XII. MÁS MOVIMIENTO CURVILÍNEO Aunque lo que hemos estudiado en el capítulo anterior corresponde a lo más fundamental del movimiento curvilíneo, completaremos nuestro estudio con tres temas más: las componentes polares, el movimiento circular y el movimiento relativo. Componentes polares. Cinemática Volveremos a estudiar el movimiento curvilíneo, pero ahora utilizando un nuevo sistema de referencia. Cuando la posición de la partícula puede definirse fácilmente mediante la magnitud y la dirección de un vector de posición, entonces conviene emplear un sistema de referencia polar: el polo u origen es un punto fijo respecto al cual se mide la distancia r a la partícula, que sería una de las coordenadas, mientras que la otra sería el ángulo que el radio vector forme con cierta dirección conocida. Tomemos un automóvil P que se mueve en una carretera curvilínea, como se muestra en la figura. Desde O se observa su movimiento con un radar. La posición del radar, O, será el polo. El segmento de recta que une el radar con el automóvil, OP = r, será el vector de posición, que estará contenido en el eje radial, cuyo sentido es de O hacia P.
El ángulo que forma el vector r con la línea Oeste Este (podríamos elegir otra dirección conocida), será la dirección. Además del eje radial, recurriremos a otro eje, perpendicular al primero, que llamaremos transversal. Y llamaremos er y e a los vectores unitarios en las direcciones radial y transversal, respectivamente. La posición del automóvil en cualquier instante se puede expresar como r = re r y la velocidad del automóvil se puede deducir derivando esta expresión con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que tanto la distancia r como el vector unitario son variables: v = dr dt e r + r de r dt que podemos escribir, aplicando la regla de la cadena al segundo término, de la siguiente manera: v = r e r + r de r dθ dθ dt Cuando estudiamos las componentes intrínsecas, dedujimos que la derivada de un vector unitario respecto a su dirección es otro vector unitario girado un ángulo recto en sentido positivo; o sea que de r dθ = e θ ; de θ dt = e r La razón d /dt, que es la razón del cambio de dirección del vector al tiempo, se puede llamar velocidad angular con toda propiedad; de modo semejante, la razón del cambio de la velocidad angular al tiempo se puede llamar aceleración angular. Simbólicamente θ = dθ dt ; θ = dθ dt Llevando estos valores a la expresión de la velocidad, obtenemos 284
Volveremos a derivar con respecto al tiempo para hallar la aceleración del automóvil: a = r de r dt + r e r + θ re θ + θ r e θ + θ r de θ dt y empleando nuevamente la regla de la cadena y sustituyendo con los valores que hemos obtenido arriba, llegamos a lo siguiente: a = r v = r e r + θ re θ de r dθ dθ dt + r e r + θ re θ + θ r e θ + θ r de θ dθ dθ dt a = θ r e θ + r e r + θ re θ + θ r e θ θ 2 re r a = (r θ 2 r)e r + (θ r + 2θ r )e θ Las dos expresiones enmarcadas nos ofrecen los valores de la velocidad y la aceleración en términos de sus componentes radial y transversal. Ejemplo. Mediante un mecanismo, que no se muestra en la figura, el collarín A se mueve sobre la barra, alejándose de la articulación O, conforme a la expresión r = 5 + 2t 2, en donde r resulta en cm, si t se da en s. A su vez, la barra OB gira alrededor de O, según la ley = 0.4t 3, en la que si t está en s, resulta en rad. Determine la posición, velocidad y aceleración del collarín cuando t = 1 s. 285
Obtendremos las primeras y segundas derivadas de r y respecto al tiempo y sus valores para t = 1s. r = 5 + 2t 2 r = 4t r = 4 θ = 0.4t 3 θ = 1.2t 2 θ = 2.4t r 1 = 7 r 1 = 4 r 1 = 4 θ 1 = 0.4 rad = 22.9 θ 1 = 1.2 rad/s θ 1 = 2.4 rad/s 2 Por tanto 7cm v = r e r + θ re θ v = 4e r + 1.2(5)e θ = 4e r + 6e θ a = (r θ 2 r)e r + (θ r + 2θ r )e θ a = (4 [1.2] 2 [5])e r +(2.4[5] + 2[1.2]4)e θ a = 3.2e r + 21.6e θ Para t = 1s, la posición, velocidad y aceleración del collarín serán: r = 7 cm 22.9 v = 4 2 + 6 2 tan β = 6 ; β = 56.3 4 v = 7.21 cm s 79.2 a = 3.2 2 + 21.6 2 tan γ = 21.6 ; γ = 81.6 3.2 a = 21.8 cm s 2 58.7 286
Ejemplo. Mediante un radar colocado en tierra se sigue el vuelo de un avión que viaja en línea recta con velocidad constante de 1200 ft/s. Sabiendo que el avión vuela a 20 000 ft de altura y que el rayo del radar y la trayectoria del avión están en el mismo plano, calcule, para el instante en que = 45 : a) la distancia entre el radar y el avión: b) la rapidez y la aceleración con que el avión se acerca al radar; c) la velocidad y la aceleración angulares del rayo del radar. v 20 000 De la geometría podemos obtener la distancia r y las componentes polares de la velocidad. sen 45 = 20000 r r = 20000 ( 2 2 ) = 40000 2 r = 28 300 ft vθ v r = v θ = 1200 ( 2 2 ) = 600 2 La rapidez con que el avión se acerca al radar es r, o sea r = v r vr Como v θ = θ r r = 849 ft s 287
1200 ( 2 2 ) = θ (20000) 2 2 θ = 1200 20000 ( 2 2 ) 2 2 = 600 20000 = 0.03 que es a velocidad angular del rayo: θ = 0.03 rad s Como el movimiento del avión es rectilíneo uniforme, a = 0 0 = r θ 2 r r = θ 2 r = (0.3 2 ) 40000 2 que es aceleración con que el avión se acerca al radar: r = 2550 ft s 2 45 Además 0 = θ r + 2θ r θ = 2θ r r = 2(0.3)600 2 2 40000 θ = 0.018 La aceleración del rayo es: θ = 0.018 rad s 2 Aaa 288
Componentes polares. Cinética Por supuesto, las expresiones que nos servirán para resolver problemas cinéticos, conforme a la segunda ley de Newton, serán las siguientes: F r = ma r F θ = ma θ O bien: F r = m(r θ 2 r) F θ = m(θ r + 2θ r ) Un ejemplo será suficiente para ilustrar el caso. Ejemplo. Un pequeño cilindro de medio kilogramo de peso, se puede mover dentro de un tubo liso de 0.5 m de largo, que gira alrededor de un eje vertical con rapidez angular constante de 20 rad/s. En cierto instante, el cilindro tiene una rapidez, relativa al tubo, de 8 m/s, hacia afuera del tubo y se halla a 0.25 m del eje de rotación. Determine la magnitud de la fuerza horizontal que el tubo ejerce sobre el cilindro en el instante en que éste se halle a punto de abandonar aquel. O En el sistema de referencia, el eje radial iría de O a B, y el transversal sería también horizontal y perpendicular al anterior. 289
En un instante cualquiera, el diagrama de cuerpo libre del cilindro, en planta, sería el siguiente (el peso y la reacción vertical no pueden aparecer en el diagrama). Podemos decir que O sea que F r = m(r θ 2 r) 0 = 0.5 9.81 (r [202 ]r) r = 400r r = dr dt = dr dr dr dt = r dr dr r dr dr = 400r Separando variables e integrando 8 2 r dr = 400 rdr 2 r 2 = 200r2 + C Si r = 0.25, r = 8 2 = 200(0.252 ) + C ; C = 19.5 r 2 2 = 200r2 + 19.5 r = 400r 2 + 39 Para r = 0.5 r = 9.43 m s que es la rapidez con que abandona el tubo F θ = m(θ r + 2θ r ) 290
