TEMA 3 M O D E L O S U N I V A R I A N T E S L I N E A L E S

TEMA 3 M O D E L O S U N I V A R I A N T E S L I N E A L E S

Motivación El proceso de construcción de un modelo univariante ARIMA se basa en un procedimiento iterativo en el que el conocimiento de las propiedades teóricas de los diferentes procesos así como la observación e interpretación de la series son importantes. La teoría económica no juega un papel relevante en la especificación de estos modelos. Sin embargo, las conclusiones que se extraen de estos modelos pueden ser útiles para pensar en términos económicos. Por ejemplo, la especificación de modelos ARIMA puede dar respuesta a este tipo de preguntas: Existe una tasa de inflación de equilibrio en una determinada economía? Cuáles son las características del ciclo económico? De qué forma podemos proyectar las ventas futuras de una determinada empresa?

Estructura del tema 3.1. La metodología Box-Jenkins. 3.2. Especificación inicial 3.2.1. Contrastes de raíces unitarias. 3.2.2. Análisis de correlogramas 3.3. Estimación. 3.4. Valoración de modelos 3.4.1. Contrastes de hipótesis sobre los coeficientes. 3.4.2. Análisis de residuos 3.4.3. Contrastes respecto a modelos alternativos.

Importante Cuando se trabaja con datos reales debe tenerse en cuenta que ningún modelo es verdadero. Pero algunos son útiles. Esto significa que el modelo que finalmente seleccionemos debe cumplir ciertas propiedades estadísticas para que sea correcto pero al mismo tiempo antes debe compararse con diferentes modelos posibles. Esta comparación debe hacerse de forma que tenga sentido. Nunca proponer un modelo en el que no creemos.

3.1. La metodología Box-Jenkins

Pasos en la construcción del modelo 1. Determinar la transformación estacionaria de la serie. 2. Analizar el correlograma para determinar el modelo apropiado para la transformación estacionaria de la serie. 3. Estimar los parámetros del modelo. 4. Diagnóstico del modelo para comprobar que el modelo está bien especificado. 5. Basado en el paso 4 proponer y estimar estructuras alternativas que puedan compararse con la especificación inicial. 6. Una vez escogida la especificación óptima utilizar el modelo para extraer conclusiones económicas o para predecir.

3.2. Especificación inicial

Serie del Indice de Producción Industrial (IPI) en España 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 IPI

Qué observamos? Tendencia? Estacionalidad? Heterogeneidad en la varianza? Crisis económica?

Qué características se observan en esta serie? 1. Con respecto a la tendencia se observa crecimiento sistemático aunque con muchas rupturas. - Crecimiento mas o menos continuado de la produccion industrial durante todo el periodo de analisis... - Excepto por la importante crisis que se inicia desde finales de 2007 a la actualidad. 2. Se observa que las fluctuaciones del IPI se incrementan con el nivel de la serie. 3. Estacionalidad muy marcada.

Qué transformación debe realizarse en primer lugar? Parece lógico tomar la transformación logarítmica por dos razones Para eliminar la heterocedasticidad condicional de la serie. Para liberarnos de la arbitraria unidad de medida de los números índices de forma que al tomar primeras diferencias la serie pueda ser interpretada como tasas de crecimiento. La transformación logarítmica rara vez hace daño, incluso aunque no se observe heterocedasticidad condicional. Sólo no tomamos transformación logarítmica cuando la serie esté ya expresada en términos porcentuales: tipos de interés, tasa de desocupación, etc. Pero, ojo!!! La transformación logarítmica no elimina las propiedades tendenciales de la serie.

Serie del IPI en logaritmos naturales 4.8 4.6 4.4 4.2 4.0 3.8 3.6 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 LIPI

Correlogramas

Qué conclusión extraemos de todo esto? La serie muestra crecimiento sistemático durante el periodo de análisis. El lento decrecimiento del correlograma nos indica que la serie es no estacionaria y necesita al menos una diferencia regular. Ademas, se observa la presencia de una estacionalidad que por su lento decaimiento hace pensar que sea no estacionaria.

