Programación Lineal y Entera

Transcripción

1 Programación Lineal y Entera Balbina Virginia Casas Méndez Casos prácticos con AMPL MÁSTER EN TÉCNICAS ESTADÍSTICAS Curso 2010/11

2 Introducción El lenguaje AMPL Optimizadores: KNITRO El servidor NEOS

3 Introducción El lenguaje AMPL Optimizadores: KNITRO El servidor NEOS Caso 1: Problema del Transporte Un modelo para el Problema del Transporte Un modelo AMPL para el Problema del Transporte

4 Introducción El lenguaje AMPL Optimizadores: KNITRO El servidor NEOS Caso 1: Problema del Transporte Un modelo para el Problema del Transporte Un modelo AMPL para el Problema del Transporte Enlaces en INTERNET

5 Introducción El lenguaje AMPL Optimizadores: KNITRO El servidor NEOS Caso 1: Problema del Transporte Enlaces en INTERNET

6 Lenguaje AMPL AMPL es un lenguaje de modelado algebraico para programación matemática: un lenguaje capaz de expresar en notación algebraica problemas de optimización tales como los problemas de programación lineal y entera. La gran potencia del lenguaje AMPL está en separar el modelo en sí por un lado y por otro los datos particulares del problema concreto. Los modelos AMPL involucran variables, restricciones y objetivos, expresados con la ayuda de conjuntos y parámetros. A todos se les llama elementos del modelo. La llamada a AMPL normalmente causa la entrada en un entorno de comandos, donde los comandos pueden ser introducidos interactivamente. Las declaraciones del modelo y las instrucciones de introducción de datos son también aceptados como comandos.

7 Introducción El lenguaje AMPL Optimizadores: KNITRO El servidor NEOS Caso 1: Problema del Transporte Enlaces en INTERNET

8 KNITRO es un software para resolver problemas de optimización matemática a gran escala. KNITRO está especializado en optimización no lineal, pero también resuelve problemas de programación lineal, problemas de programación cuadrática y sistemas de ecuaciones no lineales. Puede resolver también problemas con variables que toman valores enteros. Los problemas de optimización deben ser presentados en forma matemática. Los problemas pueden ser escritos en C, C++, Fortran, o Java, en cuyo caso KNITRO se llama como una rutina software para resolver el problema. Una a menudo sencilla aproximación es desarrollar el problema de optimización en un lenguaje de modelado algebraico (AML) como AIMMS, AMPL, GAMS, Mathematica, etc. KNITRO se llama como un solver" desde dentro de algún entorno o servidor.

9 KNITRO ofrece tres algoritmos para resolver problemas de optimización. Dos son de los denominados de punto interior y uno es de los denominados de conjuntos activos. Los métodos de punto interior siguen un camino a través del interior de la región factible mientras que los métodos de conjuntos activos tienden a permanecer en la frontera. KNITRO proporciona ambos tipos de algoritmos para mayor flexibilidad en la resolución de problemas y permite pasar de uno a otro durante el proceso de obtención de la solución. Proporciona una opción de multistart" para promover el cálculo del óptimo global y utiliza algoritmos de branch and bound" ante la presencia de variables enteras. KNITRO, acrónimo de Nonlinear Interior point Trust Region Optimization" (la K" es muda) fue creado en 2001 en Northwestern por R. Waltz, J. Nocedal, T. Plantenga y R. Byrd. Está comercializado por Ziena Optimization, Inc.

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11 Podemos acceder a este servidor libre en la dirección: Los problemas de optimización se resuelven automáticamente. El usuario debe proporcionar una definición del problema (modelo, datos concretos y comandos a ejecutar en ficheros de texto) y toda la información adicional requerida por el solver" de optimización se determina automáticamente. Los resultados son enviados a la dirección de correo electrónico proporcionada por el usuario. Es necesario escoger un solver" según el tipo de problema de optimización que se quiera resolver y en caso de duda se puede consultar el Optimization Tree" de la guía de NEOS. La elección del solver" también depende del lenguaje utilizado para definir el problema de optimización.

12 Introducción Caso 1: Problema del Transporte Un modelo para el Problema del Transporte Un modelo AMPL para el Problema del Transporte Enlaces en INTERNET

13 Un ejemplo de problema del transporte: resolución informática (Parlar, 2000; Fourer y otros, 2002) Ejemplo. Gastos de envío de esquíes. Para ilustrar este modelo vamos a considerar el problema de SunSno, una empresa multinacional con tres factorías en (1) Jasper, Canadá, (2) Seoul, Korea, and (3) Toronto, Canadá. SunSno transporta esquíes a cuatro empresas propietarias de almacenes en (1) Frankfurt, Alemania, (2) New York, USA, (3) París, Francia, y (4) Yokohama, Japón. Las capacidades de producción semanales, a i, i = 1; 2; 3 de las m = 3 factorías y las demandas semanales, b j, j = 1; 2; 3; 4 de los n = 4 almacenes están dados en la siguiente tabla donde también indicamos los costes por unidad de transporte c ij, i = 1; 2; 3 y j = 1; 2; 3; 4.

