MODELO DE FLUJO TRIDIMENSIONAL R t S z K z y K y x K x s Z Y X = + + El movimiento tridimensional de agua subterránea de densidad constante a través de un medio poroso eterogéneo y anisotrópico es descrito por la siguiente ecuación diferencial parcial
DESCOMPOSICIÓN DEL DOMINIO EN CELDAS Figura 1.1
ECUACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS De acuerdo con la ecuación de continuidad, expresando el balance de flujo en una celda, la suma de todos los flujos de entrada y salida a cada celda debe ser igual a la razón de cambio en el almacenamiento de esa misma celda [Todd. 1980], o bien: (1.1) donde: Q i S s Qi = Ss V t = razón de flujo acia la celda, unidad de volumen por unidad de tiempo[l -3 T -1 ] = almacenamiento específico por unidad de volumen, por cambio de la carga piezométrica. [L -1 ] V = volumen de la celda [L 3 ] t = intervalo de tiempo [T] = cambio de la carga piezométrica [L]
Figura 1.2 CELDAS ADYACENTES
LEY DE DARCY Y CONDUCTANCIA Para las celdas adyacentes el cálculo de los caudales de entrada a la celda i,j,k y con base en la ley de Darcy, es lo siguiente (figura 1.2): De i, j-1, k q = KR c v i, j, k i, j, k 1 1 2 2 i k i, j 1, k i, j, k (1.2) donde: KR i,j-1/2,k es la conductividad idráulica a lo largo de i entre los dos nodos en cuestión [LT-1 ]. El índice -1/2 significa el espacio entre los dos nodo. 1 2 1 2 1 2 r j 1 2 ( ) i, j+ 1, k i, j, k De i, j+1, k qi, j+ 1 1 2, k = KRi, j+ 2, k ci vk 1.3 rj+ ( ) i+ 1, j, k i, j, k De i+1, j, k i+ 1 1 2, j, k i+ 2, j, k j k 1.4 ci+ ( ) i 1, j, k i, j, k De i-1, j, k i 1 1 2, j, k i 2, j, k j k 1.5 ci De i, j, k+1 q = KC r v q = KC r v q = KV r c i, j, k + i, jk, + 1 1 2 2 j i q = KV r c i, j, k + 1 i, j, k 1 2 1 2 ( 1.6) ( ) i, j, k 1 i, j, k De i,j, k-1 i, j, k 1 1 2 i, jk, 1.7 2 j i vk v k +
LEY DE DARCY Y CONDUCTANCIA Llamando conductancia al producto de la conductividad idráulica por el área, dividida entre la separación de nodos: CR i, j i, j Sustituyendo (1.8) en (1.2) a (1.7) se obtiene: 1 2, k KR, k 1 2 [ ] 2 1 L 1 2 = T r i, j, k i, j, k 1 1 2 2 i, j+, k i, j+, k 1 1 2 2 i, jk, i, jk, 1 1 2 2 i+, jk, i+, jk, 1 1 2 2 i, jk, i, jk, 1 1 2 2 j c v q = CR q = CR q = CC q = CC q = CV q i, jk, + 1 1 2 i jk + 2,, 1,, i k ( i, j 1, k i, jk, ) ( 1.9) ( i, j+ 1, k i, jk, ) ( 1.10) ( i 1, jk, i, jk, ) ( 1.11) ( i+ 1, jk, i, jk, ) ( 1.12) ( i, jk, 1 i, jk, ) ( 1.13) ( i jk + i jk ) ( ) = CV,, 1.14 (1.8)
FUENTES EXTERNAS Las entradas a la celda i,j,k, provenientes de otras fuentes se pueden acer depender de la carga piezométrica de la celda que las recibe. La expresión general puede ser: a p q LT 3 1 i, jkn,, = i, jk,, n i, jk, + i, jkn,, donde a p q i, jkn,, i, jkn,, i, jkn,, es el flujo de la fuente n 2-1 es una contante [ LT ] 3-1 es una contante [ LT ] ( 1.15)
FUENTES EXTERNAS Para una celda que recibe un caudal de un pozo recarga (n=1) se puede considerar: a) que es independiente de la carga i,j,k,1 de la celda i,j,k; Para este caso p i,j,k,1 = 0 a i,j,k,1 = q i,j,k,1 (1.16) b) que depende de una carga. Para este caso: a i,j,k,1 = p i,j,k,1 i,j,k + q i,j,k,1 (1.17)
FUENTES EXTERNAS Para una celda que recibe un caudal de la filtración de un río, (n=2), dico caudal depende de la carga i,j,k de la celda y en su caso de la diferencia de cargas. Q C RIVi, jk,,2 por lo que a p q = (,, i, jk, ) RIVi, jk,,2 ( ) i, jk,,2 i, jk, i, jk, = CRIV + CRIV R = CRIVi jk ( 1.19) ( 1.20) = CRIV R ( ) i, jk,,2 i, jk,,2 i, jk, i, jk,,2 i, jk, i, jk,,2,,,2 i, jk,,2 K R RIV i jk = D K a D, y su conductancia es: = CRIV R, o bien: i, jk,,2 i, jk, 1.21
FUENTES EXTERNAS Para todas las fuentes externas se puede llegar a una solución tal como: N N N a = QS = p + q i, j, k, n i, j, k i, j, k, n i, j, k i, j, k, n n= 1 n= 1 n= 1 donde N P = p Q = q i, j, k i, j, k, n i, j, k i, j, k, n n= 1 n= 1 y el flujo externo acia la celda i, j, k es: QS = P + Q i, j, k i, j, k i, j, k i, j, k N ( 1.22) ( 1.23)
el balance de flujo es: BALANCE DE FLUJO q + q + q + q + q + q + QS i, j, k i, j+, k i, jk, i+, jk, i, jk, i, jk, + 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 S i, jk, = s j i k S i, jk, i, jk, t r c v -1 donde: s es el almacenamiento específico [ ] L i, jk, ( 1.24 ) i, jk, -1 es el cambio de con respecto al tiempo t [ LT ] t 3 r c v es el volumen [L ] j i k
BALANCE DE FLUJO La ecuación (1.24) se puede utilizar para evaluar los términos de flujo en el tiempo avanzado t m y la pendiente / t se puede obtener como sigue: m m m 1 i, j, k i, j, k i, j, k = ( 1.25) t t t m m m 1 Esta aproximación es acia atrás, pues el valor de depende del correspondiente anterior en el tiempo t. De esta forma, la ecuación (1.24) queda expresada como: m m m m ( i, j 1, k i, jk, ) + i j k ( i, j+ 1, k i, jk, ) m m m m ( i 1, jk, i, jk, ) i jk ( i+ 1, jk, i, jk, ) m m m m ( i, jk, 1 i, jk, ) i jk ( i, jk, + 1 i, jk, ) CR CR i, j, k, +, 1 1 2 2 + CC + CC i, jk, +,, 1 1 2 2 + CV + CV i, jk,,, + 1 1 2 2 + P + Q = S r c v m i jk i j k i jk s j,,,,,, i, j, k m m 1 ( ) ( ) i, jk, i, jk, i k ( 1.26) t t m m 1
m,0 i, jk, m,0 i, jk, ITERACION representa la solución inicial de prueba en el nodo i, j, k y la que a su vez es la solución de prueba usada en la iteración 2 (ver figura 1.3). Rearreglando la ecuación (1.26) CV ( + CC + CR m m m i, j, k 1 i, jk, 1 i 1, jk, i 1, jk, i, j 1, k i, j 1, k 2 2 2 + CV CC CR i, jk, i, jk, i, j, k 1 1 1 2 2 2 CR CC CV + HCOF i, j+, k i+, jk, i, jk, + 1 1 1 2 2 2 m m m i, j+, k i, j+ 1, k i+, jk, i+ 1, jk, i, jk, + i, jk, + 1 1 1 1 2 2 2 ) m i, jk, i, jk, + CR + CC + CV = RHS ( 1.27) donde SC1 HCOFi, jk, = Pi, jk, t t RHS = Q SC1 i, jk, i, jk, i, jk, m m 1 SC1 m 1 i, jk, i, jk, t t m m 1 = SS r c v i, jk, i, jk, j i k i, jk,
ITERACION Figura 1.3
DISEÑO DEL PROGRAMA Figura 1.4
DISEÑO DEL PROGRAMA Lista de paquetes
DISEÑO DEL PROGRAMA Programa principal: 1. Controla el orden de ejecución de los módulos primarios. 2. Es el que establece el intercambio de información.
RIVER Te River boundary condition is used to simulate te influence of a surface water body on te groundwater flow. Surface water bodies suc as rivers, streams, lakes and swamps may eiter contribute water to te groundwater system, or act as groundwater discarge zones depending on te ydraulic gradient between te surface water body and te groundwater system. Te MODFLOW River Package simulates te surface water / groundwater interaction via a seepage layer separating te surface water body from te groundwater system (see figure below).
GHB Te function of te General-Head Boundary (GHB) Package is matematically similar to tat of te River, Drain, and ET Packages. Flow into or out of a cell from an external source is provided in proportion to te difference between te ead in te cell and te reference ead assigned to te external source. Te application of tis boundary condition is intended to be general, as indicated by its name, but te typical application of tis boundary conditions is to represent eads in a model tat are influenced by a large surface water body outside te model domain wit a known water elevation. Te purpose of using tis boundary condition is to avoid unnecessarily extending te model domain outward to meet te element influencing te ead in te model. As a result, te General Head boundary condition is usually assigned along te outside edges of te model domain. Tis scenario is illustrated in te following figure.