Carlos Delgado Kloos Ingeniería Telemática Univ. Carlos III de Madrid. Java: Complejidad / 1

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1 Complejidad Carlos Delgado Kloos Ingeniería Telemática Univ. Carlos III de Madrid Java: Complejidad / 1 Comparación long fib (int n) {if (n<=1) return n; else return fib(n-1)+fib(n-2); } long fibo (int n,x,y) {if (n<=1) return x+y; else return fibo(n-1,y,x+y); } Los dos métodos calculan la función fib correctamente, pero cuál preferiría? El primero es más claro. El segundo es más eficiente. cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 2 1

2 Cómo medimos? Midiendo el tiempo de ejecución (en función del tamaño de la entrada) No podemos probar con todas las entradas Es necesario implementar el algoritmo Depende del software y el hardware Busquemos otra medida Más abstracta Más fácil de obtener cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 3 Cómo medimos? Asociamos a cada algoritmo: f(n) Emplearemos el caso peor para caracterizar el tiempo de ejecución Es más fácil de calcular Interesa la velocidad de crecimiento del tiempo de ejecución en función del tamaño de la entrada Comportamiento asintótico Tamaño de la entrada cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 4 2

3 Cómo medimos? Asociamos a cada operación primitiva un tiempo de ejecución constante: Asignación Llamada a método Operación aritmética, etc. Indexación en array Seguir una referencia Volver de un método Etc. cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 5 Ejemplo (en pseudocódigo) Hallar el máximo de un array Entrada: un array A con n enteros Salida: el elemento mayor de A Algoritmo: arraymax(a,n) current=a[0] for i=1 to n-1 do if current<a[i] then current=a[i] return current cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 6 3

4 Ejemplo (en pseudocódigo) current=a[0] for i=1 to n-1 do if current<a[i] then current=a[i] return current Mínimo núm. de operaciones (si es A[0]): 2+1+n+4(n-1)+1=5n Máximo núm. de operaciones (si A creciente): 2+1+n+6(n-1)+1=7n-3 cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 7 Notación O c g(n) f(n) n 0 f(n) es O(g(n)) sii f(n) c g(n) para n n 0 cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 8 4

5 Notación O 7n-3 es O(n) c=7, n 0 =1 7n-3 7n 20n 3 +10n log n+5 es O(n 3 ) 3 log n + log log n es O(log n) es O(1) 5/n es O(1/n) cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 9 Crecimiento de funciones log n n n n log n n 2 n 3 2 n 1 1, , , , , , ,8 * , ,4 * cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 10 5

6 Crecimiento de funciones Java: Complejidad / 11 Tamaño máximo de un problema Tiempo de ejecución 1 segundo 1 minuto 1 hora 400n n log n n n n cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 12 6

7 Ejemplo Dado un array A de n números Calcular otro array B, tal que: i j=0 A[j] B[i]= i+1 cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 13 Solución 1 for i=0 to n-1 do a=0 for j=0 to i do a=a+a[j] B[i]=a/(i+1) return B cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 14 7

8 Solución 1: Análisis Partes: Inicializar y devolver array B: O(n) Bucle i: se ejecuta n veces Bucle j: se ejecuta n=n(n+1)/2 veces: O(n 2 ) Total: O(n)+O(n)+O(n 2 )= O(n 2 ) Orden cuadrático cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 15 Optimización B[i]=(A[0]+...+A[i])/(i+1) B[i+1]=(A[0]+...+A[i]+A[i+1])/(i+2) B[i+1]=(B[i]*(i+1)+A[i+1])/(i+2) cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 16 8

9 Solución 2 s=0 for i=0 to (n-1) do s=s+a[i] B[i]=s/(i+1) return B cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 17 Solución 2: Análisis Partes: Inicializar y devolver array B: O(n) Inicializar s: O(1) Bucle i: se ejecuta n veces Total: O(n)+O(1)+O(n)=O(n) Orden lineal cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 18 9

10 Hay un algoritmo para resolver cualquier problema? Se puede resolver cualquier problema por medio de un algoritmo? Cuál es el límite de la computabilidad? Hilbert pensaba que todos los problemas matemáticos eran computables En los años 1930, Gödel, Turing, Church y otros demostraron que no es así cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 19 Computabilidad Un problema matemático se llama computable, si puede puede ser resuelto en principio por un dispositivo de computación Hay una clasificación de problemas matemáticos en computables y no computables cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 20 10

11 Dispositivo de computación Cuál es el dispositivo de computación más sencillo, pero que sin embargo entraña la capacidad de todos los ordenadores? Se definieron varios dispositivos (imaginarios) o formalismos matemáticos cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 21 Definiciones de computabilidad Andrey Markov ( ) Algoritmos de Markov Alonzo Church ( ) Cálculo Kurt Gödel ( ) Funciones recursivas Stephen Kleene ( ) Sistemas formales Alan Turing ( ) Máquinas de Turing cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 22 11

12 Máquina de Turing Componentes: Control con un nº finito de estados Cabeza lectora/escritora Cinta infinita Funcionamiento: Cabeza lee símbolo de cinta y en función de él y del estado, escribe un símbolo en la cinta, la mueve y pasa a un nuevo estado cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 23 Máquinas de Turing MT determinista, si para cada combinación (símbolo leído, estado), hay una única continuación (símbolo a escribir, estado, movimiento) MT no-determinista si hay más cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 24 12

13 Clases de problemas El conjunto de problemas computables se dividen en varias clases: P (polinomial con MT determinista) NP (polinomial con MT no-determinista) etc. cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 25 Es P = NP? Resolver un sudoku (NP) vs Comprobar si está bien resuelto (P) El Clay Mathematics Institute ofrece US$ 1 millón para el que resuelva si los dos conjuntos son iguales o no cdk@it.uc3m.es Java: Complejidad / 26 13