Introducción a las Estructuras

Transcripción

1 Cap 7 solicitaciones. Introducción a las Estructuras Capítulo siete: Solicitaciones UNO 1. Revisión. La figura es el entrepiso que ya lo revisamos en capítulos anteriores. Ahora volvemos a él para analizar la viga primaria de madera maciza con los conocimientos hasta ahora adquiridos. Observamos la viga principal que sostiene las cargas puntuales de las vigas secundarias. Ese esquema responde a los primeros conceptos escritos en el Capítulo Uno de Introducción, la idea de soporte transformada en la realidad de una tirante (viga) de madera con sus cargas (reacción de las secundarias) y las condiciones de borde en los apoyos (simple sobre columnas). Las cargas logramos conocerlas desde las operaciones indicadas en el Capítulo Dos de Cargas, ya conocemos su intensidad y su ubicación. Con la ayuda del Capítulo Tres de Continuidad revisamos las condiciones en los extremos de la viga; son de simple apoyo, no hay empotramiento y las columnas solo reciben cargas de compresión (sin flexión). Con la configuración de forma viga, cargas y columnas buscamos en el Capítulo Cuatro de Estática la manera que podemos maniobrar desde las matemáticas las ecuaciones que nos entreguen valores de las reacciones (cargas sobre columnas) y también la forma que se puede describir la forma de la sección transversal de viga con el módulo resistente W y la inercia geométrica de la sección I. Hemos aplicado los principios de la Estática en las fuerzas y en la forma de la viga. 1

2 Mediante las ecuaciones fundamentales del equilibrio logramos conocer las cargas que transmiten cada una de las vigas secundarias y la reacción que recibe la columna desde la viga primaria, esto lo hemos estudiado en el Capítulo Cinco del Equilibrio. Hasta ahora merodeamos los acontecimientos de observación directa del conjunto, del sistema estructural; las cargas, las distancias, las formas, el equilibrio. En el Capítulo Seis de Resistencia de Materiales, nos metemos dentro de la masa de la viga y revisamos las condiciones del material, tanto en su resistencia como su capacidad de deformación. Todo lo estudiado hasta ahora necesitamos relacionarlo para tratar de llegar a fórmulas que nos permitan el dimensionado de la pieza. Entonces recurrimos a entidades abstractas que son las herramientas que conectan las fuerzas externas (acciones) con los esfuerzos internos (tensiones). esos instrumentos son el Momento Flector, el Esfuerzo de Corte y el Esfuerzo Normal. A ellos los encontramos en el Capítulo Siete de Solicitaciones. Solo nos falta interpretar las maneras que esas solicitaciones generan o crean esfuerzos internos en las piezas que actúan. El análisis se encuentra en el Capítulo Ocho Esfuerzos Internos. Ya tenemos todo. Solo nos falta revisar un fenómeno algo extraño en las estructuras el pandeo, que lo estudiamos en el Capítulo Nueva Pandeo, que es algo independiente a todo lo analizado hasta ahora. 2. La posición de las cargas. Una misma carga puede causar distintos efectos. Para entenderlo imaginamos otra vez al tablón de albañil, el operario trabaja sobre ese andamio que se apoya sobre dos caballetes. en una se posiciona en el medio que genera la elástica máxima y en la otra en un extremo, sin elástica. La carga que transmite el operario al tablón viga la representamos con el vector P, pero recordemos que también actúa el peso propio del tablón que por cuestiones de simplicidad por ahora no la tenemos en cuenta. Como ya lo sabíamos desde la intuición, una misma carga genera diferentes esfuerzos según la posición que ocupa. Este fenómeno natural se lo representa con las entidades de momento flector y corte, como veremos más adelante. Vemos la carga puntual sobre el tablón en dos posiciones diferentes y representamos de manera esquemática cómo se 2

3 distribuye esa acción tanto en el flector como en el corte. En el primer esquema la carpa P en el medio de la viga. El diagrama flector y el de corte son simétricos. El primero es máximo bajo la carga, en el medio, mientras que el de corte pasa de positivo a negativo bajo la carga P En el segundo esquema la carga P se ubica más a la izquierda, se modifican los diagramas y se corren hacia la recta de acción de la carga 3. Tipos de solicitaciones. Volvemos a revisar la relación de las cargas externas con los esfuerzos internos y veamos cómo se los representa. Al estudio lo separamos en dos partes: Tensiones puras o simples: Cargas que generan esfuerzos constantes y uniformes en toda la pieza. Tensiones combinadas o compuestas: Cargas que generan esfuerzos combinados; en la sección de la pieza aparecen más de un tipo de tensión Tensiones simples. Tracción simple. Tiende a separar las fibras y general alargamientos. Elementos: tensores, barras traccionadas, cables. Compresión pura. Tiende a acercar y comprimir las fibras. Se producen acortamientos Elementos: columnas, paredes, barras comprimidas en un reticulado. Flexión pura. Se presenta en situaciones especiales. El caso de una viga que solo recibe momentos en los extremos, sin cargas en el tramo. La otra situación es una viga con cargas iguales que se encuentran separadas a igual distancia y en forma simétrica; el sector medio posee flexión pura. 3

4 La flexión pura solo existe tracción en las fibras superiores y compresión en las inferiores. No existe el corte. Otra situación de flexión pura es el de la viga que sostiene dos cargas iguales con geometría simétrica. Entre P1 y P2 el momento flector es máximo y permanece constante, mientras el corte es nulo. Elementos: vigas de rigidez con empotramientos en sus extremos, sin cargas intermedias. Vigas con cargas simétricas en geometría e intensidad. Corte puro. Tensiones tangenciales que generan desplazamientos de una sección respecto de otra. El desplazamiento se produce por fisuras con inclinación promedio de 45º. Torsión pura. Tensiones tangenciales en el plano de la sección, actúan de manera concéntrica y produce giros transversales. Elementos: se presenta en casos muy particulares. Un ejemplo puede ser el de una viga aislada que soporta un voladizo. Elementos: se presenta en el caso de uniones abulonadas, el bulón o perno sufre corte puro. También en las secciones de vigas muy cercanas al apoyo de columna Tensiones combinadas. Pandeo: Para cargas reducidas el esfuerzo es uniforme de compresión, pero según la esbeltez de las columnas y la intensidad de la carga surge de manera brusca el pandeo con la rotura de la configuración 4

5 geométrica inicial. Puede seguir resistiendo la carga que provoca el pandeo, pero cualquier aumento surge mayor flexión. El fenómeno de pandeo desde la teoría se lo podría clasificar como un esfuerzo simple de compresión, pero de manera brusca pasa a la flexo compresión. Algunos autores consideran que es imposible centrar de manera precisa y exacta una carga sobre la columna; siempre existirá una excentricidad, entonces no es pandeo, es flexo compresión. Elementos: columnas y paredes muy esbeltas. Flexión plana: Es la común, se encuentra en la mayoría de las piezas. Coexisten la tracción, la compresión y el tangencial. En la figura la compresión arriba, la tracción abajo y el corte transversal en la sección. El corte máximo se produce en la zona cercana al apoyo. No es posible decir que es corte simple o puro porque existe algo de flexión en la región. Para comprender la relación entre la flexión y el corte es útil la herramienta conceptual de biela y tensor. La figura muestra la parte de una viga de hormigón armado cerca de la columna. Las fisuras del medio de viga son verticales y se generan por efecto de la tracción del flector, pero si nos acercamos a la columna, las fisuras se inclinan porque aumenta el corte. En la región de columna y viga el corte es máximo, la viga lo sostiene mediante una biela a compresión (figura izquierda) que se combina con el tensor (estribos y barras dobladas). Elementos: vigas comunes con cargas de diferentes tipos. Son los casos más generalizados. 5

6 Flexo compresión: Las fuerzas externas son de compresión y flexión de manera simultánea. Produce acortamientos y elásticas. Elementos: generalmente en las columnas de medianeras. La compresión con la carga superior y la reacción de la base. Si ésta es descentrada produce el giro del momento flector. Flexión tracción: Actúa la flexión conjuntamente con la tracción. Produce alargamientos y giros. Elementos: es rara de presentarse en la construcción. Se puede dar en el cordón inferior de una cabreada que está en tracción y alguno de sus nudos le transmite un giro de flexión. Torsión y flexión. Tensiones tangenciales en el plano de la sección, actúan de manera concéntrica y produce giros transversales. Elementos: se presenta en casos muy particulares. Un ejemplo puede ser el de una viga aislada que soporta un voladizo. 4. Solicitaciones principales General. Hemos definido varios tipos de solicitaciones de ocurrencia en las estructuras de los edificios, ahora estudiaremos solo tres, las más comunes. El valor numérico de estos efectos servirá luego para determinar las secciones de las piezas. Momento flector: considera a todas las solicitaciones de flexiones tanto puras como planas. Esfuerzo de corte: estudia todas las acciones que puedan generar tensiones tangenciales, tanto puras como mezcladas con flexión. Esfuerzo Normal: comprende a todas las solicitaciones que actúan sobre el eje longitudinal de la pieza, pueden ser de tracción o compresión. 6

