Capítulo 19: Deformaciones.

Transcripción

1 19 Deformación. 1. Teoría de la elástica Introducción. Hasta ahora en pocas ocasiones nos hemos referido a las deformaciones de las piezas. Realizamos referencias a ellas cuando describimos el método empírico de "elásticas y rótulas" para establecer las solicitaciones que debe soportar una viga, pero no se han efectuado análisis teóricos del fenómeno. En este capítulo los analizamos y veremos que la teoría de la deformación nos entrega expresiones matemáticas de un notable atractivo que pueden ser utilizadas para el correcto dimensionado de una pieza en flexión Tensión, flector y forma. Comenzamos por estudiar la deformación de una viga en voladizo con una carga en el extremo (figura 19.1). El voladizo en su posición original sin cargas y con el supuesto de peso propio nulo, se mantiene horizontal sin giros ni desplazamientos. Figura Cuando se aplica la carga en el extremo, ese punto desciende una valor f que la denominamos flecha y también en ese lugar se produce un giro que se mide con el ángulo α, respecto de la horizontal. La sección de la viga en estudio es rectangular (figura 19.2). 385

2 Figura 19.2 Estas dos evidencias; el descenso y el giro en el extremo es el objeto del presente estudio. En el análisis de la flexión (en el caso del voladizo) vimos las ecuaciones del flector externo y del flector resistente interno nominal: Momento de flector externo: M e = Pl Momento de resistencia del flector interno nominal: M i = ςw En este último se relaciona la tensión con la distancia a la fibra neutra: ς = M i I a = M i W En el equilibrio estable imponemos que M i > M e (resistencia interna mayor que la solicitación externa). σ: tensión de trabajo del material (dan/cm 2 ). M i : cupla interna resistente (danm). M e : momento flector externo (danm). I: momento de inercia de la sección (cm 4 ). W: módulo resistente de la sección (cm 3 ). a: distancia entre el eje neutro y la fibra más alejada (cm). ρ: radio de curvatura (cm). Distinguimos las diferentes tipos de tensiones: σ rotura : tensión para la cual el material se rompe en tracción o compresión. σ trabajo : tensión real que está sometido el material para un determinado estado de cargas y en período elástico. σ admisible : tensión utilizada para el dimensionado, es la tensión de rotura afectada por un factor de reducción. En nuestro estudio utilizamos la tensión de trabajo en período elástico de proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones. La deformada del voladizo tiene particularidades geométricas que las revisamos en los párrafos que siguen Radio de giro. Imaginamos un sector de la viga de longitud diferencial dx, las fibras superiores se alargan y las de abajo se acortan (figura 19.3). El eje neutro es eje baricentro de la sección. El radio de giro "ρ" es la recta indicada en la imagen. Analizamos el triángulo ABC y el CDE, donde DE es el alargamiento δl. Por semejanza de triángulos: 386

3 Figura 19.3 Los triángulos equivalentes: el grande ABC y el pequeño CDE. ρ dx = a δl ρ = dx δl a δl dx = ε = ς E = M 1 W E = Ma EI = a ρ δl dx = a ρ M EI = 1 ρ Entonces, la curvatura (inversa del radio) resulta: 1 ρ = M EI El radio de curvatura: ρ = EI M Aumenta con la rigidez de la pieza EI y se reduce en la medida que se acrecienta el M (momento flector externo). Es conveniente imaginar una viga en proceso de flexión en las siguientes fases (figura 19.4): a) Sin carga: el radio "ρ" y la curvatura 0. Las rectas del radio de giro se cortan en el infinito. b) Con carga reducida: el "ρ" puede ser muy grande, tanto que la flecha es casi imperceptible. c) Con carga elevada: el "ρ" se reduce, la extensión de los lados de la sección se cortan a distancias medias. Lo anterior se grafica en los esquemas de vigas de apoyos simples de un solo tramo. Las deformaciones las estudiaremos desde el radio de curvatura porque es función de la forma de la sección (I), de la característica del material (E) y de los flectores de fuerzas externas (M e ). 387