Como θ es constante, θ = 0 F H = 0.5 9.81 (2[20]9.43) F H = 19.23 kg Movimiento circular El movimiento circular de la partícula es un caso particular del movimiento curvilíneo, que reviste especial importancia. Se puede estudiar con facilidad tanto utilizando coordenadas intrínsecas como polares. En el primer caso, el eje normal va de la partícula al centro de la trayectoria, mientras que en el segundo, tiene sentido contrario, si se toma el centro como polo. Los ejes tangencial y transversal coinciden. Empleando las componentes radial y transversal, y sabiendo que r es constante e igual al radio de la trayectoria, tenemos v = r e r + θ re θ r = 0 v = θ re θ La velocidad tiene una magnitud igual a θ r y es perpendicular al radio de la trayectoria. a = (r θ 2 r)e r + (θ r + 2θ r )e θ Como tanto r como r son nulas a = θ 2 re r + θ re θ La componente radial tiene la misma magnitud de la componente normal, a n = θ 2 r, pero sentido contrario. Las componentes transversal y tangencial son iguales en magnitud, θ r, y en dirección. a = θ 2 re n + θ re t 291
Movimiento relativo Todos los movimientos de la partícula que hemos estudiado hasta este momento, han sido absolutos, es decir, hemos considerado que el origen del sistema de referencia permanece fijo. Llamaremos movimiento relativo al que se estudia desde un punto de observación, un origen, móvil. Pensemos en un pasajero que camina sobre la cubierta de un buque, de babor a estribor, con una velocidad de 2 m/s. Si el buque está anclado, la velocidad absoluta de la persona es de 2 m/s, dirigida hacia el Este. Pero si el buque navega hacia el Norte con una rapidez de 10 m/s. entonces la velocidad de 2 m/s ( ) será la velocidad relativa del pasajero con respecto al buque; y su velocidad absoluta será la suma vectorial de su velocidad relativa al buque más la velocidad absoluta del buque: 10 m/s 2 m/s vp vp/b=2 vb=10 v P = 10 2 + 2 2 ; tan θ = 10 2 v P = 10.2 m/s 78.7 Dividiremos el estudio del movimiento relativo en dos partes: en la primera, los ejes del sistema de referencia móvil conservarán su dirección durante el movimiento, en la segunda, dicho ejes cambiarán de dirección. 292
Ejes con traslación pura Más Movimiento Curvilíneo Decimos que los ejes se mueven con traslación pura si conservan su dirección original durante el movimiento. En la figura, O es un punto fijo, y origen del sistema de referencia absoluto, y Q es un punto en movimiento, origen del sistema de referencia móvil. P es la partícula en estudio, cuyas coordenadas son (x, y), respecto al sistema móvil. Como fácilmente se puede observar, la posición absoluta de P es igual a la suma vectorial de la posición relativa de P respecto a Q, más la posición absoluta de Q. r P = r P/Q + r Q La ecuación anterior se puede escribir también así: r P = x i + y j + r Q v P = v xi + v yj + v Q a P = a xi + a yj + a Q y, para obtener la velocidad y la aceleración, derivamos con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes, ya que no cambian ni de magnitud ni de dirección: v P = v P/Q + v Q a P = a P/Q + a Q en donde los dos primeros términos del segundo miembro corresponden a la velocidad y la aceleración relativas de P respecto a Q. Ejemplo. Un buque A navega hacia el Este con una rapidez de 20 nudos, mientras otro, B, se dirige hacia el noreste con una velocidad de 16 nudos. Determine la velocidad relativa de B respecto de A. N 16 nudos E 20 nudos 293
