Transformadas de la imagen

Transformadas de la imagen Digital Image Processing, Gonzalez, Woods, Addison Wesley, ch 3 Transformadas de la imagen 1

Transformada de Fourier en el caso continuo Transformada de Fourier de una funcion continua La transformada inversa recupera la función a partir de Transformadas de la imagen 2

La transformada de Fourier de una función real es compleja En forma exponencial: Donde, el espectro de Fourier es El ángulo de fase es El espectro de potencia es La variable u es la variable frecuencia debido a la relación de Euler Transformadas de la imagen 3

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Continua e integrable Integrable Esta definido el par de transformadas directa e inversa Espectro y fase Ejemplo: Transformadas de la imagen 5

Transformada discreta de Fourier Discretización de la función continua, tomando N muestras Adoptando la notación Denota una muestra uniformemente espaciada de una función continua Transformadas de la imagen 8

El par de transformadas discretas de Fourier se define como: Teniendo en cuenta que representa Las frecuencias de muestreo en los planos espacial y transformado se relacionan como: Caso de dos variables La transformada en el caso discreto siempre existe Transformadas de la imagen 9

El problema de la visualización del espectro: Es necesario escalar el rango de valores para poder visualizarlo como una imagen en niveles de gris. Transformadas de la imagen 10

Separabilidad: se puede calcular la transformada multidimensional como iteraciones de la transformada unidimensional en cada dimensión Transformadas de la imagen 11

Traslación: la traslación en un dominio se corresponde con la multiplicación por un término exponencial. El espectro de potencia es invariante a traslación en el plano espacial. Para cambiar el origen de coordenadas al centro del cuadrado de las frecuencias, para visualización Transformadas de la imagen 12

La transformada discreta es periódica de periodo N También posee simetría conjugada Transformadas de la imagen 13

Usualmente se desplaza el origen al centro del cuadrado NxN para visualizar mejor el espectro de la función Transformadas de la imagen 14

Rotación: la rotación en el plano espacial se corresponde con la rotación en el plano transformado Coordenadas polares Transformadas de la imagen 15

La transformada es distributiva respecto de la suma pero no del producto El escalado de la función y de su dominio se transforman correspondientemente: El valor medio corresponde con la transformada en el origen Transformada del Laplaciano de la función Transformadas de la imagen 16

Convolución de dos funciones continuas 1D La convolución con la función impulso corresponde a extraer el valor de la función en la posición del impulso Teorema de la convolución: la convolución y el producto son duales bajo la transformada de Fourier Transformadas de la imagen 17

Ejemplo de convolución con un tren de impulsos. La función se repite en cada posición del impulso. Transformadas de la imagen 18

Ejemplo de convolución de dos funciones continuas detallando los pasos computacionales Transformadas de la imagen 19

La convolución en el caso discreto exige tener en cuenta la periodicidad de las funciones discretas. Si las funciones son de periodo M, la convolución será también discreta y del mismo periodo. El problema es determinar M. Garantiza que no se produce solapamiento Los periodos serán adyacentes Los periodos estan separados Transformadas de la imagen 20

Secuencias extendidas para garantizar el tamaño del periodo Expresión para la convolución discreta Esta expresión garantiza la consistencia con la definición de la convolución en el caso continuo. El teorema de la convolución también es valido en el caso discreto. Transformadas de la imagen 21

Comparación entre la convolución en el caso continuo y en el caso discreto. La convolución discreta es una función periódica de periodo M. Transformadas de la imagen 22

Caso bidimensional continuo y discreto Transformadas de la imagen 23

Ilustración de los procesos computacionales de la convolución continua en dos dimensiones. Transformadas de la imagen 24

Correlación: es una medida de la similitud Teorema de la correlación: dualidad del producto y la correlación Transformadas de la imagen 25

Ejemplo detallado de la realización de la correlación en el caso continuo. La correlación es una transformación de localización: nos indica donde se encuentra la función más parecida al patrón. Transformadas de la imagen 26

Muestreo Cuantas muestras se deben tomar para que no se pierda información en el proceso de muestreo o discretización? Se trata de establecer las condiciones en las que una función continua puede ser recuperada completamente a partir de un conjunto finito de valores muestreados. Transformadas de la imagen 27

Efecto del muestreo en el dominio frecuencial: frecuencias de muestreo excesivamente bajas producen interferencias frecuenciales y pérdida de información. Si la frecuencia de muestreo está por encima de la frecuencia de Nyquist, se puede recuperar la función original a partir del muestreo, aplicando una ventana a la transformada que seleccione el periodo en el origen. Transformadas de la imagen 28

Al realizar un muestreo en un intervalo finito estamos multiplicando una ventana a la función muestreada, o convolucionando la transformada de la función discretizada con la de la ventana, esta última no es finita, por tanto la función así muestreada no es de banda limitada y no será recuperable. Transformadas de la imagen 29

Transformada discreta de Fourier: Al discretizar el plano transformado estamos convolucionando la discretización espacial con un tren de impulsos que convierten la función en periódica. Transformadas de la imagen 30

Muestreo 2D Transformadas de la imagen 31

Condiciones de muestreo para la recuperación de la imagen original. Transformadas de la imagen 32

Transformadas separables Transformada directa Transformada inversa Kernel directo de la transformada Kernel inverso de la transformada Kernel separable Kernel simétrico Caso de la transformada de Fourier bidimensional Transformadas de la imagen 33

La transformada separable y simetrica puede calcularse aplicando dos transformadas unidimensionales En forma matricial F es la matriz imagen, A es la matriz kernel de transformación Para obtener la transformación inversa se calcula: Si La inversa es exacta Sino se obtiene una aproximación Transformadas de la imagen 34

Transformada de Walsh K-esimo bit en la representación binaria de z Separabilidad y simetría Transformadas de la imagen 35

Base de funciones de la transformada de Walsh cuando la imagen es de tamaño 4x4. Los coeficientes de la transformada se obtienen multiplicando la imagen por cada una de las funciones de la base. Transformadas de la imagen 36

Transformada de Hadamard Separabilidad y simetría Transformadas de la imagen 37

Discrete Cosine Transform (DCT) La base de funciones son funciones coseno y el resultado de la transformación es siempre real, lo que simplifica los cálculos. Transformadas de la imagen 40

Transformada en componentes principales: Hotelling, Karhunen-Loeve Población de vectores aleatorios de media y matriz de covarianza Dadas M muestras de la población de vectores aleatorios,se puede calcular Puesto que la matriz de covarianza es real y simetrica, se puede diagonalizar y encontrar el conjunto de autovectores ortogonales de la matriz. Sean estos autovectores ordenados por autovalor dispuestos por columanas en una matriz A. Errir de reconstrucción de los datos originales si consideramos solo los K autovectores de mayor autovalor Transformadas de la imagen 43