9 PROBLEMES CINEMÀTICA 1- L'equació de moviment d'un cos és, en unitats S.I., s=t 2-2t-3. Determina la seva posició en els instants t=0, t=3 i t=5 s i calcula en quin instant passa per origen de coordenades. 2- Per al mòbil indicat en l'exercici 1, determina el desplaçament entre els intervals: a) t=0 a t=1 s; b) t=0 a t=2 s; c) t=3 a t=5 s. Coincideix el desplaçament amb la distància recorreguda? 3- La taula recull les marques parcials d'un ciclista en una prova contrarellotge. Determina la seva velocitat mitjana en cada interval i en el total de la carrera. Temps Distància 0 min 0 km 18 min 44s 13,5 km 31 min 53 s 26,8 km 48 min 13 s 40,4 km 4- L'equació de moviment d'un mòbil és s=2t 3-3t 2 +2t+1 (S.I.). Determina la velocitat mitjana del mateix en els intervals: a) t=0 a t=3 s; b) t=5 a t= 10 s. 5- Un ciclista recorre la pujada d'un port de 10 km a 15 km/h i els 10 km de baixada per l'altre vessant a 55 km/h. Calcula la velocitat mitjana del ciclista en el total del port (pujada + baixada) 6- Per al mòbil de l'exercici 4, determina: a) velocitat instantània en funció del temps; b) el valor de la velocitat per a t=0, 3, 5 i 10 s; c) coincideix algun d'aquests valors amb els determinats en l'exercici 4 per a la velocitat mitjana? 7- Un mòbil es mou sobre l'eix X segons l'equació x=3t 2 (S. l.) Calcula: a) velocitat mitjana entre t=4 i 4,5 s.; b) velocitat mitjana entre t=4 i 4,1 s.; c) velocitat instantània als 4,5 s. 8- Per a un mòbil d'equació de moviment s = 2t 3-3t 2 + 2t + 1 (S.I.), determina l'acceleració mitjana entre t=0 i t=3 s, i l'acceleració instantània per a t=0 i t=3s. 9- Un punt material es mou segons l'equació x=4t 2 +2t+3. Calcula la coordenada inicial x 0, la velocitat inicial, la velocitat per a t=2 s i l'acceleració del mòbil.
10 10- Un mòbil es desplaça sobre una recta i la seva distància a l'origen és x=6t-t 2 m; a) Quan canvia el sentit del moviment?; b) quin és la posició del mòbil en aquest instant?; c) és accelerat o alentit el moviment en aquest instant? 11- L'equació d'un m.u.a. és: x=2t 2-6t-24. Calcula: a) equacions de v i a; b) en quins instants passa per l'origen de coordenades i quin la seva velocitat en aquest moment; c) quan canvia el sentit del moviment i quin és la seva posició en aquest instant. 12- Un mòbil es mou amb trajectòria rectilínia d'acord a l'equació: x=3t 2-6t+8. Determina: a) equació de la velocitat; b) valor de l'acceleració; c) espai recorregut entre els 2 i 5 segons; d) velocitat mitjana en aquest interval. 13- Un mòbil té per equació de moviment x=t 4 /2+t 2-4t. Determina: a) posició, velocitat i acceleració per a t=0 i t=2 s. b) velocitat mitjana i acceleració mitjana entre t=0 i t=2 s. c) accelera o frena per a t=0 i per a t=2 s? 14- Escriu l'equació de moviment per a un mòbil que es desplaça sobre l'eix OX amb acceleració constant de 2 m/s 2 sabent per a t=3 s es troba en el punt x=20 m amb una velocitat de 12 m/s. Quins seran la seva posició i velocitat per a t=10 s? R: x= -t 2 + 18t -25 15- Troba les equacions de moviment i velocitat d'un m.r.u.a. l'acceleració de la qual és 8 m/s 2, la velocitat s'anul la als 3 s i es troba en l'origen als 11 s. R: x= 4t 2-24t-220 16- Un mòbil que es desplaça amb moviment uniformement accelerat passa per l'origen de coordenades per a t=1 s i t=3 s i la seva velocitat inicial és de -3 m/s. Escriu la seva equació de moviment. R: x= ¾ t 2-3t +9/4 17- Un mòbil que es desplaça al llarg de l'eix X parteix del repòs de cert punt de coordenada x 0. Per a t=2 s passa per l'origen i per a t=4 s es troba en x=24 m. Determina la seva equació de moviment. R: x= 2t 2-8 18- El conductor d'un automòbil que marxa a una velocitat v 0 frena i atura el vehicle en 40 m durant 4 s. Calcula la velocitat inicial i l'acceleració de frenat suposant que el moviment ha estat uniformement alentit. R:v 0 = 20 m/s; a= -5 m/s 2