Como tenemos que investigar la velocidad relativa de B respecto de A, la ecuación que hemos de emplear es v B = v B/A + v A Con ella a la vista, dibujamos los vectores que representan esa suma y, a continuación, resolvemos el triángulo mediante la ley de cosenos. v B = 16 v B/A 2 v B/A 2 v B/A = 20 2 + 16 2 + 2(20)16 cos 45 = 400 + 256 320 2 45 θ v B/A = 14.26 v A = 20 Y con la ley de senos calculamos la dirección. sen θ sen 45 = 16 14.26 sen θ = 16 2 2(14.26) θ = 52.5 Por tanto v B/A = 14.26 nudos 52.5 Por supuesto, la velocidad del buque A respecto del B tiene la misma magnitud, pero sentido contrario. Ejemplo. Un avión A vuela con rapidez constante de 720 km/h describiendo una circunferencia horizontal de 4000 m de radio. Simultáneamente, otro avión, B, vuela en línea recta, hacia el Este, con una rapidez de 600 km/h, la cual aumenta a razón de 10 m/s 2. Calcule la velocidad y la aceleración relativas del avión A respecto al B, en el instante mostrado en la figura. 294 A B
La ecuación que debemos emplear para la determinación de la velocidad relativa es v A = v A/B + v B y el diagrama correspondiente de vectores v A = 720 km/h v B = 600 km/h v A/B Como puede apreciarse, la velocidad relativa de A respecto a B se obtiene mediante una suma algebraica: v A/B = 1320 km/h Para obtener la aceleración relativa, la ecuación a utilizar es a A = a A/B + a B La aceleración de A no tiene componente tangencial, y es igual a a A = v2 r v = 720 m 3.6 s = 200 m/s a A = 2002 4000 = 10 Por tanto, el diagrama de los vectores es a A = 10 a B = 10 aa B a A/B = 10 2 a A/B = 14.14 m s 2 45 295
Ejemplo. Dos vehículos, A y B, recorren una curva circular de 440 ft de radio. En el instante representado en la figura, ambos llevan una rapidez de 30 mi/h, pero mientras que A la está reduciendo a razón de 4 ft/s 2, B la aumenta a razón de 3 ft/s 2. Determine la aceleración relativa dela automóvil B respecto al A. Puesto que las aceleraciones de los automóviles tienen dos componentes cada una, la resolución de este problema implica trabajar con cinco vectores. Por lo cual, elegiremos un sistema de referencia que nos permita utilizar un lenguaje vectorial. Una vez elegido, calcularemos las componentes de las aceleraciones y las expresaremos en función de dicho sistema. 30 mi h = 44 ft s (a A ) n = v A 2 r = 442 440 = 4.4 (a A ) t = 4 a A = 4.4i 4j (a B ) n = 4.4 60 (a B ) t = 3 30 (a B ) n = 2.2i 2.2 3j (a B ) t = 1.5 3i + 1.5j La ecuación de la aceleración relativa que hemos de emplear es la siguiente, y reemplazaremos en ella los valores obtenidos. a B = a B/A + a A 2.2i 2.2 3j 1.5 3 1.5j = a B 4.4i 4j A a B/A = ( 2.2 1.5 3 + 4.4)i + (4 2.2 3 1.5)j a B/A = 0.398i 1.311j 296
a B/A = 0.398 2 + 1.311 2 tan θ = 1.311 0.398 a B/A = 1.37 ft s 2 73.1 Ejes con rotación Estudiaremos ahora el caso del movimiento relativo, permitiendo rotar o girar al sistema de referencia móvil. El planteamiento inicial es idéntico al del caso en que los ejes se mueven con traslación pura. Para facilitar las expresiones que tendremos que deducir, asociaremos la velocidad angular a un vector perpendicular al plano del movimiento, cuya magnitud sea la de dicha velocidad, y cuyo sentido siga la regla de la mano derecha. Es decir si el plano de este papel es el xy, y un disco gira en sentido antihorario con una velocidad angular de 8 rad/s, el vector que representará su velocidad angular será ω = 8 k[rad/s]. De modo semejante, asociaremos otro