidimensional. Estudiaremos genéricamente esta curva, y podrás, operando de igual modo, resolver las cuestiones planteadas en este tema. La fuerza que actúa sobre la partícula es función de la posición de ésta y su módulo y sentido vienen dados por: dep (x) F = dx de (x) Pero P es justo la pendiente de la dx curva E P =E P (x), que es positiva cuando la curva crece (al aumentar x) y negativa cuando decrece. Por consiguiente, y teniendo en cuenta el signo negativo que aparece en la expresión de la fuerza, ésta será negativa (dirigida hacia la izquierda) cuando la energía potencial crece y será positiva (dirigida hacia la derecha) cuando la energía potencial decrece. Esta circunstancia se indica en la figura mediante las flechas rojas horizontales. En los puntos en los que E P (x) presenta un valor máximo o mínimo relativo, es decir, en aquellos puntos en de los que P (x) = 0 la fuerza será nula; tales posiciones lo serán de equilibrio. dx Aquellas posiciones, como la x 0, en las que E P (x) presenta un valor mínimo son posiciones de equilibrio estable; una partícula en reposo en una de tales posiciones
permanecerá en reposo en ella, y si se desplaza ligeramente de tal posición se verá sometida a una fuerza recuperadora que tratará de devolverla a la posición de equilibrio, produciéndose oscilaciones alrededor de dicha posición. En aquellas otras posiciones, como la x 10, en las que E P (x) adquiere un valor máximo con respecto a las posiciones vecinas, el equilibrio es inestable; la partícula podrá permanecer en reposo en tal posición, pero si se la desplaza ligeramente de ella, aparecerá una fuerza que tiende a alejarla aún más de la posición de equilibrio inestable. Por último, en aquellas regiones en las que E P (x) sea constante el equilibrio será neutro o indiferente, puesto que no aparecerán fuerzas recuperadoras ni repulsivas al desplazar ligeramente una partícula que se encuentre en tal región (al ser E P (x) constante será F=0). Consideremos ahora que la partícula tiene una energía total E (que permanecerá constante en el movimiento si sólo actúan fuerzas conservativas sobre ella) que vendrá indicada por una línea horizontal en la representación gráfica de la figura. En cualquier posición x, la energía potencial E P (x) de la partícula vendrá dada por la ordenada de la curva E P =E P (x) y la energía cinética de la partícula será E C =E-E P (x), de modo que vendrá representada por la distancia de la curva E P (x) (en el punto dado x) a la línea E. Puesto que la energía cinética es esencialmente positiva (una energía cinética negativa implicaría una velocidad imaginaria) resulta evidente que para una energía total dada E, la partícula únicamente podrá encontrarse en aquellos puntos en los que E> E P (x). Así pues, en la gráfica de la figura, se advierte inmediatamente que la menor energía posible es E 0 ; para esta energía la partícula sólo puede permanecer en reposo en x 0. Con una energía algo mayor, tal como la E 1, la partícula puede moverse entre los puntos x 1 y x 2 ; su velocidad disminuye al acercarse a los puntos x 1 o x 2 anulándose en ellos, de modo que la partícula se detiene e invierte su sentido de movimiento al alcanzar dichos puntos, llamados puntos de retorno. Si la energía es aún mayor, tal como la E 2, la partícula podrá oscilar entre los puntos x 3 y x 4 o permanecerá en reposo en el punto x 5. Si la partícula tiene una energía aún mayor, tal como la E 3, existen cuatro puntos de retorno, de manera que hay dos regiones de movimiento permitidos. Así, la partícula podrá oscilar entre x 6 y x 7 o entre x 8 y x 9, esto es, en uno u otro pozo de potencial, pero no podrá pasar de una región a otra porque ello exige pasar por la región x 7 x 8 donde su energía
cinética sería negativa (región prohibida). Decimos que las dos regiones donde el movimiento es posible están separadas por una barrera de potencial. En el nivel de energía E 4 sólo existe un punto de retorno; si la partícula está desplazándose inicialmente hacia la izquierda, al llegar al punto x 11 rebotará y se dirigirá hacia la derecha, acelerándose en los pozos de potencial y frenándose al pasar sobre las barreras de potencial. Para energías superiores a E 5 no hay puntos de retorno y la partícula se moverá únicamente en un sentido (el inicial) acelerándose y frenándose al pasar sobre los pozos y las barreras de potencial respectivamente, pero sin invertir nunca su sentido de movimiento.