Tendencia Es claramente estocástica y así ocurre en la práctica totalidad de las series económicas. Si la tendencia fuera determinista, ésta debería ser eliminada tras regresar la serie con una constante y un término de tendencia.

Si la tendencia fuera determinista, los residuos de esa regresión deberían ser estacionarios.

.3.2.1.0 -.1 -.2 -.3 -.4 -.5 -.6 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 RESID

Los residuos no parecen estacionarios ya que su retardos estacionales muestran un decrecimiento muy lento En la proxima seccion veremos como contrastar por estacionariedad de manera formal

Otros ejemplos Tasa de desempleo en España (serie desestacionalizada). IBEX35

Tasa de desempleo 22 20 18 16 14 12 10 8 6 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 DESEMPLEO

Correlograma tasa de desempleo

Tasa de desempleo La serie no muestra crecimiento sistematico, pero tampoco parece tener una media constante. El lento decrecimiento del correlograma tambien deja entrever que se trata de una serie no estacionaria. En este caso, no se requiere la transformacion logaritmica de la serie puesto que la variable esta expresada en tasas.

IBEX35 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 94 96 98 00 02 04 06 08 10 IBEX35

IBEX35 Parece que la serie crece en el tiempo aunque sujeta a importantes cambios estructurales. No parece que tenga un comportamiento estacional. Puede resultar conveniente tomar logaritmos de la serie para interpretar sus primeras diferencias como rentabilidades bursatiles.

IBEX 35 en logaritmos 10.0 9.6 9.2 8.8 8.4 8.0 7.6 94 96 98 00 02 04 06 08 10 LIBEX35

Correlograma del logaritmo del IBEX 35

Test de raíces unitarias Un contraste más formal sobre la necesidad de tomar primeras diferencias de las series son los contrastes de raíces unitarias. De entre ellos, el más popular es el contraste Dickey- Fuller.

Supongamos una serie generada por un proceso AR(1) y t = c + φy t 1 + a t El test DK está diseñado para contrastar la siguiente hipótesis H 0 : φ = 1 La serie no es estacionaria H 1 : φ < 1 La serie es estacionaria Bajo la nula tenemos un paseo aleatorio con deriva que explica procesos con crecimiento sistemático.

- Incluimos una constante en el modelo ya que comparamos con la alternativa de estacionariedad para lo que la media debe ser constante y no necesariamente cero. - Es un contraste unilateral.

Por razones numéricas, el contraste se basa en la estimación MCO de la Siguiente ecuación y t = c + (φ 1)y t 1 + a t y t = c + φ y t 1 + a t

Las hipótesis son ahora H 0 : φ = 0 H 1 : φ < 0 El estadístico t se obtiene de la forma habitual. Sin embargo, su distribución asintótica bajo la hipótesis nula debe obtenerse numéricamente al no seguir una distribución standard.

Contraste DF El contraste debe ser completado incluyendo suficientes retardos. Elementos deterministas tales como tendencia, dummies estacionales, etc. Pero, los valores críticos de este contraste pueden ser alterados con la inclusión de elementos deterministas. En el caso de raices estacionales, el contraste DF puede detectar la presencia de no estacionariedad si se incluyen sufientes retardos. Existen tests especificos para contrastar la presencia de estacionalidad no estacionaria, pero no seran objeto de analisis en este curso. Debemos guiarnos por la informacion que proporciona la inspeccion de graficos y correlogramas asi como tests DF standard.