vector perpendicular al plano de movimiento con la aceleración angular siguiendo el mismo criterio; si el disco del ejemplo reduce su rapidez angular a razón de 15 rad/s 2, el vector representativo será α = 15k[rad/s 2 ]. En la figura, O es un punto fijo, y origen del sistema de referencia absoluto, y Q es un punto en movimiento, origen del sistema de referencia móvil. P es la partícula en estudio, cuyas coordenadas son (x, y) respecto al sistema móvil. Como fácilmente se puede observar, la posición absoluta de P es igual a la suma vectorial de la posición relativa de P respecto a Q, más la posición absoluta de Q. Llamaremos ω a la velocidad angular del sistema de referencia. 297
dr P/Q dt r P/Q = xi + yj = x di dt + dx dj iy + y dt dt + dy dt j Para derivar los vectores unitarios emplearemos la regla de la cadena, y recordaremos que la derivada de un vector unitario respecto a su dirección es otro vector unitario girado 90 grados en sentido anti horario. di dt = di dθ dθ dt = dθ j = ωj dt Por lo tanto dr P/Q dt dj dt = dj dθ dθ dt = dθ j = ωi dt = v x i + v y j + ωxj ωyi (1) Antes de volver a derivar con respecto al tiempo, le daremos a esta ecuación la siguiente forma. v P/Q = v rel + ω r P/Q El último término se justifica porque i j k ω r P/Q = ωk (xi + yi) = 0 0 ω x y 0 En resumen la velocidad absoluta de P es v P = v rel + ω r P/Q + v Q Para obtener la aceleración absoluta, derivamos la ecuación (1) respecto al tiempo d 2 r P/Q di dt 2 = v x dt + dv x dt i + v dj y dt + dv y dj dx dω j + ωx + ω j + dt dt dt dt xj (ωy di dt dy dω + ω i + dt dt yi) 298
Sustituyendo las derivadas de los vectores unitarios por sus valores y haciendo dω dt = α (= d2 θ dt 2 ) tenemos, a P/Q = ωv x j + a xi ωv y i + a y j ωxi + ωv x j + αxj (ωy di dy dω + ω i + dt dt dt yi) Ordenando, tenemos: a P/Q = a x i + a y j ωxi ωyj + αxj αyi + 2(ωv x j ωv y i) a P/Q = a rel ω 2 r P/Q + α r P/Q + 2ω v rel El segundo término del segundo miembro a veces se escribe así: ω 2 r P/Q = ω (ω r P/Q) La aceleración absoluta de P es: a P = a rel ω 2 r P/Q + α r P/ + 2ω v rel + a Q Si se observa detenidamente, la única diferencia entre la aceleración absoluta estudiada con ejes con traslación y esta que acabamos de obtener es el término 2ω v rel, que se llama aceleración de Coriolis (¹). Ejemplo. Un buque navega describiendo un arco de circunferencia de 50 m de radio con una rapidez constante de 10 m/s. Un pasajero se mueve de babor a estribor con una velocidad constante, relativa al buque, de 2 m/s. Determine la velocidad y la aceleración absolutas del pasajero en el instante en que pasa por el centro G del buque. 0 y 50 m v B = 10 m/s G x vp = 2 m/s (¹) Gustave Coriolis (1792-1861) fue un matemático e ingeniero francés que descubrió este término de la aceleración relativa. 299
El movimiento relativo al buque del pasajero es muy simple, se trata de un movimiento rectilíneo uniforme. Pero el hecho de que el buque esté virando provoca que el movimiento absoluto sea bastante complejo. El sistema de referencia fijo que conviene elegir, tiene su origen en O, que es el centro de la trayectoria de la embarcación, Y el sistema de referencia móvil tendrá el mismo origen O, que carece de movimiento, pero sus ejes tendrán una cierta velocidad angular ω, pues rotará junto con el buque. Aceleración absoluta 300 ω = v B r = 10 = 0.2 rad/s 50 Velocidad absoluta v P = v rel + ω r a/b + v B v P = 2i + 0.2k 50i + 0 v P = 2i + 10j a P = a rel ω 2 r P/B + α r P/0 + 2ω v rel + a 0 a P = 0 0.2 2 (50i) + 0 + 2(0.2k 2i) + 0 a P = 2i + 0.8j a P = 2.15 m/s 2 21.8 Ejemplo. En cierto instante, el impulsor de una bomba centrífuga de 0.5 ft de radio tiene una velocidad angular de 10 rad/s y una aceleración angular de 20 rad/s 2. Una gota de agua está a punto de abandonarla en el punto A, con una velocidad, relativa al impulsor, de 4 ft/s, en la dirección mostrada en la figura, y que aumenta a razón de 16 ft/s 2. El radio de curvatura del álabe en el punto A es de 0.8 ft. Diga cuáles son la velocidad y aceleración absolutas de la gota de agua en el instante mencionado. v P = 10.2 m/s 78.7
Velocidad absoluta. Llamaremos v G a la velocidad absoluta de la gota. v G = v rel + ω r G/0 + v 0 v G = 2i + 2 3j + 10k 0.5j v G = 7i + 2 3j v G = 7 2 + (2 3) 2 v rel = 2i + 2 3j ω = 10k r G/0 = 0.5j v 0 = 0 tan θ = 2 3 7 v G = 7.81 ft/s 26.3 Tanto el origen del sistema de referencia fijo como el del sistema móvil (que girará junto con el impulsor) serán el centro O del impulsor. Será a a la aceleración absoluta de la gota. Como la gota de agua se mueve sobre el álabe del impulsor aumentando su rapidez relativa se trata de un movimiento curvilíneo en que la aceleración tiene tanto como componente normal como tangencial. a rel = (a rel ) t +(a rel ) n a rel = 16e t + v2 ρ e n a rel = 16e t + 42 0.8 e n a rel = 16e t + 20e n 301
a rel = 16 2 + 20 2 = 25.61 En el sistema móvil x-y: a rel = 25.61( i sen 81.3 + j cos 81.3 ) a rel = 25.3i + 3.86j Entonces: a G = a rel ω 2 r G + α r G + 2ω v rel 0 0 + a 0 a G = 25.3i + 3.86j 10 2 (0.5j) + 20k 0.5j + 2[10k ( 2i + 2 3j)] + 0 a G = 25.3i + 3.86j 50j 10i 40 3i 40j a G = 104.6i 86.1j a G = 104.6 2 + 86.1 2 tan θ x = 86.1 104.6 a G = 135.5 ft/s 2 39.5 El estudiante podrá darse cuenta de que la velocidad absoluta de la gota de agua es igual a la suma vectorial de la velocidad del punto A del álabe del impulsor más la velocidad relativa de la gota. Y que su aceleración absoluta corresponde a la suma vectorial de la aceleración absoluta de A, más la aceleración relativa de la partícula, más la aceleración de Coriolis. 302
Serie de ejercicios de cinética MÁS MOVIMIENTO CURVILÍNEO 1. El brazo OA de la figura gira alrededor de O conforme a la ecuación θ = t 2 /2, donde sí t esta en segundos, θ resulta en rad/s. El collarín P se aleja de O según la expresión r = 4 + t 2, en la que r está en mm y t en s. Determine la velocidad y la aceleración del collarín cuando t = 2 s. (Sol.v = 16.49 m s 10.6 ; a = 38.4 mm s 2 75.9 ) 2. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un mecanismo semejante al del problema anterior son θ = π/2 y r = 10 4t, donde θ está en rad, r en in y t en s. Diga cuáls serán la velocidad y la aceleración lineales del collarín cuando θ = 0. (Sol. v = 5.46 in s 42.9 ; a = 8.82 in s 2 65.1 ) 3. En cierto instante del movimiento curvilíneo de una partícula, los parámetros de sus componentes polares alcanzan los siguientes valores: r = 20 mm, dr dt = 30 mm s, d 2 r/dt 2 = 300 mm s, θ = 45, dθ dt = 2 rad s y d 2 θ dt 2 = 16 rad s 2. Determine la rapidez de la partícula y la magnitud de las componentes radial y transversal de su aceleración. (Sol. v = 50 mm s ; a r = 220 mm s 2 ; a θ = 200 mm s 2 ) 4. Un niño camina sobre el radio de un tiovivo, alejándose del centro, a razón constante de 8 ft/s. El tiovivo lleva una aceleración angular, también constante, de 5 rad s 2. Calcule las magnitudes de la velocidad y aceleración lineales del niño cuando se encuentre a 4 ft del centro, si en ese instante la rapidez angular del tiovivo es de 3 rad s. (Sol. v = 14.42 ft s ; a = 76.9 ft/s 2 ) 303