14 Desde# n A! Frankfurt NY París Yoko- SUMIhama NISTRO Jasper Seoul Toronto DEMANDA Para resolver este problema como uno de programación lineal, definimos las variables X ij como el número de unidades transportadas desde la factoría i al almacén j para las factorías i = 1; ; m y los almacenes j = 1; ; n. De esta forma, el modelo de programación lineal del problema del transporte toma la siguiente forma:

15 Min Z = 19X X X X X X X X X X X X 34 sujeto a X 11 + X 12 + X 13 + X 14 = 100 (Capacidad de Jasper) X 21 + X 22 + X 23 + X 24 = 300 (Capacidad de Seoul) X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 200 (Capacidad de Toronto) X 11 + X 21 + X 31 = 150 (Demanda de Frankfurt) X 12 + X 22 + X 32 = 100 (Demanda de New York) X 13 + X 23 + X 33 = 200 (Demanda de París) X 14 + X 24 + X 34 = 150 (Demanda de Yokohoma) Todo X ij 0:

16 Introducción Caso 1: Problema del Transporte Un modelo para el Problema del Transporte Un modelo AMPL para el Problema del Transporte Enlaces en INTERNET

17 El modelo del Transporte (transp_mod.txt) set ORIG; # orígenes set DEST; # destinos param capacidad forigg >= 0; # cantidades en orígenes param demanda fdestg >= 0; # cantidades en destinos check: sum fi in ORIGg capacidad[i] = sum fj in DESTg demanda[j]; param coste forig,destg >= 0; # coste unitario var Trans forig,destg >= 0; # unidades a ser transportadas minimize Coste_Total: sum fi in ORIG, j in DESTg coste[i,j] * Trans[i,j]; subject to Capacidad fi in ORIGg: sum fj in DESTg Trans[i,j] = capacidad[i]; subject to Demanda fj in DESTg: sum fi in ORIGg Trans[i,j] = demanda[j];

18 Datos para el modelo del Transporte (transp_dat.txt) # definimos los conjuntos ORIG" y DEST" y los parámetros capacidad" y demanda" param: ORIG: capacidad := JASPER 100 SEOUL 300 TORONTO 200 ; param: DEST: demanda := FRANKFURT 150 NEWYORK 100 PARIS 200 YOKOHAMA 150 ; param coste: FRANKFURT NEWYORK PARIS YOKOHAMA := JASPER SEOUL TORONTO ;

19 Comandos para el modelo del Transporte (transp_run.txt) #Ejemplo del problema del transporte solve; display Trans, Coste_Total;

20 Resultados para el modelo del Transporte NEOS Server Version 5.0 Host : vieta.mcs.anl.gov 1 linear objective; KNITRO 6.0.0: Objective goal: Minimize Number of variables: 12 bounded below: 12 Number of constraints: 7 linear equalities: 7 No start point provided KNITRO computing one. KNITRO changing algorithm from AUTO to 1. Total program time (secs) = iterations; 7 function evaluations

21 Trans := JASPER FRANKFURT 0 JASPER NEWYORK 0 JASPER PARIS 100 JASPER YOKOHAMA 0 SEOUL FRANKFURT 150 SEOUL NEWYORK 0 SEOUL PARIS 0 SEOUL YOKOHAMA 150 TORONTO FRANKFURT 0 TORONTO NEWYORK 100 TORONTO PARIS 100 TORONTO YOKOHAMA 0; Coste_Total = 5950

22 Referencias Bibliográficas FOURER, R. / GAY, D. M. / KERNIGHAM, B. W. (2002): AMPL: A modeling language for Mathematical Programming". Ed. Duxbury Press. HILLIER, F. / LIEBERMAN, G. (2005): Introduction to operations research". Ed. McGraw-Hill. NOCEDAL, J. / WRIGHT, S. J. (2006): Numerical Optimization", 2nd Edition. Ed. Springer. PARLAR, M. (2000): Interactive operations research with Maple. Methods and models". Ed. Birkhäuser.

23 Enlaces en INTERNET Libro y software AMPL: KNITRO: An Integrated Package for Nonlinear Optimization. R.H. Byrd, J. Nocedal, R.A. Waltz (2006) (PDF): Plataforma NEOS: Apuntes: Grupo de trabajo en Google grupos: