Sudoku con AMPL. Stefano Nasini. Dept. of Statistics and Operations Research Universitat Politécnica de Catalunya

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Nieves Andrea Prado Silva
hace 6 años
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1 Sudoku con AMPL Stefano Nasini Dept. of Statistics and Operations Research Universitat Politécnica de Catalunya La solución de un sudoku siempre es un cuadrado latino, es decir, una matriz de n n elementos, en la que cada casilla está ocupada por uno de los n símbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila, aunque el recíproco en general no es cierto ya que el sudoku establece la restricción añadida de que no se puede repetir un mismo número en una región. Para costruir un modelo de optimizaciòn que nos permita solucionar un Sudoku hace falta convertir en costricciones de un problema de programaciòn matematica las que son las reglas del juego. Dichas reglas son rellenar una cuadrícula de celdas (8 casillas) dividida en subcuadrículas de (también llamadas "cajas" o "regiones") con las cifras del al partiendo de algunos números ya dispuestos en algunas de las celdas. El sudoku que querriamos solucionar es el siguiente: Antes que todo, nuestras variables de deciciones han de ser variables binarias que nos informan de la presencia o absencia de una cifra en una casilla. Asì que dicha variable de deciciòn estarà definida por tres subindices: fila, columna, digito, y tomaràvalor en el caso en el que en una determinada casilla (identificada por sus coordenadas) hay un determinado digito. Imponemos que en cada celda solo haya un digito y no màs.

2 c= = Imponemos que un digito de 0 a aparezca solo una vez por cada fila. a= = Imponemos que un digito de 0 a aparezca solo una vez por cada columna. b= = Imponemos que en un cuadrado x un digito aparezca una sola vez. a= b= = Imponemos que en un cuadrado x un dado digito aparezca una sola vez. a= b= a= b= a= b= = = a= b= a= b= = = a= b= a= b= = = a= b= a= b= = = = De dicho problema buscamo una cualquiera soluciòn factible, asì que no hace falta poner ninguna funciòn objetivo. Lo implementamos en AMPL como problema de programaciòn entera de la forma siguiente. var {..,..,..} binary; minimize Niente; subject to Somma_ {a in..,b in..}: sum{c in..} [a,b,c]=; subject to Somma_2 {a in..,c in..}: sum{b in..} [a,b,c]=; subject to Somma_ {b in..,c in..}: sum{a in..} [a,b,c]=; subject to Riquadri_ {c in..}: sum{a in..,b in..} [a,b,c]=; subject to Riquadri_2 {c in..}: sum{a in..,b in..} [a,b,c]=; subject to Riquadri_ {c in..}: sum{a in..,b in..} [a,b,c]=; subject to Riquadri_ {c in..}: 2

3 sum{a in..,b in..} [a,b,c]=; subject to Riquadri_5 {c in..}: sum{a in..,b in..} [a,b,c]=; subject to Riquadri_ {c in..}: sum{a in..,b in..} [a,b,c]=; subject to Riquadri_ {c in..}: sum{a in..,b in..} [a,b,c]=; subject to Riquadri_8 {c in..}: sum{a in..,b in..} [a,b,c]=; subject to Riquadri_ {c in..}: sum{a in..,b in..} [a,b,c]=; subject to C: [,,5]=; subject to C2: [,2,]=; subject to C: [,5,]=; subject to C: [2,,]=; subject to C5: [2,,]=; subject to C: [2,5,]=; subject to C: [2,,5]=; subject to C8: [,2,]=; subject to C: [,,8]=; subject to C0: [,8,]=; subject to C: [,,8]=; subject to C2: [,5,]=; subject to C: [,,]=; subject to C: [5,,]=; subject to C5: [5,,8]=; subject to C: [5,,]=; subject to C: [5,,]=; subject to C8: [,,]=; subject to C: [,5,2]=; subject to C20: [,5,2]=; subject to C2: [,,]=; subject to C22: [,2,]=; subject to C2: [,,2]=; subject to C2: [,8,8]=; subject to C25: [8,,]=; subject to C2: [8,5,]=; subject to C2: [8,,]=; subject to C28: [8,,5]=; subject to C2: [,5,8]=; subject to C0: [,8,]=; subject to C: [,,]=; En el ultimo grupo de constricciones hemos impuesto los valores predefinidos de algunas celdas, como mostra la representaciòn grafica de la pagina anterior. Utilizando CPLEX como solver, optenemos la siguiente soluciòn binaria de nuestro problema. Cada matriz corresponde a una fila del sudoku. Los valores de fila de la matriz corresponden a las columnas del sudoku y los valores en columna a cala digito que puede ser introducido. Por ejemplo el valor [,,]=0 nos dice que en la celda(,) del sudoku el valor no esta presente. ampl: model sudoku.mod; ampl: solve; Solution determined by presolve; objective Niente = 0.

4 ampl: display ; [,*,*] [2,*,*] [,*,*] [,*,*] [5,*,*] [,*,*]

5 [,*,*] [8,*,*] [,*,*] ; ampl: Introduciendo en la tabla del sudoku dicha soluciòn obtenemos el siguiente resultado

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