Introducción a las Estructuras Capítulo nueve UNO: Pandeo 1. El pandeo en la construcción. General. En el año 1744 Leonhard Euler resuelve el problema del fenómeno de las barras esbeltas sometidas a cargas de compresión. Las ecuaciones del problema se conocen como Ecuaciones de Euler. La ingeniería en sus ondas de cientifismo y empirismo quedó prendida del genio matemático de Euler para resolver la cuestión de las columnas esbeltas. Es tanto el atractivo que generó esa teoría que la literatura científica de la construcción denomina pandeo también a fenómenos que están muy lejos de la teoría de Euler. Esta teoría se basa en la hipótesis de barra recta, material homogéneo y carga concentrada, todo de manera perfecta. Pero la realidad es otra; no existe una columna de ejes y lados con esas condiciones. El material de la construcción tampoco es homogéneo, cualquier alteración, sea un pequeño agujero o un corto cordón de soldadura hace al material imperfecto. Por último, lo más difícil, casi imposible de lograr, es centrar carga sobre la columna. Con lo anterior queremos explicar que si bien el fenómeno, desde la teoría se sigue llamando pandeo, desde la realidad es una flexo compresión. La historia de la ingeniería los destaca como uno de los fenómenos que mayor cantidad de fallas ha causada en la construcción. Antes del advenimiento de materiales tales como el hormigón armado y el acero, las columnas gozaban de buena estabilidad. Porque en general, sus secciones eran robustas por ser construidas con materiales como la piedra o mamposterías cerámicas (muros, bóvedas, arcos y otros). La esbeltez de estas piezas resultaba baja y la rotura solo llegaba con el agotamiento del material. Pero cuando aparece el hierro a fines del siglo XIX, las secciones de las piezas estructurales comienzan a elevar su esbeltez. Tal es así que los primeros grandes desastres y derrumbes en obras de ingeniería, se produjeron por los efectos de alguna de las distintas formas que puede presentar el pandeo o la flexo compresión. Se lo comienza a estudiar no solo desde la 1
teoría, sino también dentro de los laboratorios y en con datos obtenidos de la realidad de las obras. 2. Conceptos. Hasta ahora estuvimos acostumbrados a revisar la geometría de las piezas desde los datos de su sección transversal: S Sección transversal: superficie (cm 2 ). W Módulo resistente (cm 3 ). I Momento de inercia (cm 4 ). Ahora en el estudio de las columnas debemos incorporar los datos de su altura y condiciones de borde. s k longitud de pandeo. i radio de giro. e esbletez. λ grado de esbeltez. Lo hacemos explicando los conceptos desde el inicio para interpretar mejor el desarrollo. Longitud de pandeo. Es la distancia entre los puntos de inflexión de la deformada de la columna. Ellas poseen deferentes condiciones de apoyos en sus extremos. Por ejemplo, el puntal que soporta los encofrados, posee apoyos simples que el permiten un libre giro, la columna es articulada en ambos apoyos. Situación diferente se presenta con las columnas de hormigón armado, que forman parte de un edificio de varias plantas. Al existir continuidad tanto del hormigón como de las barras de hierro, la columna se encuentra empotrda en ambos extremos. En estos casos la longitud de pandeo se reduce. Otro ejemplo es la columna de un tinglado. Se encuentra empotrada en el suelo y libre en su extremo superior.. 2
Según lo anterior a las columnas podemos clasificarlas según las condiciones de borde, de la siguiente manera: 1) Articulada articulada (s k = l): Gira libremente en ambos extremos y su elástica o deformada tiene la forma indicada en el dibujo. Es una media sinusoide. La longitud de pandeo es igual a la altura total de la columna. 2) Empotrada empotrada (s k = 0,5 l): Los giros se encuentran impedidos en ambos extremos. La elástica se configura mostrando una longitud de pandeo en su parte media igual a la mitad de la longitud de la anterior. 3) Articulada empotrada (s k = 0,7 l): Se deforma libremente desde el extremo articulado. La longitud de pandeo es la dos terceras partes superiores. 4) Empotrada libre (s k = 2 l): La elástica adquiere una conformación de una longitud doble de su altura, como vemos la longitud de pandeo también será doble. Radio de giro: Hemos tomado la figura de la elástica del caso articulado articulado como unitario y la comparamos con todas las otras situaciones, obteniendo así las diferentes longitudes de pandeo. Es la raíz cuadrada del cociente entre la inercia de la sección y su superficie, el radio de giro es una distancia y lo analizamos en el capítulo de Estática de las Formas. I: momento de inercia de la sección (cm 4 ). F: superficie de la sección (cm 2 ). 3