7 4.2. Momento flector. Teoría y concepto. Para que la viga se encuentre en equilibrio, el flector producido por las cargas externas, debe resultar igual a la cupla interna que se produce dentro del material de la pieza en estudio. Esa cupla dependerá de la forma de la sección y del tipo de material. En el dibujo las cargas externas son del tipo repartida (kg/ml ó kn/ml) sobre una viga apoyada de manera simple. Para que la viga pueda ser utilizada, debe tener una elástica mínima y resistencia superior. En el esquema se dibuja la viga a la izquierda con su carga externa y a la derecha los sucesos en su interior. Se muestran dos materiales: hormigón armado o madera, ambos de forma rectangular. En ambos casos la cumpla interna (M i ) se conforma por las fuerzas C y T que representan a los volúmenes de tensiones superior e inferior. Si la viga la hacemos de hormigón, la cupla se formará con la resistencia del hormigón y del acero. El primero resiste a la compresión arriba y las barras a la tracción abajo. El momento flector, en general es variable a lo largo de la viga. Cada sección soporta una determinada intensidad del flector. Por ello debemos pensar en sus secciones y en el flector. De ahí que esa sección es la referencia; el flector se calcula con las fuerzas que actúan a su derecha o a su izquierda. La viga anterior posee cinco cargas externas; tres sobre la viga y dos reacciones en los apoyos. El momento flector en el punto nn (de izquierda), es la sumatoria de los momentos que producen las fuerzas externas: El momento flector en el punto nn (de derecha): En ambos casos tomamos con signo positivo los momentos que producen griso en el sentido de las agujas del reloj. En valor absoluto: 7

8 Visualización real con tres cargas concentradas. Calculamos los momentos que se generan en la viga bajo la acción de las tres cargas puntuales P 1 = kg = 10 kn P 2 = kg = 25 kn P 3 = 800 kg = 8 kn Si nos ubicamos en el apoyo A (allí el momento flector es nulo) y tomamos momentos de todas las fuerzas de la derecha obtenemos la reacción R B : Con la ecuación de sumatoria de fuerzas igual a cero: Conocidos los valores de las reacciones, ahora determinamos el momento en el punto nn, tomamos momentos a la izquierda: También podemos calcular los momentos bajo los puntos donde actúan las cargas: M 1 = kgm = 33,0 knm M 2 = kgm = 51,0 knm M 3 = kgm = 12,0 knm Con estos valores trazamos el diagrama de manera rápida, la variación del momento flector entre una fuerza y otra es lineal. Si imaginamos sobre la viga cargas de igual intensidad pero muy cercanas una de otras, fácilmente veremos que el diagrama anterior tendrá tantos quiebres como cargas actuantes y su 8

9 forma va adquiriendo la geometría de una parábola. Visualización real con cargas uniformes repartidas. Si actúan cargas uniformes repartidas la determinación de los momentos surgen de las siguientes ecuaciones: Por simetría de cargas y de formas: R A = R B = ql/2 El M f en nn en un punto cualquiera a distancia x del apoyo izquierdo. ( ) ( ) ( ) ( ) En el caso de buscar el Mf máximo que se da en la mitad de la viga: x = l/2 ( ) ( ) Esta expresión es una de las más utilizadas para el cálculo de las solicitaciones; en general las losas y las vigas de los edificios poseen cargas uniformes. Para dibujar la parábola del M f se procede como sigue: trazamos una vertical en el centro de la viga y sobre ella marcamos en escala la distancia: Luego dividimos en partes iguales las rectas AE y BE uniendo los puntos tal como muestra la figura. La parábola quedará conformada por la curva tangente a todas las rectas trazadas Esfuerzo de corte. Teoría y concepto. El esfuerzo de corte que actúa en un punto determinado de una viga, es igual a la sumatoria de las fuerzas verticales existentes a la izquierda del punto considerado o a la sumatoria de las fuerzas de las derechas cambiadas de signo. Aplicando esta definición a la viga indicada en el ejemplo anterior, podremos escribir las siguientes expresiones, tomando fuerzas a la izquierda de nn : El esfuerzo de corte a la derecha de nn : Los signos para el trazado de los diagramas de esfuerzo de corte se establecen: 9