11 Llançament i caiguda de cossos 19- Un home vol llançar una pedra a una altura de 20 m. Amb quina velocitat inicial ha de llançar-la? Quina velocitat duu la pedra quan està pujant a 10 m del terra? R: v 0 = 19,79 m/s; v= 14,49 m/s 20- Es llança un cos verticalment cap amunt amb velocitat inicial de 54 km/h. A quina altura arriba? Quant temps tarda a tornar al punt de partida? R; h= 11,48 m: 3,06 s 21- Es llança un cos verticalment cap amunt, arribant a una velocitat de 10 m/s en arribar a la meitat de la seva altura màxima. A quina altura arribarà? Quina és la seva velocitat mitjana durant el primer segon? R:h=10,2 m; v= 9,24 m/s 22- Des d'un pont situat a 10 m d'altura sobre un riu es llança una pedra verticalment cap amunt. Sabent que la pedra arriba al riu a una velocitat de 35 m/s, determina la velocitat amb la qual es va llançar i l'altura màxima a la que arriba, mesurada des del riu. R: 32 m/s; h= 62,44 m 23- Un globus que puja a 6 m/s deixa caure un paquet quan es troba a 180 m del terra. Quant tarda aquest a arribar a terra i amb quina velocitat ho fa? R: t= 6,7 s; v=-59,73 m/s 24- A un paracaigudista que baixa a 2 m/s se li cau una bota quan es troba a 100 m d'altura. Calcula: a) quant temps abans arriba a terra la bota que el paracaigudista; b) quina velocitat duu la bota quan està a 30 m del sòl? R: t= 45,68 s; v= 37,11 m/s Composició de moviments 25- Un mòbil parteix del repòs d'un punt A amb m.u.a. (a=5 m/s 2 ) passant després consecutivament pels punts B i C; tarda 2 s a anar de B a C, separats 60 m. Calcula: a) velocitats del mòbil en B i C; b) temps que triga a recórrer la distància AB i el valor d'aquesta distància. R:a) v b = 25 m/s; v c = 35 m/s b)t= 5s; s= 62,5 m 26- Un mòbil parteix d'un punt A del repòs amb m.u.a. passant després consecutivament pels punts B i C, separats entre si 75 m. La velocitat en B és 10 m/s i en C, 20 m/s. Determina l'acceleració del moviment i la distància AB. R: a= 2 m/s 2 ; s = 25 m 27- Dos mòbils A i B, separats inicialment 100 m, comencen a moure's sobre la recta que els uneix perseguint A a B amb velocitats constants de 30 m/s i 20 m/s, respectivament. Quan i on agafa A a
12 B? En quin instant es troben separats 100 m després d'avançar A a B? R: a) t=10 s; s= 300 m; b) t= 20 s 28- Dos mòbils es desplacen en línia recta entre dos punts A i B separats 110 m. El primer parteix del repòs des d'a i es dirigeix cap a B amb a constant de 4 m/s 2. El segon surt de B cap a A dos segons més tarda amb v constant de 20 m/s. Determina en quin punt es troben, i la velocitat de cadascun en aquest moment. R: s= 50 m; t=5s; v A =20 m/s; v B = 20 m/s 29- Un home corre amb la major velocitat que pot, 6 m/s, per a arribar a un tren que està a punt de partir. Quan es troba en l'andana a 32 m de distància de l escala de l'últim vagó el tren arrenca amb acceleració constant de 0,5 m/s 2. Aconseguirà l'home arribar a el tren? R: Sí 30- Dos cossos A i B, situats a 2 km de distància, surten simultàniament en la mateixa direcció i sentit (sobre la recta que els uneix) amb m.u.a, essent l acceleració del més lent, B, de 0,32 m/s 2. Es troben a 3025 m del punt de partida de B. Calcula el temps que tarden en trobar-se, quina és l'acceleració d'a i la velocitat d'ambdós en aquest moment. R: t=137,5s; a=0,53m/s 2 ; v A =72,87m/s: v B =44m/s 31- Un cotxe està aturat en un semàfor. Quan aquest es posa verd accelera uniformement durant sis segons a 2 m/s 2 i després es mou amb velocitat constant. En l'instant que el cotxe comença a moure's un camió que es mou en la mateixa direcció i sentit amb moviment uniforme a 10 m/s el passa. A quina distància i en quin moment es trobaran de nou el cotxe i el camió? R. s= 180 m; t= 18 s 32- Un globus aerostàtic està pujant verticalment a 3 m/s. Quan es troba a 300 m del terra un passatger llança verticalment cap amunt un objecte a 19,6 m/s (respecte al terra). Determina: a) temps que tarda l'objecte a tornar a estar a la mateixa altura que el globus; b) temps que tarda en arribar a terra. R: a) t=3,39 s; b) t= 10,08 s 33- Un automòbil circula per una carretera a 108 km/h i veu 200 m davant d'ell altre cotxe a 90 km/h. Quina acceleració de frenat constant ha d aplicar per a quedar a la mateixa velocitat que el cotxe de davant quan es trobi a 60 m de distància respecte d aquest? 34- Del sostre d'un ascensor de 2,5 m d'altura que puja amb velocitat constant de 0,75 m/s es desprèn un llum. Calcula el temps que tarda aquesta a arribar al terra de l'ascensor i la distància recorreguda per l'ascensor en aquest temps. R: t= 0,71 s; s= 0,54 m