Esbeltez. Es la relación entre la longitud de pandeo y su menor lado: d: lado menor de la columna. s k : longitud de pandeo. Grado de esbeltez: giro: Es la relación entre la longitud de pandeo del elemento y su radio de i: radio de giro. Relación entre esbeltez y grado de esbeltez. Supongamos una columna cuadrada cuyos lados sean de 15 centímetros y hacemos variar la altura. A los efectos comparativos mostramos los valores. En general se utiliza como referencia el grado de esbeltez, pero algunas antiguas normas siguen utilizando la esbeltez. Altura Esbeltez Grado esbeltez 200 13 46 250 17 58 300 20 69 350 23 81 400 27 92 Tanto la esbeltez como el grado de esbeltez son adimensionales; es el cociente entre dos longitudes (centímetros). 3. Tipos de roturas. Analizamos los sucesos de una columna en función de la carga y sus dimensiones. Acortamiento: Es característica de cualquier material deformarse ante la acción de cargas. Las columnas robustas sufren un acortamiento cuya magnitud es proporcional al valor de la carga aplicada en período elástico, en columnas muy esbeltas el acortamiento puede ser simultáneo con un brusco cambio de configuración. Según el tipo de material esta relación de carga y deformación puede pasar por un período elástico y luego plástico, es el caso del hierro. 4
Rotura del material: En columnas robustas, la rotura del material sobreviene de manera instantánea en los casos de materiales frágiles (paredes de ladrillos cerámicos) y con un suceso de alta deformación en materiales elasto plásticos. Rotura de la configuración geométrica: No se rompe el material, antes se quiebra la geometría inicial. La barra pasa de su configuración recta a la de una elástica de manera instantánea y sin aviso previo. Esta columna así deformada, si el material es elástico (hierro o madera) seguirá resistiendo parte de la carga, pero si es de material frágil (hormigón o cerámico) la rotura de geometría se acompaña con rotura del material. En el momento del suceso la viga posee dos tipos de deformaciones, una la original, la del acortamiento δ y la otra la del desplazamiento del eje teórico; la excentricidad e. El fenómeno pasa de compresión pura al de flexo compresión. 4. Otros tipos de pandeo. Vigas metálicas. También en las vigas se presenta el fenómeno de pandeo, especialmente en aquellas que soportan grandes cargas y son construidas con acero. Una viga constituida por un perfil normal PNI puede resultar afectada por alguna de las siguientes formas de pandeo: Pandeo en los extremos. En la figura anterior, en el extremo (1), si la carga que proviene de las columnas superiores es muy elevada, y el alma del perfil es muy esbelto, se produce una dobladura o también llamado abollamiento. Para evitar esta situación se colocan presillas o perfiles soldados en los extremos que le otorgan rigidez en esa región. 5
Pandeo en el alma. Debido a la formación natural de rutas de tensiones de compresión, el alma (2), tal como lo vimos en capítulos anteriores, se puede deformar ingresando en pandeo. Esta situación se presenta en el caso de vigas cuyas almas resultan muy delgadas. La deformación se manifiesta mediante un alabeo o abollamiento. El primer caso se presenta cuando las alas son muy delgadas, mientras que el segundo cuando la longitud de la viga y su altura son elevadas. Pandeo en el ala. Las alas del perfil (3) están sometidas a esfuerzos de compresión y pueden llegar a deformarse de dos maneras: a) Generando dobleces o alabeos ondulantes en el ala superior. b) Produciendo una especie de volcamiento total de la viga. Es el caso de pandeo lateral de todo el cordón superior. Vigas reticuladas. En estas vigas pueden presentarse las mismas situaciones que en las macizas, pero el fenómeno se sitúa en elementos localizados en las barras que componen el reticulado (diagonales, montantes y cordones). Pandeo los montantes extremos. El montante (1) puede pandear en forma individual, si las cargas superiores que apoyan sobre la viga son muy elevadas y la esbeltez del montante muy grande. 6