La selección del modelo se realiza utilizando algún criterio de información a) Suma de cuadrados residual corregida por los grados de libertad: T t T t t t c T a v T a k T T S 1 1 2 2 2 / 1 1 / donde: k /T. v v es un parámetro de penalización. b) AIC (Criterio de información de Akaike) T t t A T a v 1 2 / ) exp(2 c) SIC (Criterio de información de Scharz) T t t v S T a T 1 2 ) ( /

Test DF para el IPI en logaritmos

Test DF para los residuos de un modelo de tendencia determinista para el logaritmo del IPI

Tanto el análisis gráfico, como los correlogramas, como los contrastes de raíces unitarias sugieren que la serie no es estacionaria. La inspeccion del gráfico y el correlograma indican que existe estacionalidad de caracter no estacionario. El hecho de que los residuos del modelo con tendencia determinista no sean estacionarios es una clara indicacion de que el modelo que genera la serie no tiene tendencia determinista. En las otras dos series ocurre igual aunque no se mostraran los contrastes por un proposito de brevedad.

Serie log IPI en diferencias anuales.2.1.0 -.1 -.2 -.3 -.4 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 D12LIPI

Serie log IPI en diferencias anuales

Serie log IPI en diferencias anuales

Serie de desempleo (niveles)

Serie de desempleo (primeras diferencias)

Desempleo La serie de desempleo en niveles no es estacionaria. Tras tomar una diferencia, la serie es estacionaria si consideramos un nivel de significacion del 5% pero seguiria sin ser estacionaria si considerasemos un nivel de significacion del 1%. Que hacer???

En general en mucho mas arriesgado considerar como estacionaria una serie que no es estacionaria que considerar como no estacionaria una serie que es estacionaria.

Si una serie es estacionaria y la sobrediferenciamos Pequena perdida de eficiencia en la estimacion. La varianza de los errores de prediccion son mayores Si estimamos un modelo para una serie no estacionaria El modelo no es robusto y no puede adaptarse a valores futuros. El error de prediccion crece con el horizonte temporal y las varianzas estan subestimadas.

Por esto, en caso de duda preferimos sobrediferenciar. Sin embargo, en nuestro caso particular, no parece logico suponer que el crecimiento de la tasa de desempleo no es estable. El hecho de que exista un cambio estructural tan fuerte producto de la crisis economica afecta a la potencia del test.

Logaritmo del IBEX35

Logaritmo del IBEX35 (primeras diferencias)

IBEX35 El indice bursatil IBEX35 no es estacionario. Pero, la rentabilidad mensual del IBEX35 si es estacionaria de acuerdo al test DF.

3.2.2. Análisis de correlogramas El decrecimiento con estructura del correlograma sugiere que el DGP es un modelo AR(p) con un orden p suficientemente alto para capturar el comportamiento estacional de la serie. Sin embargo, incluso si la serie no mostrara este decrecimiento con estructura se podria aproximar mediante un modelo AR(p) con tal de que fuese estacionario (representacion dual) Se puede comenzar proponiendo un AR(p) general y luego ir eliminando recursivamente parametros no significativos. De forma similar, puede proceder de acuerdo a algun criterio de informacion.

Hemos convertido a la serie log de IPI en estacionaria tras una diferencia anual. Aun asi, existe un importante cambio estructural que representa la ultima crisis economica y que deberia ser tratado por medio de intervenciones. Esto es algo que no vamos a hacer dado que las implicaciones y el uso del analisis de intervencion se sale del objetivo del curso.

Una vez convertida la serie en estacionaria determinamos el orden autoregresivo haciendo uso del criterio de Schwarz. Numero de retardos Valor del criterio de Schwarz 1-3.056164 2-3.277687 3-3.429341 4-3.413678

De acuerdo a la tabla anterior el numero de retardos optimos es igual a 3. La estimacion del modelo se muestra a continuacion.

El termino constante no resulta significativo por lo que puede eliminarse de la regresion. No incluir termino constante en un modelo para las diferencias anuales del logaritmo del IPI implica asumir que la tasa de crecimiento media de esta serie es del 0%. Este resultado se debe al fuerte efecto de la crisis economica en nuestros datos por lo que el modelo estimado debe actualizarse periodicamente con la llegada de nueva informacion par a ver como sus diferentes caracteristicas van cambiando. En la practica, los analistas economicos utilizan modelos no lineales que permiten que la serie tenga una dinamica diferente en periodos de crisis y expansion. Estos modelos son algo mas complejos y no se cubriran en este curso

Desempleo e IBEX35 Actuando de forma similar para el desempleo nacional y el IBEX35

Para el IBEX35 ningun retardo temporal es significativo. Esto resulta logico dado que el arbitraje impide que se puede utilizar la informacion pasada de un activo financiero para predecir su rentabilidad. Existen modelizaciones econometricas particulares para series financieras que pueden estudiarse en otros cursos de la carrera.