10 Área positiva: cuando las fuerzas producen giros según las agujas del reloj. Área negativa: cuando giran en sentido contrario. Ejemplo: Resolvemos los valores de corte del ejercicio anterior, donde actúan tres cargas concentradas. En el punto nn, tomando las fuerzas de izquierda: En la posición de la carga P2 el corte pasa de positivo a negativo; es decir pasa por un valor nulo. Vemos que en esa sección se produce el máximo flector. El diagrama de corte se resuelve considerando las fuerzas con dirección de abajo hacia arriba como positivas, las de dirección contraria, negativas. Si lo construimos comenzando desde la izquierda, dibujamos en escala el valor de R A, por su extremo trazamos una paralela al eje de referencia, hasta encontrar la recta de acción de P 1, allí bajamos en escala con el valor de esa fuerza. Seguimos con el procedimiento y obtenemos los escalones que nos dibujan el diagrama. Vemos por partes: A la derecha de R A : A la derecha de P 1 : A la derecha de P 2 : A la derecha de P 3 : En el extremo del apoyo B : Cargas uniformes. En el caso de cargas uniformes repartidas, no existen escalones, el diagrama es representado por una línea recta continua e inclinada, desde el extremo de R A al extremo de R B. 10

11 En un punto nn a distancia x del apoyo A, el valor de Q nn será: 4.4. Esfuerzo normal. General. En un punto cualquiera de la viga será la sumatoria de las fuerzas horizontales de izquierda o derecha cambiadas de signos. El esfuerzo normal es la fuerza que actúa en el eje longitudinal de la viga. Genera esfuerzos de compresión o tracción según la dirección de la fuerza y la posición del apoyo fijo. La viga soporta cargas inclinadas, sus componente verticales y horizontales serán P x y las verticales las P y. Antes se deben determinar las condiciones de los apoyos (fijos o móviles). En la figura el apoyo izquierdo es el fijo y el derecho el móvil. Los apoyos fijos pueden soportar cargas horizontales porque tienen restringido los movimientos en esa dirección. Los apoyos móviles solo resisten cargas verticales. Las expresiones teóricas de los normales de la viga: A la izquierda del punto nn a distancia de 4,00 metros del apoyo A : Las fuerzas horizontales con dirección hacia la derecha poseen signos positivos, para la izquierda negativos. En el ejemplo la viga está sometida a dos cargas inclinadas. Analizamos los tres esfuerzos: el flector, el corte y el normal. 11

12 Ejemplo. Datos y condiciones de borde. Para operar solo en dos ejes normales, a las cargas inclinadas las descomponemos en las direcciones xx e yy. El apoyo izquierdo es fijo y el derecho móvil. Las cargas verticales (xx) generan flector y corte, mientras que las horizontales (yy) solo normales. Datos de las cargas: P 1 = kg = 10 kn α = 15º β = 45º P 2 = kg = 20 kn Por ley de momentos: R Ay = 644 kg = 6,44 kn Descomposición de fuerzas. R B = kg = 10,29 kn Momentos flectores. Esfuerzos de corte. Esfuerzos de normales. En el apoyo fijo la reacción horizontal tiene dirección hacia la derecha. El normal desde el apoyo A hasta P1 es igual al valor de la componente horizontal de la reacción. El normal en el tramo de P 1 a P 2 : El normal en el tramo de P 2 a R B : 12

13 4.5. Relación entre el flector (M f ) y el corte Q. Análisis conceptual. Observando los diagramas de M f y Q veremos la relación que existe entre ellos. Cuando el flector aumenta, el corte disminuye. Para valores máximos de uno le corresponde valores nulos del otro. Esta correlación entre ellos nos permite determinar la magnitud y los puntos donde son máximos. La viga que sigue se encuentra sometida a cargas concetradas y también con repartidas uniformes. Para determinar el máximo M f es necesario antes calcular el punto donde se anula el Q. Ese punto se encuentra a una distancia x del apoyo A. Se calcula como sigue: Con la aplicación de Ley de Momentos se determinan las reacciones: R A = kg = 31,33 kn R B = kg = 34,67 kn Vamos a buscar el tramo donde cambia el signo de Q, si cambia el signo significa que pasa por un valor nulo (Q = 0). El valor del cortante disminuye desde R A hasta la posición de P 1 : A este valor que fue disminuyendo en forma lineal, ahora hay que restarle la carga P 1 : En este tramo cambió el signo de Q. Ahora determinamos la distancia x 1 donde se produce el cambio de signo. La distancia total desde el apoyo A: A esa distancia del apoyo A se produce el corte nulo y el máximo flector. 13