4 Radio infinito. Radio medio. Radio pequeño. Figura Ángulo de giro. Volvemos al voladizo (figura 19.5), estudiamos la variación de la tangente en los extremos de dx, es tan pequeña que: La variación de la flecha en el extremo es función inversa del radio de curvatura. α = tg dα = dα = dx ρ = M EI dx dα = 1 EI Por lados perpendiculares: 0 l l M x dx = 1 0 EI tg dα = dx ρ = df x = dα l Pxdx = 1 Pl 2 0 EI 2 Figura

5 Resumen ángulo de giro: Si analizamos la expresión vemos que Pl 2 /2 es la superficie del diagrama flector (figura 19.6). Es triangular, el cateto menor Pl y el mayor l. De este análisis surge que el ángulo total girado en el extremo de la viga en voladizo es igual al diagrama de momento flector dividido por la rigidez EI. Este suceso no debemos confundirlo con el que se analizará en los puntos siguientes para la elástica. Figura Elástica. Para establecer el valor de la elástica en el extremo, hacemos uso otra vez de la tangente a la curva en el punto x (figura 19.5): tgdα = df x = cateto opuesto cateto adyacente Como el ángulo dα es muy pequeño podemos escribir: La flecha total: l f = df = xdα = 1 EI 0 0 l dα = df x df = xdα = M EI xdx l xmdx = 0 1 EI l Px 2 dx = 0 En la gráfica se muestra la superficie y la distancia (figura 19.7): 1 Pl 3 EI 3 Pl 2 /2: superficie del diagrama de momentos. (2/3)l: distancia del baricentro del diagrama al extremo de viga. Figura 19.7 f = 1 Pl 2 2 EI 2 3 l = 1 Pl 3 EI 3 389

6 Resumen elástica: El descenso en el extremo de la viga en voladizo (flecha) es igual al momento estático (momento de superficie) del diagrama de M f respecto del extremo dividido por la rigidez de la viga EI Tablas. En Tablas 15 Solicitaciones encontramos las fórmulas de los valores máximos de las elásticas de las vigas en función de las condiciones de borde. Por ejemplo la de una viga de simple apoyo con carga concentrada al medio (figura 19.8): Figura 19.8 También con la de una viga simple apoyo con carga uniforme repartida (figura 19.9): Figura En el Capítulo 25 de Ejemplos se desarrollan aplicaciones numéricas de las fórmulas anteriores. 2. Las fórmulas y el dimensionado Introducción. 390

7 En los párrafos que siguen, de manera resumida se realiza un inventario de las fórmulas que surgieron de las teorías antes desarrolladas. Las estudiamos desde los parámetros que siguen: 2.2. Desde las tensiones. Compresión o tracción: relación de fuerza y superficie. Las variables son dos: la carga y la sección, sin importar la forma; la incógnita es la tensión. En una columna robusta (sin pandeo): ς trabajo = P S = P b P: carga sobre columna. S: superficie transversal. b y h: lados de columna Alargamiento o acortamiento: Módulo "E" y deformación relativa "ε". Las deformaciones de la pieza son alargamientos o acortamientos sobre el eje axil (coincidente con la dirección de cargas) según el tipo de acción, hacemos uso de la Ley de Hooke. ς = Eε = E l l l = ςl E = P l S E Las expresiones indicadas son de verificación. Realizando pasajes de términos también sirven para el dimensionado teniendo como datos las tensiones admisibles de trabajo del material. Geometría longitudinal y transversal: Pandeo columnas esbeltas. En el Capítulo 21 "Pandeo" se estudia para las columnas el caso de dos equilibrios: uno el de rotura por agotamiento del material en compresión (columna robusta) y el otro el equilibrio geométrico; la rotura de su configuración geométrica original (columnas esbeltas), también llamado pandeo. Para evitar este último problema la tensión de trabajo de compresión en la columna no debe superar al valor: ς crit = i2 s k 2 π2 E De la observación de la fórmula anterior surge una singularidad; en la fórmula no aparece la carga "P" y tampoco la sección "S", solo están el radio de giro y la longitud de la columna, ambas elevadas al cuadrado, valores que nos entregan de manera matemática la geometría de la columna en longitudinal (s k ) y en transversal (i). El módulo de elasticidad "E" incorpora la característica mecánica del material. Resulta interesante observar la expresión; tiene términos nuevos referidos a la forma longitudinal y transversal de la columna y abandona los clásicos de las cargas y secciones. Flexión pura: Relación de M e y W, solicitación y forma transversal. Para la tensión de trabajo, además de los parámetros anteriores, en esta solicitación interesa la forma; eso nos entrega el módulo resistente "W". Desde la tensión una viga en flexión no debe superar a: 391

8 ς trabajo = M e W = M e b 2 Donde "b" y "h" son las dimensiones de las piezas, en el caso de sección rectangular. Lo anterior es la tensión de trabajo de la pieza. En vigas cortas que son las que poseen una distancia de apoyo igual o menor a cuatro metros, la variable que comanda el dimensionado es la expresión matemática de las tensiones indicadas arriba. En vigas de mayor longitud el dimensionado se lo realiza desde las ecuaciones de la elástica Desde las elásticas (deformadas). Introducción. En párrafos anteriores hemos estudiado la teoría y el origen de las expresiones matemáticas para la determinación de las elásticas. Tanto las tensiones como las elásticas de una viga están limitadas (las tensiones por el material y las elásticas por el confort). Hacemos una aproximación de las luces de cálculo y la velocidad de crecimiento de tensión y elástica. Vigas largas. Para vigas con longitudes superiores a los cuatro metros la variable de dimensionado es la elástica y después debe ser verificada con las fórmulas de tensiones. a) En el caso de una viga de apoyos simples de un tramo y carga uniforme repartida la flecha se la controla con: f = 5 ql EI 6 Expresión indicada en la tabla de figura Esta maniobra es de verificación; la flecha que debe resultar menor a las exigencias de servicio de la pieza en estudio. b) Para el dimensionado utilizamos como dato la flecha límite máxima según las disposiciones del reglamento, en este caso se dimensiona la pieza desde la elástica: I = ql 4 Ef mín Desde la inercia (bh 3 /12) podemos obtener el ancho y alto de la pieza. c) Por último controlar la tensión de trabajo con la ecuación que relaciona el "M e " con el "W", la tensión obtenida debe ser menor que la admisible. Resumen. En el gráfico que sigue mostramos la "aceleración" que tienen las tensiones y las elásticas en la medida que aumenta la longitud de la viga (figura 19.10). El aumento de la tensión varía en función de la potencia segunda de la longitud, mientras que la flecha o elástica lo hace desde la potencia cuarta. Esto se confirma desde las ecuaciones: 392

9 Para la tensión: segunda potencia de la longitud. ς = M W = ql2 8 b 2 6 = 1,5 ql2 8 Para la elástica: cuarta potencia de la longitud. 1 b 2 f = 5 ql EI = 5 ql 2 l 2 l2 = 1,25M 48 8 EI EI Figura Las curvas se cortan en la vertical de una longitud aproximada de los cuatro a cinco metros. Estos resultados responden a viga de apoyos simples, sección rectangular homogénea y cargas repartidas uniformes. Esta interpretación gráfica confirma la necesidad de la doble verificación (tensión de trabajo y elástica). 3. Variables de la elástica Entrada. Realizamos un análisis de las variables que participan en la formación de las deformadas o elásticas de las vigas Tiempo. Los movimientos pueden ser instantáneos o a largo plazo. Las elásticas que se producen en la viga en período elástico cuando se aplica la carga son instantáneas, simultáneas con la aplicación. Las deformaciones diferidas en el tiempo suceden durante varios años de carga, son las denominadas de fluencia lenta; que se dan de manera especial en el hormigón armado. 393

10 Los suelos, como todos los materiales también tienen períodos elásticos; son las partículas sólidas en contacto que se deforman frente a las cargas. Pero entre partículas hay también agua o aire, que con la presión que ejercen las fuerzas se retiran de manera lenta y con ello generan una deformación diferida en el tiempo. Los dos movimientos los podemos observar; el instantáneo cuando la rueda de un camión cargado transmite la carga, en su desplazamiento se observa un pequeño descenso del suelo bajo la cubierta. El otro movimiento, el diferido, en general se da en terraplenes o en viviendas pesadas; con los meses o los años el suelo se asienta de manera diferencial y las paredes muestran con fisuras el movimiento Cargas. La carga es variable de primera potencia y es directamente proporcional; se encuentra en el numerador. Es costumbre pensar que un elemento estructural sometido en su interior a tensiones menores o iguales que las admisibles, se encuentra en buenas condiciones de uso. Es un error. Porque el cuerpo o la pieza puede estar en equilibrio y con tensiones de trabajo reducidas, pero sus elásticas (descensos y giros) son tan elevados que lo hacen inutilizables. Vemos como ejemplo una viga de perfil laminado de 20 centímetros de altura (PNI 200) simplemente apoyada, con carga repartida y una longitud entre apoyos de 6,00 metros (figura 19.11). Figura Hacemos el ensayo con cargas en paulatino aumento; medimos la flecha máxima y calculamos la tensión de trabajo. Veamos: Situación Cargas kn/ml Tensiones MPa Flechas máximas Cm 1 3,00 63,0 1,10 2 7,00 140,0 2, ,00 250,0 4,50 Las cargas fueron aumentando hasta llegar al límite de proporcionalidad del acero ( 250 MPa), allí se detuvo el ensayo. En escala relativa dibujamos las magnitudes de cada uno de los descensos (figura 19.12). Existe mucha diferencia entre ellos. 394

11 Figura Las elásticas son proporcionales a las cargas. Esto lo vemos en la planilla del ensayo. La misma relación de máxima carga y mínima (12/3=4), es igual a la relación de máxima flecha y mínima (4,5/1,1=4). Cada una de las flechas marcadas en el dibujo anterior responde a situaciones que detallamos a continuación: Situación (1): la viga descendió 1,10 centímetros, que comparados con los 600 cm de su longitud, es una cantidad muy pequeña y difícil de apreciar a simple vista. En la tabla observamos que la tensión de trabajo del material solo llega a los 63,0 MPa, por debajo de la tensión admisible (140,0 MPa). Situación (2): la viga desciende 2,60 centímetros, ahora esa alteración es detectable en forma directa. Es perceptible y las tensiones de trabajo son las admisibles (140,0 MPa). La viga sigue estable, pero su flecha es el doble que la anterior (se duplicó la carga). Situación (3): la viga desciende 4,50 con una flecha cuatro veces superior a la inicial (la carga aumentó cuatro veces). Las deformaciones ya son inaceptables para el uso correcto de la viga. Las tensiones ya se encuentran en la entrada del período plástico. El sistema se mantiene estable. También es condición de borde el tipo y posición de carga; para comparar con las expresiones anteriores recordemos la flecha de una viga simple con carga concentrada al medio: 3.4. Longitud. viga carga concentrada: f = P 48 EI l 3 = 0,02 Pl3 EI La longitud de la viga "l" es la variable de mayor peso en la ecuación porque se encuentra a la cuarta potencia. Supongamos los sucesos cuando la longitud de la viga pasa de 6,00 metros a la de 8,00. La relación entre luces es de 1,33. Revisamos la expresión matemática de la elástica para la viga del ejemplo: f = 5 ql EI La carga aparece con potencia uno, mientras que la longitud con potencia cuarta: Para los seis metros: 6,0 4 = Para los ocho metros: 8,0 4 = Entonces la relación es de 3,2. Para una flecha de 3,00 centímetros para la primer viga, pasa a los 10 centímetros en la segunda. 395

12 3.5. Momento flector. El flector es función de la carga y de la longitud, se ubican en el numerador. La elástica es función directa del flector y cuadrática de la longitud. M = ql2 8 f = 5 ql EI = 5 Ml 2 48 EI En caso de flechas límites de la expresión anterior se puede colocar como incógnita al flector : M = 48 5 EI l 2 f 3.6. Tensiones de trabajo. Dibujamos el diagrama de tenso deformación del acero. Marcamos en él las diferentes tensiones alcanzadas en el interior de la viga en cada una de las fases anteriores. Imaginemos las grandes deformaciones que se producen en la viga si ingresamos en el período plástico, por ejemplo si la obligamos a trabajar con tensiones de fluencia (σ f ) (figura 19.13). Figura La expresión: f = 5 ql EI Dentro de esta fórmula se encuentran las expresiones del M f (ql 2 /8) y del W (bh 2 /6). Como σ = M/ W se concluye que la elástica es función directa de la tensión de trabajo de la pieza. La flecha es proporcional directa a la tensión. Una viga metálica cuya tensión máxima llega a 140 MPa tiene una flecha el doble de aquella que solo trabaja a tensión de 70 MPa. 396

13 3.7. Condiciones de borde (apoyos). El nudo es la realidad de la condición de borde, puede oscilar entre una articulación parcial hasta un empotramiento de alta rigidez. Es una de las principales variables en la intensidad y curvatura de la elástica (figura 19.14). Figura En el nudo participan tres piezas: las vigas, las losas y las columnas. En la combinación de la rigidez de todas generan el tipo de empotramiento. No existe un apoyo que tenga una condición de borde igual a otro, todos tienen algo de articulación y también algo de rigidez. Figura La elástica de una viga simple articulada tiene una elástica cinco veces mayor que otra, también ideal con empotramiento perfecto (figura 19.15). Con esta comparativa queremos mostrar que si las condiciones de borde de la viga varían en su rigidez las deformaciones difieren. Esto ya lo vimos en el estudio del flector y la elástica. La condición de borde de los apoyos está expresada en las fórmulas de la elástica mediante el factor "C" que expresa de manera numérica la rigidez del apoyo. elástica máxima: f = C ql4 EI En el caso de vigas con apoyos simples articulados C = 5/384, mientras que con apoyos empotrados C = 1/384. viga apoyo simple: f = 5 ql 4 ql4 = 0, EI EI viga apoyo empotrado: f = 1 ql 4 ql4 = 0, EI EI Estos resultados nos indican que la viga simple tendrá una deformada cinco veces superior al de una viga empotrada en sus dos extremos. Desde las condiciones de borde se pueden dar casos donde las columnas presentan diferentes deformaciones por pandeo, esto solo en materiales con elevados períodos elásticos. Las columnas son más sensibles a los cambios del tipo de apoyos. La longitud de pandeo depende de las características del apoyo. Podemos citar los casos extremos (figura 19.16): 397

14 Apoyos empotrados en ambos extremos. Apoyo empotrado y el otro libre. En el primer caso, con el mismo material y sección resiste cargas cuatro veces mayores que en el segundo. Figura Esto lo justificaremos al revisar el capítulo anterior de pandeo, veremos que la columna de la izquierda tiene una longitud de pandeo cuatro veces menor que la columna de derecha Dimensiones transversales. La variable de la forma transversal está contenida en el momento de inercia "I" que también se encuentra como denominador de la ecuación de elástica. Entonces a mayor rigidez "EI" de viga, menor será la flecha. Hacemos un análisis donde mantenemos la carga, la longitud y el ancho de viga constante y solo hacemos variar las dimensiones de la sección transversal. Lo vemos en la expresión para una viga en voladizo con carga concentrada en el extremo: f = 1 Pl 3 EI 3 = Pl3 3E b 3 La flecha máxima es función de la relación inversa que los cubos de sus alturas "h" y relación inversa directa de su ancho "b" Tipo de material (módulo de elasticidad "E"). Del estudio de las fórmulas de la elástica sabemos que la única variable de las características mecánicas del material es el módulo de elasticidad "E", los otros parámetros variables responden a la geometría de la viga y las cargas. Hacemos un análisis de los tres materiales clásicos de la construcción: madera, hormigón y acero. Desde el módulo de elasticidad el valor de la elástica máxima será función de su inversa. El valor E está como denominador en todas las fórmulas de la deformación en vigas. Madera dura homogénea: E kg/cm Mpa Hormigón: E kg/cm Mpa Hierro o acero: E kg/cm Mpa Tres vigas de iguales condiciones geométricas y de carga pero diferentes materiales tendremos de manera aproximada la relación: Viga de hierro: 1 Viga de hormigón armado: 10 Viga de madera:

15 La viga de hormigón tendrá un flecha 10 veces superior a la de hierro y la de madera 20 veces superior. En largas vigas especiales que soportan entrepisos muy sensibles a las vibraciones es conveniente diseñarlas del tipo reticulado metálico para reducir las elásticas instantáneas. 4. Restricciones a las deformaciones Restricción por reglamento. Las deformaciones, por cuestiones estéticas, por fisuras o por vibraciones son contempladas por los reglamentos. Si bien es difícil establecer valores estándar por las diferentes capacidades sensitivas de las personas, existen algunos parámetros que los describimos como sigue. En general se refiere a la capacidad que poseen algunos materiales de soportar deformaciones sin fracturas. El Cirsoc201 (hormigón armado) establece las flechas mínimas aceptadas para cada situación entre pieza soporte y piezas soportadas. Para acercar una idea, en el caso de una viga de 7,00 metros de distancia entre apoyos los valores máximos y mínimos indicados en las normas: l/180 = 700 / centímetros. l/480 = 700 / 480 1,5 centímetros. La deformación no está limitada por la pieza misma, sino por el tipo de elementos (estructural o no estructural) que soporta. En el caso del ejemplo anterior de la viga de 7,00 metros, es aceptable un descenso de 4 cm si no hay paredes, pero en el caso de sostener paredes de ladrillos cerámicos se debe reducir la flecha, de los contrario el descenso se transforma en fisuras de las paredes. El Reglamento Cirsco 201 establece las flechas mínimas: Tabla de flechas mínimas según el uso (tabla 9.5b Cirsoc 201). Tipo de elemento Flechas a considerar Flechas límites Cubiertas planas que no soportan elementos no estructurales que puedan sufrir daños por grandes flechas. Entrepisos que no soportan ni están unidos a elementos no estructurales que puedan sufrir daños por grandes flechas. Cubiertas o entrepisos que soportan o están unidos a elementos no estructurales que pueden sufrir daños por grandes flechas Cubiertas o entrepisos que soportan o están unidos a elementos no estructurales que pueden sufrir daños por grandes flechas Flecha instantánea debida a la sobrecarga L. Flecha instantánea debida a la sobrecarga L. Parte de la flecha total que ocurre después de la construcción de los elementos no estructurales. O sea, la suma de las flechas de largo y corto plazo. Ídem anterior. l / 180 l / 360 l / 480 l /

16 Las limitaciones indicadas en la tabla se refieren a las flechas instantáneas elásticas, en elementos de hormigón armado a flexión se deben verificar las flechas diferidas por fluencia lenta Restricción por asentamientos del suelo. Los esfuerzos que actúan en las diferentes capas del subsuelo, debido a las presiones de las zapatas, producen asentamientos que dependen de las propiedades del terreno, así también de la manera que se aplica la carga y del tiempo de acción. Los reglamentos fijan límites máximos admisibles para los hundimientos, los que no deben superarse porque producen esfuerzos internos en las estructuras que luego se muestran a través de las fisuras y grietas. Valores límites: Tipo de estructura Relación de asentamiento con largo pared Estructura de acero. 0,006 Estructura de hormigón. 0,004 Muros de carga de ladrillos. 0,002 Muros con revoques (cal, yeso, otros) 0,001 La tabla anterior es función de la resilencia del material, es decir de su capacidad de acumular energía (deformación) sin fisuras. El hierro posee una resilencia casi un millón de veces mayor que el del cerámico de ladrillos. De la tabla se desprende que en el caso de un edificio cuya estructura fuera de hierro, y de una longitud de 10 metros, se acepta un asentamiento diferencial de: l = 10 mts 100 cm 0,006 = 6 cm. mts Mientras que una pared de ladrillos comunes con revoques a la cal, de igual longitud admite solo: l = 10 mts 100 cm 0,001 = 1 cm. mts Como se aprecia los elementos más sensibles a las distorsiones son las mamposterías. La simple observación de construcciones existentes, revela claramente que la gran mayoría de daños ocurren en muros de mampostería, que se fisuran, frente a hundimientos diferenciales de pequeña magnitud Restricción por vibraciones y confort. Las vibraciones pueden ser por causas externas al edificio (viento, sismo, impactos) o internas producidas por movimiento rítmico de las sobrecargas; es el caso de salones de baile o de reuniones donde las personas pueden moverse con cierta libertad y a un ritmo determinado. Esas oscilaciones en muchos casos son transmitidas al resto del edificio y pueden afectar tanto a personas como a equipos de tecnología delicada. La tabla que sigue, de uso internacional, se establecen los rangos de los movimientos y los efectos que causan a los usuarios. En general la unidad es la aceleración del desplazamiento que pude tener dirección vertical u horizontal. 400

17 Verticales: En aceleraciones verticales en el rango (2) de 0,10 m/s 2 se puede dar el ejemplo de entrepisos que vibran con el paso de los usuarios, y en el rango (7) se ubican los arranques y frenadas de los ascensores en los edificios de altura. Horizontales: En el rango (5) ingresan las aceleraciones que nos hacen perder el equilibrio, se puede dar el ejemplo de un ómnibus en arranque o frenada y nosotros parados en el pasillo. Rango Aceleración Efecto. m/s 2 1 < 0,5 No se perciben movimientos. 2 0,05 0,10 Personas sensibles pueden percibir movimiento. Objetos colgados (lámparas) pueden moverse de modo suave. 3 0,10 0,25 La mayoría de las personas lo perciben. Puede afectar el trabajo de escritorio. Movimientos por largos períodos puede producir mareos. 4 0,25 0,40 Trabajos de escritorios difíciles o casi imposibles. Caminar es posible sin caídas. 5 0,40 0,50 Fuertes movimientos. Dificultad para caminar de manera natural. Personas quietas paradas pueden perder el equilibrio. 6 0,50 0,60 La mayoría de las personas no toleran el movimiento. No es posible caminar de manera natural. 7 0,60 0,70 Las personas no pueden caminar. 8 Más de 0,85 Objetos caen y las personas pueden lastimarse. Estos movimientos en edificios de hasta 20 o 30 pisos son reducidos ante el efecto de viento o sismos pequeños. Pero en las súper torres que se están construyendo en la actualidad que superan los 100 pisos de altura, los movimientos son imposibles de controlar (por el costo). En estos edificios muy altos, según la velocidad del viento se inhabilitan los pisos más altos para evitar riesgos de trabajo en las oficinas Restricción por estética. El ojo humano es muy sensible a la horizontal o a la vertical. Las vigas con longitudes superiores a los cinco metros un descenso de 1,5 a 2,0 centímetros en su parte media es detectada a visual directa, esto, traducido a la relación de longitud y rango resulta l/300. Figura Estas deformaciones son aceptables en el caso de estructuras escondidas, por ejemplo los cabios y correas de una cubierta que permanecen ocultas por cielorrasos. Pero pueden resultar desagradables en elementos a la vista (figura 19.17). 401