3.3. Estimación Los modelos AR pueden estimarse por máxima verosimilitud asumiendo una distribución concreta para la serie de interés. Aunque las observaciones no son mutuamente independientes, la verosimilitud puede obtenerse.

Si consideramos que los valores iniciales son fijos entonces la máxima verosimilitud coincide con el estimador MCO. Esto es lo que hacen la mayoría de los softwares econométricos de series temporales: pcgive, E-views, RATS, CATS, etc. Si no suponemos que los datos iniciales son constantes, el problema de maximización es no lineal y requiere algoritmos de optimización para llegar al optimo. En general, MV condicional es un procedimiento simple y bastante adecuado si la información que proporcionan los valores iniciales no es excesivamente valiosa.

3.4. Validación del modelo 3.4.1. Contrastes sobre los parámetros del modelo. 3.4.2. Análisis de los residuos 3.4.3. Comparación con otros modelos alternativos. * En función de algún criterio de información. * En función de su desempeño en predicción.

.16.12.08.04.00 -.04 -.08 -.12 -.16 -.20 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 RESID

El correlograma de los residuos muestra estructura estacional. Se prueba con un modelo alternativo incluyendo un coeficiente AR(12)

A modo de ilustracion se pueden incluir intervenciones iterativamente para mejorar la especificacion.

IBEX35.2.1.0 -.1 -.2 -.3 94 96 98 00 02 04 06 08 10 DLIBEX35

Contrastes sobre los coeficientes: 1. Aplique contrastes t a cada uno de los parámetros (si el estadístico t es menor que cero no rechace la hipótesis nula y simplifique el modelo eliminando ese parámetro). 2. Mire las raíces del polinomio AR(p) si alguna está próxima a la unidad se podría fijar a 1. 3. Mire las raíces del polinomio AR(p) para ver si el sistema se puede simplificar.

1) Contrastes sobre las innovaciones estimadas: i) Si el modelo es correcto los residuos deberían ser ruido blanco. ii) Si las innovaciones no son ruido blanco, se debe modificar el modelo original en el sentido indicado por los resultados de los contrastes. iii) Contrastes de media cero en las innovaciones. Si el modelo no H 0 t( ˆ) : 0. ˆ / incluye una constante, la media de las innovaciones estimadas puede ser significativamente distinta de cero, indicando que es preciso modificar la especificación. media desviación T típica

Se rechaza H 0 si el estadístico t es mayor que 2 en valor absoluto. i) Contraste de ausencia de autocorrelación entre las innovaciones estimadas. H 0 : a ( k) 0. Si las innovaciones estimadas son ruido blanco, entonces sus autocorrelaciones no deben ser significativamente distintas de cero. Contraste Ljung-Box ( Q s 2 ) H Q s 2 0 : a (1), a (2),..., a ( s 2) 0. 2 s 2 Si se rechaza la hipótesis de ausencia de correlación tenemos 2 opciones: A) Escoger una de las dudas razonables que quedaron anotadas en la especificación inicial. B) Formular un modelo para los residuos e insertarlo en la especificación inicial.

1) Contrastes respecto a modelos alternativos: Incluso aunque el modelo inicial haya pasado todos los contrastes sobre los resultados de la estimación, este modelo puede ser insatisfactorio ya que se basa sólo en una alternativa de las potenciales especificaciones. Estime todos los modelos alternativos y escoja el que minimice algún criterio de información. Si no se tienen dudas sobre el modelo inicial pruebe diferentes alternativas, sustituya p por p+1, q por q+1. Valores estas alternativas con algún criterio de información.