13 35- Un mòbil A parteix del repòs amb a=1 m/s 2 per a recórrer 200 m. Altre mòbil B parteix del repòs des del mateix punt 10 s més tard. Calcula: a) Amb quina acceleració constant ha de moure's B per a arribar alhora que A a els 200 m de l'origen?; b) Amb quina velocitat arriba cadascun a aquest punt?; c) Quina velocitat mitjana ha duit cadascun?; d) Quina distància els separa quan A ha recorregut 100 m? 36- Un punt A es troba 60 m per sobre de B en la mateixa vertical. Des d'a es deixa caure un cos sense velocitat inicial. Dos segons més tard es llança, des de B, un altre cos amb velocitat inicial de 20 m/s verticalment cap amunt. En quin punt xoca?; quina és la velocitat de cadascun d'ells en aquest instant? 37- Des de dalt d'una torre es deixa caure una pedra. Dos segons més tard es llança una altra pedra des de la mateixa posició amb velocitat inicial de 25 m/s dirigida verticalment cap avall. Calcula l'altura de la torre sabent que ambdues arriben a terra simultàniament. Amb quina velocitat arriba cada pedra? 38- Es dispara verticalment cap amunt un projectil amb velocitat inicial de 100 m/s. Mig segon més tard, amb la mateixa arma i també verticalment cap amunt es dispara altre projectil. Determina: a) altura a la qual xoquen ambdós projectils; b) velocitat de cadascun en el moment del xoc. 39- Un mòbil parteix del repòs i realitza un moviment rectilini. En una primera fase amb m.u.a recorre 32 m en 4 s. Després continua durant 10 s a velocitat constant, per a després frenar recorrent amb acceleració constant 64 m fins que s atura. Determina: a) equació de moviment per a cada fase; b) distància total recorreguda; c) instant en el qual ha recorregut 150 m. 40- Un coet es dispara verticalment. Puja amb acceleració de 20 m/s 2 durant mig minut i llavors s'esgota el seu combustible. Determina: a) altura màximaa la que arriba; b) temps transcorregut des que es llança fins que torna al terra. 41- Un mòbil parteix del repòs amb una acceleració desconeguda durant 5s, i després manté constant la velocitat. Se sap que en 15s ha recorregut 125 m. Calcula l'acceleració de la primera fase. 42- Un mòbil parteix del repòs i accelera durant 10 s. Després accelera durant 5 s amb una acceleració doble de la de la primera fase, recorrent en total 125 m. Calcula l'acceleració de cada fase.
14 43- Un paracaigudista salta d'un avió a 1000 d'altura i arriba al terra realitzant un moviment en tres fases: -la primera, cinc segons en caiguda lliure; -la segona obre el paracaigudes i frena amb acceleració constant al llarg de 400 m fins que arriba a una velocitat de caiguda de 2 m/s. - la tercera amb velocitat constant fins el terra. a) Escriu les equacions de posició i velocitat per a cada fase. b) Calcula la velocitat mitjana del salt. Moviment circular 44- Un automòbil es desplaça per una carretera a 90 km/h. El radi de les rodes és 25 cm. Calcula la velocitat angular d'una roda, la freqüència i el nombre de voltes que dóna en un minut. 45- Una roda de 15 cm de radi gira amb moviment uniforme amb una freqüència de 2 Hz. a) Calcula el període, la velocitat angular i lineal. b) Calcula l'acceleració de frenat que se li ha de comunicar perquè freni en una volta. Quin temps empra en això? 46- La velocitat d'una roda disminueix uniformement des de 900 a 800 rpm en 5 s. Calcula, per a un punt de la seva perifèria: a) acceleració angular; b) nombre de voltes donades en els cinc segons; c) quant temps més necessita per a aturar-se? d) quins resultats s'obtindrien en els apartats a i b per a un punt situat en l'interior de la roda? -2.09 rad/s 2 ; 70.84 voltes; 40 s 47- Calcula la velocitat angular de la Terra en la rotació al voltant del seu eix i la velocitat lineal d'un punt de l'equador. El radi de la terra és de 6400 km. 48- Un punt descriu una circumferència de 27 cm de radi amb acceleració constant. En un punt A la seva velocitat és 9 cm/s i en altre B, pel qual passa 0,25 s més tard que per A, 10 cm/s. Determina la seva acceleració angular i lineal. 49- Una roda de radi 20 cm gira a 3000 rpm i un fre l atura en 20 s amb acceleració constant. Calcula l'acceleració angular i el nombre de voltes que dóna fins que s atura. 50- Una roda de 30 cm de radi, inicialment en repòs, accelera durant 5 s a 2 rad/s 2 ; després gira 5 s més a velocitat constant per a frenar fins aturar-se en altres 10 s. Calcula el nombre total de voltes donades i la velocitat lineal mitjana d'un punt de la perifèria durant el trajecte.
15