Pandeo en las diagonales. En aquellos reticulados cuyas diagonales (2) trabajan a la compresión, y resultan muy largas, sin los arriostramientos necesarios, también se puede producir pandeo. Pandeo del cordón superior. Al igual que las vigas macizas, se plantea el alabeo parcial o total del cordón. En estos casos es conveniente tratar de armar los elementos del reticulado, sometidos a compresión con piezas compuestas. La figura muestra los cordones, montantes y diagonales efectuados con dos perfiles ángulos soldados a una gruesa planchuela, conformando así el nudo. Para evitar el pandeo total del cordón superior, es conveniente arriostrarlo mediante triangulaciones con tensores que reducen las longitudes a pandear. En el caso de las cubiertas, las correas que apoyan sobre el cordón superior de las cabriadas conforman arriostramientos que evitan el pandeo de los cordones. Pandeo de cáscaras comprimidas. Si generalizamos y llamamos cáscaras a todos los elementos estructurales de superficie con diferentes curvaturas, tales como bóvedas cilíndricas, cúpulas de revolución, bóvedas de doble curvatura, bóvedas corrugadas y otras, podemos decir que el pandeo se puede presentar en ellas. En estas superficies sometidas a compresión, la inestabilidad se genera en función de las longitudes de los elementos y de su espesor (esbeltez de superficie). 7
En el pandeo se observa un cambio brusco de forma. Esto lo podemos apreciar mediante el ejemplo de la pelotita de ping pong; que si bien es una esfera, podemos asociarla a una cúpula de revolución. Si le aplicamos con el dedo una fuerza de compresión en paulatino aumento, observaremos que en un momento dado, en forma instantánea pasa a otra configuración de equilibrio para desde allí, continuar resistiendo. En algunas superficies cilíndricas verticales, especialmente las construcciones que se realizan de chapas delgadas para el acopio de cereales (silos), se observa luego de fuertes vientos que los cilindros se abollan. El viento ejerció presiones de compresión en una dirección y el cilindro ingresó en pandeo. 5. Carga crítica pandeo de Euler. General. Estudiaremos en los párrafos que siguen la carga crítica obtenida por la ecuación teórica de Euler. También por el método simplificado ω y por otro método indicado en algunos reglamentos. Carga crítica de Euler. En la época del 1770 cuando Euler descubre su admirable fórmula, era imposible la experimentación. Las herramientas para realizar los ensayos resultaban rudimentarias e imprecisas. Por otro lado, no se le dio importancia a su teoría de pandeo porque las piezas de las estructuras de la época resultaban muy grandes. Su teoría permanece en el olvido por más de un siglo. Cuando surgen los nuevos materiales de la construcción (acero y hormigón), se obtienen secciones de columnas más pequeñas y con probabilidades de pandeo, entonces el estudio realizado por Euler vuelve a tomar vigencia hasta nuestros días. El genio de Euler resuelve la ecuación de la elástica de una columna deformada: P: La carga crítica que produce el pandeo. y: el desplazamiento en zona central. Soluciona la ecuación diferencial y obtiene la carga crítica que provoca el pandeo: 8
E: módulo de elasticidad del material. I: momento de inercia de la sección. s k : longitud de pandeo. También la podemos expresar de otra manera, si a la expresión anterior la dividimos por la sección, obtenemos la tensión crítica. La esbeltez de la pieza: La tensión crítica será: Esta expresión corresponde al caso simple de una columna articulada en sus dos extremos. Si queremos estudiarla para otras condiciones de borde, sustituimos la longitud de pandeo por sus correspondientes valores. La carga que nos da la expresión de Euler es la necesaria para que la columna ingrese al pandeo. Es la carga límite. Según el tipo de material, a las cargas críticas, calculadas según la expresión anterior, se las deben reducir mediante un coeficiente de seguridad. μ: coeficiente de seguridad que oscila entre 2,5 y 3,0 que depende de muchos factores, en especial el tipo de material y las condiciones de borde. Visualización práctica: Calculamos la carga y tensión crítica de la columna de madera dura de la figura: Datos: Condiciones de borde: articulada en ambos extremos. Material de columna: madera dura. Módulo de elasticidad: E = 70.000 kg/cm 2 Tensión de rotura: σ rot = 225 kg/cm 2. Tensión admisible: σ adm = 85 kg/cm 2. 9
Longitud de pandeo: s k = h = 370 cm. Sección de columna: S = 10. 10 = 100 cm 2. Momento de inercia: I = 833 cm 4 Radio de giro: 2,89 cm Grado de esbeltez: λ = 128 Para columna robusta sin pandeo: Carga de rotura sin pandeo: Carga admisible sin pandeo: Para columna esbelta con pandeo: Carga crítica de pandeo: Los valores anteriores son los críticos, los límites antes del pandeo. Si adoptamos un coeficiente de seguridad igual a 2,65 obtendremos la carga admisible: En este caso la columna se encuentra a una tensión de trabajo: Un valor varias veces menor que la tensión de rotura sin pandeo. Si observamos los valores obtenidos vemos que la carga que soporta la columna se reduce 14 veces desde la robusta sin pandeo (22.500 kg) hasta la esbelta con carga admisible (1.600 kg). Fin de pandeo parte uno 10