5. Un buque B navega con una velocidad constante de 40 ft/s en la dirección mostrada. Un radar O en la costa sigue su movimiento. En el instante representado, la distancia entre el buque y el radar es de 2000 ft. Calcule cuáles son, en dicho instante, la velocidad angular del radar y la rapidez con la que el buque se aleja del radar. (Sol. θ = 0.01 rad s ; r = 34.6 ft/s) 6. Un jet que vuela horizontalmente con velocidad constante a una altura de 8 km es rastreado por un radar situado exactamente debajo de su trayectoria. Cuando la inclinación del radar es de 60 respecto a la horizontal, dicho ángulo decrece a razón de 0.025 rad/s. Tomando el radar como polo del sistema de referencia, determine para dicho instante: a) la componente transversal de loa velocidad del avión; b) la rapidez del avión; c) la componente radial de la velocidad del avión; d) la acele-ración angular del radar, y e) la aceleración con que el jet se aleja del radar. (Sol. a) v θ = 231 m s ; b) v = 267 m/s; c) v r = 133.3 m/s; d) θ = 7.22x10 4 rad s ; e) r = 5.77 m/s 2 ) 7. En una lámina vertical se practica una ranura espiral cuya ecuación es r = 0.5θ, donde si θ se da en rad, r resulta en cm. Dentro de ella se desliza una corredera por la acción de un brazo ranurado que tiene una aceleración angular constante de 5 rad s 2 en sentido antihorario. Determine todas las fuerzas externas que actúan sobre la corredera cuando θ = π, sabiendo que cuando θ = 0 la rapidez angular del brazo es nula y que la corredera pesa 80 g. Tanto el brazo como la ranura son lisas. (Sol. 0.08kg ; 0.401kg 17.7 ; 0.24kg ) 304
8. El movimiento de la corredera A dentro de la ranura circular de 0.3 m de radio se gobierna mediante la guía horizontal que se eleva con una rapidez constante de 5 m/s. Calcule la velocidad y la aceleración de la corredera cuando θ = 30. (Sol. v = 5.77 m s 60 ; a = 128.3 m s 2 ) 9. Un buque A navega con una rapidez de 10 nudos y otro, B, a 14 nudos, en las direcciones que se indican en la figura. Cuáles son la magnitud y la dirección de la velocidad relativa de A respecto a B? (Sol.v A/B = 14.95 nudos 70.2 ) 10. La cuña A se mueve se mueve hacia la derecha según la ley s = t 3 3t 2 + 3t, en la que si t está en s, s resulta en m. Cuando t = 3 s, el cuerpo B, que desciende sobre el plano inclinado, tiene una rapidez, relativa a la cuña, de 13 m/s. Determine, para dicho instante, la velocidad absoluta de B. (Sol.v B = 5 m/s ) 11. Una lancha cruza un río de 100 m de ancho, en dirección normal a la corriente, en un minuto. Si la rapidez del agua es de 8 km/h, Cuáles son la magnitud y la dirección de la velocidad lineal con que debe la lancha cruzar el río para llegar precisamente al punto opuesto? (Sol. v L/C = 10 km h 36.9 ) 305