TEMA 3 TRABAJO Y ENERGÍA PROBLEMAS 1.- El sistema de la figura, compuesto de una corredera A de 20 kg y un contrapeso B de 10 kg, está en reposo cuando se aplica una fuerza constante de 500 N a la corredera A. a) Hallar la velocidad de A justo antes de chocar con el tope C; b) resolver la parte a) suponiendo que el contrapeso B se sustituya por una fuerza de 98 N dirigida hacia abajo. Despreciar el rozamiento y las masas de las poleas. (Sol: a) v A =3,16 m/s; b) v A =5,48 m/s) 2.- Un patinador de 80 kg de masa desciende por una pista helada ABC, alcanzando al finalizar la pista una velocidad v 0 que forma un ángulo de 84º con la horizontal. En una competición de salto, debería alcanzar 90 m a lo largo de una pista inclinada 60º respecto de la horizontal. a) Cuál será la velocidad v 0 que debe alcanzar al terminar la pista, en el punto C? b) Cuánto tiempo tarda en aterrizar? c) calcular y dibujar las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=5 s, contados a partir del despegue de la pista en el punto C, así como el radio de curvatura en ese mismo instante; d) determinar la reacción de contacto con el suelo en el punto más bajo de la pista (punto B) si en dicho punto el radio de curvatura es de 80 m y se encuentra 20 m por debajo del final de la pista. Suponer que el rozamiento tanto con la pista como con el aire es despreciable. (Sol: a) v 0 =42,361 m/s; b) t=10,163 s; c) a t =8,238 m/s 2 ; a n =5,309 m/s 2 ; ρ=12,586 m; d) N=2970,37 N) N B =23,704 N) 3.- Un collar de 1,2 kg está unido a un resorte y desliza sin rozamiento a lo largo de un aro circular en un plano vertical. El resorte tiene una longitud sin deformar de 105 mm y una constante k=300 N/m. Sabiendo que el collar parte del reposo en el punto C y se le da un impulso despreciable para ponerlo en movimiento, determinar la velocidad del collar y la fuerza ejercida por el aro sobre el collar cuando pasa por: a) el punto A; b) el punto B. (Sol: a) v A =1,226 m/s; N A =14,903 N; b) v B =1,196 m/s;
4.- Un bloque A de 1,35 kg descansa sobre un bloque B de 1,35 kg y está unido a un resorte de constante k=175 N/m. Los coeficientes de rozamiento entre los dos bloques son µ e =0,95 y µ c =0,90 y los coefic ientes de rozamiento entre el bloque B y la superficie horizontal son µ e =0,15 y µ c =0,10. Sabiendo que los bloques se liberan desde el reposo cuando el resorte está estirado 10 cm, determinar: a) la velocidad del bloque A cuando alcanza la posición en la que el resorte está sin deformar; b) la máxima velocidad del bloque A. (Sol: a) v A =0,672 m/s; b) v máx =0,777 m/s) m/s; b) N C1 =5,88 N; N C2 =3,92 N) 5.- El muelle A proyecta verticalmente con una velocidad v 0 un paquete de 200 g, el cual atraviesa un conducto semicircular liso y se deposita en C. Para los dos conductos representados hallar: a) la menor velocidad v 0 para la cual el paquete llegará a C; b) la correspondiente fuerza que el paquete ejerce sobre el conducto justo antes de abandonar éste por C. (Sol: a) v 01 =7,98 m/s; v 02 =7,67