14 Análisis teórico. La relación entre el flector y el corte es un fenómeno donde la matemática, desde el análisis diferencial, provoca una rápida y notable explicación. Analizamos un trozo muy pequeño de la viga, separado por dos secciones adyacentes en una distancia dx (una distancia tan pequeña como se quiera). Las secciones que separan esa distancia se indican con nn y mm. A la izquierda de la sección nn actúa un corte Q nn y el flector M nn. En la otra sección los valores del primero se reducen y del segundo aumentan: El corte será: Q mm = (Q nn dq) y el M mm = (M nn + dm) La carga total que actúa en el elemento dx, es q.dx. Del equilibrio del elemento se deduce que la fuerza cortante en la sección mm difiere de la nn en la cantidad: Encontramos así que la derivada del corte respecto de x es igual a la intensidad de la carga unitaria repartida. Si ahora tomamos momentos de todas las fuerzas que actúan sobre el elemento diferencial, obtenemos: ( ) El segundo término es una cantidad muy pequeña que la podemos despreciar. Entonces queda: Entonces, el esfuerzo de corte Q es la derivada del momento flector respecto de x. Dicho de otra manera, el corte es igual a la variación del flector respecto de x. 14

15 También se conceptualiza la relación entre el corte y el flector aplicando la definición matemática de derivada : La derivada de una curva es la tangente trigonométrica de la tangente geométrica, en el punto dado. Definición que a primera lectura parece complicada, pero que no lo es si la analizamos desde el gráfico. En el caso particular de una viga de simple apoyo, con cargas uniformes, el diagrama del M f es una parábola. Si trazamos una tangente (geométrica) en el arranque de la parábola (en el apoyo de la viga), la inclinación está dada por la tangente del ángulo (tangente trigonométrica). La inclinación en ese punto es máxima (flector nulo y corte máximo). Si ahora observamos la inclinación en el centro de la viga, veremos que la tangente es nula (flector máximo y corte nulo). El diagrama del corte nos indica punto a punto ls valores de la inclinación de las tangentes a la curva del flector (Q=dM/dx). Los valores del diagrama de cargas repartidas son todos constantes porque la inclinación del diagrama de corte también lo es (q = dq/dx) 5. Las solicitaciones, las formas y los materiales. Los diagramas de las solicitaciones, especialmente el del momento flector y el del esfuerzo de corte, se trazan para observar los efectos de las cargas sobre las vigas o de las piezas estructurales. En función de ellos las piezas toman su forma. Para comprender mejor este concepto, daremos algunos ejemplos. Los camiones y acoplados poseen elásticos en sus ejes para soportar las cargas dinámicas. Esos elásticos no son más que vigas de simple apoyo con su carga concretada en el medio, que se materializa en el apoyo del eje. La viga sostiene una carga concretada en su parte media y el diagrama de Mf lo muestra la figura. Su forma es triangular y el paquete de elásticos también posee una forma similar aproximada. En este caso la viga, mediante hojas de acero conforma una figura similar al diagrama de momentos. Algo parecido sucede con una ménsula reticulada que sostiene una carga en su extremo. El diagrama del flector es triangular. La ménsula (viga empotrada en un extremo) también tiene esa forma. En estos casos se pue- 15

16 den combinar los materiales. Colocando, por ejemplo, tirantes de madera que trabaje a la compresión (cordón inferior) y barras delgadas de acero (cordón inferior) que soportarán tracción En el caso de vigas de hormigón armado, que a simple vista parecen homogéneas, en su interior posee todo un diseño en barras de acero que acompañan los esfuerzos de flexión y de corte. En la zona inferior y central las barras soportan la flexión, mientras que en las zonas cercanas a los apoyos, ésas mismas barras las podemos levantar a 45º para que absorban los esfuerzos de corte. 16