c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Problemas de Electromagnetismo. Tercero de Física. Boletín 1. 17.- Dos pequeñas esferas conductoras iguales, cada una de masa m, están suspendidas de los extremos de dos hilos aislantes de longitud l unidos en un punto. Se depositan cargas positivas sobre las esferas de forma que aquéllas se separan una distancia d. Una carga q 1 se coloca sobre la esfera 1. ¾Cuál es la carga q 2 en la esfera 2? 18.- Dos protones con carga q están situados a una distancia 2h. Un tercer protón se encuentra a una distancia l de la línea que une a los dos primeros protones de forma que los tres protones forman un triángulo isósceles (véase la gura). ¾Para qué valor de l es máxima la fuerza de repulsión que actúa sobre el tercer protón? ¾Cuál es el valor de dicha fuerza máxima? Calcule numéricamente los resultados suponiendo que h = 1 Å (q p = 1,6 10 19 C). 19.- Una carga puntual q (q>0) de masa m se sitúa en el origen de coordenadas con velocidad inicial v = v 0 u x en una región de campo eléctrico uniforme E = E 0 u z. Una pantalla está colocada en el plano x = L (véase la gura). ¾A qué distancia del eje x golpea la carga a la pantalla? Desprecie la gravedad. 20.- Un péndulo está hecho con un hilo sin peso de longitud l. En el extremo del hilo hay una pequeña esfera con carga q (q > 0) y masa m. A ambos lados de la esfera cargada del péndulo se colocan otras dos esferas cargadas con carga Q (Q > 0), tal y como se muestra en la gura. Estas dos esferas cargadas están jas y se encuentran a una distancia D de la esfera del péndulo cuando el péndulo está en reposo (posición vertical). El tamaño de las tres esferas cargadas es lo sucientemente pequeño como para que las tres esferas puedan ser consideradas cargas y masas puntuales. a) Suponiendo que el desplazamiento de la esfera del péndulo ξ a partir de la posición de equilibrio es muy pequeño (ξ <<< D), demuestre que la segunda ley de Newton para el movimiento de dicha esfera puede escribirse aproximadamente como: ¾Cuánto vale ω 0? d 2 ξ dt 2 + ω2 0ξ = 0 b) En t = 0 el péndulo se suelta a partir del reposo siendo ξ(t = 0) = ξ 0. ¾Cuál es el movimiento que adquiere el péndulo? Obtenga en ese caso ξ = ξ(t). c) ¾Qué le ocurre al movimiento del péndulo cuando q > 0 y Q < 0. 21.- Dado el campo vectorial escrito en coordenadas esféricas: E = ar p cos θu r + r p senθu θ a) ¾Para qué valores de a y p puede ser un campo electrostático? b) ¾Cuál sería la densidad volumétrica de carga que produciría el campo? ¾Y la carga total encerrada en una esfera de radio R?
c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 c) ¾En qué casos la densidad volumétrica de carga es nula? ¾Cuál es la expresión del campo eléctrico en esos casos? ¾Donde están las fuentes del campo eléctrico en esos casos? 22.- Un segmento de longitud 2d cargado uniformemente con densidad lineal λ 0 ocupa el intervalo d z d del eje z. a) Determine la expresión para el potencial y el campo eléctrico creados por el segmento cargado en todos los puntos del espacio. Exprese el resultado en coordenadas cilíndricas. b) Obtenga el valor del campo eléctrico en el límite d. Para este caso, determine también el campo eléctrico mediante el teorema de Gauss. 23.- El plano z = 0 está cargado uniformemente con densidad supercial σ 0. a) Determine el campo eléctrico creado en el eje z mediante integración directa y utilice el resultado obtenido para calcular el campo eléctrico en todos los puntos del espacio aplicando argumentos de simetría. b) Determine el campo eléctrico creado en todos los puntos del espacio mediante el teorema de Gauss. c) Utilizando el resultado obtenido en los apartados a) y b), determine el campo eléctrico creado por dos planos paralelos cargados situados a una distancia a, uno cargado con densidad supercial σ 0 y el otro cargado con densidad supercial σ 0. Calcule la diferencia de potencial entre los dos planos cargados. 24.- Una corona circular plana de radio interior a y radio exterior b se carga uniformemente con una densidad supercial σ 0. a) Mediante integración directa, determine el potencial en todos los puntos del eje de revolución. b) Calcule el campo eléctrico en los mismos puntos mediante integración directa y a partir del potencial. c) Calcule el límite del resultado obtenido en el apartado b) cuando a 0 para obtener el campo eléctrico creado por un disco circular cargado en su eje de revolución. Justique la discontinuidad que experimenta el campo eléctrico en la supercie del disco cargado. 25.- Una anilla circular de radio a se carga uniformemente con una densidad lineal λ 0. Si la anilla está contenida en el plano z = 0 y está centrada en el origen de coordenadas: a) Calcule el potencial y el campo eléctrico creados por la anilla en el eje z (eje de revolución de la anilla).