12. Un camión que viaja al oeste a 40 km/h, lleva sobre el techo un banderín que ondea formando un ángulo de 15 con el lado negativo de la dirección del camión. Si, simultáneamente, la veleta de un edificio tiene un acimut de 150, calcule la rapidez del viento. (Sol. v v = 14.64 km/h) 13. Dos trenes A y B viajan en la misma dirección cobre vías paralelas. A aumenta su rapidez uniformemente a razón de 16 km/h cada minuto, mientras B reduce la suya, también uniformemente, 8 km/h cada minuto. Cuál es la aceleración relativa de A respecto a B. Exprese el resultado en m/s 2. (Sol. a B/A = 0.1111 m/s 2 ) 14. Dos automóviles, A y B, corren con rapidez constante en una pista circular de 400 m de diámetro, de modo que sus radios giran en el sentido contrario de las manecillas del reloj. En cierto instante, A se encuentra al este de la pista y B al norte. Si la velocidad de A es de 72 km/h y su aceleración, respecto a B, de 4 m/s 2, cuál es la rapidez de B? (Sol. v B = 94.8 km/h) 15. Un coche A viaja por una carretera recta aumentando su velocidad a razón de m/min cada segundo cuando se halla en la posición indicada en la figura. Simultáneamente, un automóvil B viaja sobre una trayectoria circular aumentando su rapidez 1.5 m/s 2 ; cuando se encuentra en la posición mostrada, su velocidad es de 36 km/h, y el radio de curvatura de su trayectoria, de 100 m. Cuál es la aceleración relativa de A respecto a B. (Sol. a A/B = 2.42 m/s 2 48.1 ) 306
16. Un tren acelera uniformemente en 5 min de 54 a 162 km/h. Si está lloviendo y la lluvia cae verticalmente, calcule la aceleración lineal relativa de las gotas de agua con respecto al tren, a los tres minutos de haber comenzado a acelerar, sabiendo que el tren recorre entonces una curva circular de 270 m de radio. (Sol. a B/A = 387 cm/s 2 42.1 ) 17. Una persona camina con velocidad constante de 4 m/s sobre el radio de un tiovivo, alejándose del centro. El tiovivo gira con una rapidez angular constante de 30 rpm. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración absolutas de dicha persona cuando se halle a 2 m del centro del tiovivo. (Sol. v = 7.45 m/s; a = 32 m/s 2 ) 18. Un niño corre con una rapidez constante de 25 ft/s sobre el perímetro del tiovivo, el cual tiene un radio de 8 ft y gira con una velocidad angular constante de 4 rad/s. Calcule las magnitudes de la velocidad y de la aceleración absolutas del niño si: a) corre a favor del movimiento del tiovivo. b) Corre en sentido contrario. (Sol. a) v = 57 ft s ; a = 406 ft s 2 b) v = 7 ft s ; a = 6.13 ft/s 2 ) 19. El impulsor de una bomba centrífuga aumenta su rapidez angular a razón de 10 rad/s 2. El agua se desliza sobre las aspas con una aceleración relativa a ellas de 400 mm/s 2. Calcule la velocidad y la aceleración lineales absolutas de una partícula P de agua, cuando se halla a 150 mm del centro de rotación del impulsor, sabiendo entonces que la rapidez lineal relativa de la partícula es de 300 mm/s (en el mismo sentido de la aceleración relativa) y la angular del impulsor, de 20 rad/s. (Sol. v = 0.3i + 3j[m s]; a = 59.4i + 13.5j[m/s 2 ]) 307
20. La manivela OA del mecanismo de retroceso rápido gira con una velocidad angular constante 20 rad/s. en sentido antihorario. Para la configuración mostrada en la figura, calcule la rapidez y la aceleración angulares del balancín BC, articulado en B y que desliza dentro del collarín A. (Sol.ω = 5.71 rad/s ; α = 42.4 rad/s 2 ) 21. La barra AB gira alrededor de A con rapidez angular constante de 120 rpm en el sentido contrario de las manecillas del reloj. Sabiendo que la barra BD tiene una longitud de 4 ft, determine las magnitudes de la velocidad y de la aceleración absolutas de su extremo D en el instante en que θ = 90. (Sol. v D = 11.97 ft s ; a D = 59 ft s 2 ) 308