18 5. Deformación desde los suelos. Hemos visto las deformaciones de las piezas estructurales de un edificio, pero el suelo es un elemento más de toda la estructura. En el capítulo 9 "Suelos" analizamos las deformaciones que se producen en los suelos. Las principales anomalías de los edificios son causadas por asentamientos de la masa de suelo o también en el caso de arcillas muy activas por la expansión en presencia de agua. 6. Aplicaciones Deformación viga en voladizo. Viga en voladizo de madera dura: dimensionado a flexión y verificado por deformación (figura 19.18). Figura Datos: Viga: voladizo Carga: concentrada en el extremo Material: madera dura Tensión admisible: 100 kg/cm 2 Destino del edificio: vivienda. Longitud del voladizo: 2,50 metros Carga en el extremo: P = 200 kg. Módulo de elasticidad: E = kg/cm 2 Dimensionado: M f = Pl = 200 kg. 250 cm = kgcm Probamos con una ancho de viga: b = 7,5 cm El alto lo calculamos con: = 6M ςb = = 20 cm 100 7,5 Cálculo de la flecha: I = b3 12 = 5.000cm4 f = Pl = = 2, cm 3EI El extremo del voladizo desciende de manera instantánea 3,0 centímetros al aplicar la carga concentrada. Control: En el caso de un voladizo que afecta la estética de la construcción se establece como límite: f = l/300 = 240/300 = 0,83 cm. Es necesario redimensionar la pieza. 402

19 Redimensionado: De la ecuación de la elástica, la expresión que contiene los datos de la sección es la inercia. La despejamos de la ecuación de la elástica: I = Pl = 3Ef ,83 = cm3 I = b3 12 = ,5 = 30 cm Para que cumpla con la condición impuesta de elástica la viga debe tener un ancho de 7,5 cm y un alto 30 cm. Tensión de trabajo final. Esta exigencia reduce la tensión de trabajo de la viga: W = b2 6 = 7, ς = M W = = cm 3 = 44,5 dan cm 2 La viga trabaja a tensiones muy reducidas, menos de la mitad que las admisibles. Esta cuestión del diseño por deformación disminuye la eficiencia de las estructuras Deformación viga de un tramo y apoyos simples. Dimensionamos a la flexión la viga simple con apoyos articulados (figura 19.19). Luego verificamos el descenso que se produce en el extremo. Figura Datos: Viga: simple con apoyos articulados. Carga: uniforme repartida. Material: madera dura Tensión admisible: 100 kg/cm 2 Destino del edificio: vivienda. Longitud del voladizo: 5,00 metros Carga en el extremo: q = 200 dan/m. Módulo de elasticidad: E = dan/cm 2 Dimensionado: M f = ql 2 /8 = 200 kg. 5 2 / 8 cm = 625 danm Probamos con una ancho de viga: b = 10 cm El alto lo calculamos con: 403

20 = 6M ςb = cm Adoptamos: b = 10 cm y h = 20 cm. Revisamos la flecha que se produce con estas dimensiones. Cálculo de la flecha: I = b cm4 f = 5 ql EI = cm La parte media de la viga de manera instantánea con la carga desciende un valor de 3,5 centímetros. Si este valor supera los límites fijados por reglamentos o por cuestiones de estética y confort (elásticas) es necesario redimensionar. Control: En el caso de una simple que afecta la estética de la construcción se establece como límite: f = l/250 = 500/250 = 2,0 cm < 3,5 cm Redimensionar. Redimensionado: De la ecuación de la elástica, la expresión que contiene los datos de la sección es la inercia. La despejamos de la ecuación de la elástica: I = 5 ql Ef = = cm3 I = b3 12 = ,5 24 cm Adoptamos: 25 cm Sección final: b = 10 cm h = 25 cm Cumple con las condiciones de resistencia y deformación. Tensión de trabajo final. Esta exigencia reduce la tensión de trabajo de la viga: W = b2 6 ς = M W = = = cm 3 dan dan = 60 cm2 100 cm 2 Como hemos visto, en general las vigas no cumplen con las condiciones límites de elástica si son dimensionadas a la tensión en la primer fase. Es conveniente realizar el primer control con las ecuaciones de la elástica y luego verificar las tensiones de trabajo. En vigas y losas de hormigón armado se utiliza el factor m que divide la longitud entre apoyos y el resultado se denomina altura mínima de deformación. 404