c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 b) Considere ahora un cilindro hueco cargado en supercie con densidad supercial σ 0. El cilindro tiene longitud 2l, radio a y su eje de revolución coincide con el eje z. A partir del resultado obtenido en el apartado a), calcule el potencial y el campo eléctrico creados por el cilindro cargado en su eje de revolución (consejo: divida el cilindro cargado en anillas de anchura innitesimal dz y densidad lineal de carga innitesimal dλ = σ 0 dz, y aplique el principio de superposición). 26.- Considere medio cilindro hueco de longitud innita y radio a, cargado uniformemente en supercie con densidad supercial σ 0. Si el eje del cilindro coincide con el eje z: a) Calcule el campo eléctrico en el eje del cilindro. b) Utilizando los resultados del apartado a), encuentre el campo eléctrico creado en su eje por medio cilindro macizo de longitud innita y radio a, cargado uniformemente en volumen con densidad volumétrica ρ 0 (consejo: divida el cilindro macizo cargado en cilindros huecos de espesor innitesimal dρ y densidad supercial de carga innitesimal dσ = ρ 0 dρ, y aplique el principio de superposición). 27.- Considere media esfera hueca de radio a cargada uniformemente en supercie con densidad supercial σ 0. a) Calcule el potencial y el campo eléctrico en el centro de la media esfera (origen de coordenadas en la gura). b) Utilizando los resultados del apartado a), encuentre el potencial y campo eléctrico creados en su centro por media esfera maciza de radio a, cargada uniformemente en volumen con densidad volumétrica ρ 0. 28.- Las supercies de dos cilindros coaxiales (mismo eje) de longitud innita y radios a y b (a < b) se cargan uniformemente con densidades superciales σ 0 y σ 0 (a/b) respectivamente. Si se elige un sistema de coordenadas cuyo eje z coincide con el eje común de los cilindros coaxiales y se toma como origen de potencial φ(ρ = b) = 0 (ρ es la coordenada cilíndrica radial), determine el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio (utilice el teorema de Gauss para el cálculo del campo eléctrico). Justique las discontinuidades del campo eléctrico en las supercies de los cilindros. 29.- Calcule el campo eléctrico y el potencial creados por dos esferas concéntricas de radios a y b (a < b) cargadas uniformemente con densidades superciales σ 0 y σ 0 (a/b) 2 respectivamente. 30.- Una esfera de radio a se carga uniformemente en volumen con una carga total Q. a) Calcule el potencial electrostático en los puntos interiores y exteriores de la esfera resolviendo las ecuaciones de Poisson y Laplace respectivamente. Utilice coordenadas esféricas con origen en el centro de la esfera. b) Determine el campo eléctrico utilizando el teorema de Gauss. A partir del resultado obtenido, calcule el potencial y compruebe que coincide con el obtenido en el apartado anterior.
c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 31.- Un átomo de hidrógeno en el estado fundamental puede describirse mediante una carga puntual q > 0 situada en el origen de coordenadas rodeada de una nube electrónica con densidad volumétrica de carga de la forma ρ(r) = ke 2r/a 0 (r es la coordenada esférica radial) donde a 0 es el llamado radio de Bohr. a) ¾Cuánto vale k? b) Determine el campo eléctrico creado por el átomo en cualquier punto del espacio. 32.- El volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios a y b (a < b) se carga con una densidad volumétrica ρ = ρ 0 (a/r) 2 (r es la coordenada esférica radial de un sistema de coordenadas esféricas con origen en el centro de las dos esferas). a) Determine el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio. b) Verique la ecuación de Poisson en todos los puntos del espacio. 33.- La región comprendida entre dos cilindros coaxiales (mismo eje) de longitud innita y radios a y b (a < b) se carga uniformemente con densidad volumétrica ρ 0. Se elige un sistema de coordenadas cuyo eje z coincide con el eje común de los cilindros coaxiales. a) Si se toma como origen de potencial φ(ρ = b) = 0 (ρ es la coordenada cilíndrica radial), determine el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio. b) ¾Existe alguna conguración de carga que, dando el mismo campo en el exterior, nos de un campo nulo para ρ < b?. c) Verique la ecuación de Poisson en todos los puntos del espacio. 34.- Una esfera de radio R está uniformemente cargada en volumen con una densidad volumétrica ρ 0. La esfera contiene una cavidad esférica desprovista de carga de radio R 1. Los centros de la esfera y de la cavidad están separados una distancia a, siendo a + R 1 < R. Encuentre el campo eléctrico dentro de la cavidad esférica. 35.- Un segmento de longitud l está cargado uniformemente con una densidad lineal λ 0. El segmento es paralelo a un plano cargado innito cargado uniformemente con densidad supercial σ 0. Calcule el trabajo que hay que realizar para girar el segmento cargado hasta conseguir que sea perpendicular al plano cargado. 36.- Considere una esfera de radio a cargada uniformemente en volumen con una carga total Q. Calcule la fuerza que ejerce la mitad inferior de la esfera sobre la mitad superior. 37.- Una carga puntual q está situada en el origen de coordenadas, y un dipolo de momento dipolar p está situado en un punto de vector de posición r. Calcule la fuerza que ejerce la carga sobre el dipolo y la fuerza que ejerce el dipolo sobre la carga. ¾Se cumple la tercera ley de Newton? 38.- Considere tres dipolos de momentos dipolares p 1, p 2 y p 3 situados y orientados como se indica en la gura. El módulo del momento dipolar de los tres dipolos vale p. Calcule la energía del dipolo de momento dipolar p 3 y el par de fuerzas que actúa sobre este dipolo. Si el dipolo de momento dipolar p 3 puede girar libremente alrededor de su centro, calcule el valor del ángulo α en el equilibrio en función de las distancias d 1 y d 2.
c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 39.- Encuentre el término dominante del desarrollo multipolar del potencial creado por los conjuntos de cargas puntuales que se indican: a) Dos cargas puntuales +q y una carga puntual 2q situadas sobre una recta. Las cargas +q están situadas a los lados de la carga puntual 2q, a una distancia a (vea la gura). b) Dos cargas puntuales +q y dos cargas puntuales q situadas en los vértices de un rectángulo de dimensiones a b. Cada pareja de cargas del mismo signo ocupa los extremos de una diagonal del rectángulo (vea la gura). 40.- Un segmento cargado de longitud 2l ocupa el intervalo l z l del eje z. El segmento posee una densidad lineal de carga λ(z). Encuentre el término dominante del desarrollo multipolar del potencial creado por el segmento cargado cuando: a) λ(z) = λ 0 cos(πz/2l) b) λ(z) = λ 0 sen(πz/l) c) λ(z) = λ 0 cos(πz/l) siendo λ 0 una constante. 41.- Considere dos anillas circulares concéntricas y coplanares de radios a y b. La anilla de radio a está cargada uniformemente y su carga vale +Q, y la anilla de radio b está cargada uniformemente con carga Q. Encuentre el término dominante del desarrollo multipolar del potencial creado por las dos anillas. 42.- Considere una esfera de radio a centrada en el origen de coordenadas. La esfera está cargada en supercie con densidad supercial σ = σ 0 cos θ. Calcule el término dominante del desarrollo multipolar del potencial creado por la esfera cargada. 43.- Cuatro protones se encuentran en los vértices de un cuadrado de lado l = 2 Å. Un quinto protón se encuentra sobre la recta perpendicular al cuadrado que pasa por su centro, y a una distancia de éste d = 3 Å(vea la gura). a) Calcule la velocidad que es necesario comunicar al quinto protón en el sentido del centro del cuadrado para que alcance dicho centro con velocidad nula. b) Calcule la aceleración que tiene este quinto protón en su posición inicial y cuando se encuentra en el centro del cuadrado. Datos: m p = 1,67 10 27 Kg, q p = 1,6 10 19 C, ɛ 0 = 8,85 10 12 F/m, 1Å=10 10 m. 44.- En los vértices de un triángulo equilátero de lado a se han colocado tres cargas puntuales positivas +q. a) Si las cargas se dejan en libertad sucesivamente. ¾Cuál es la energía cinética nal de la primera carga que se libera? ¾Y la de la segunda carga? ¾Y la de la última carga? b) ¾Cuál es la energía cinética nal de las tres cargas si se dejan en libertad simultáneamente?
c Rafael R. Boix y Francisco Medina 6 45.- Considere una esfera de radio a cargada uniformemente en supercie con densidad supercial σ 0. Calcule la energía propia de la esfera cargada: a) A partir de la densidad de carga y del potencial b) A partir del campo eléctrico creado. c) Suponiendo que el electrón se pudiera modelar como una esfera cargada en supercie y suponiendo que su energía en reposo E = m e c 2 fuera de origen electrostático, calcule el radio del electrón. Datos: m e = 9,11 10 31 Kg, q e = 1,6 10 19 C. 46.- Repita los tres apartados del problema anterior para una esfera de radio a cargada uniformemente en volumen con densidad volumétrica ρ 0.
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