LINGO - Parte 2. Programación en LINGO

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Javier Soto Lagos
hace 5 años
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1 Optimització Curs 2006/2007 Assignatura d Estadística, UAB LINGO - Parte 2 Programación en LINGO Ejemplo 1: El problema del transporte La compañía Mega Transporte (MT) tiene 6 depósitos que proveen a 8 vendedores. Cada deposito puede proveer una cantidad de materiales que no puede ser excedida, y cada vendedor tiene una demanda que debe ser satisfecha. MT quiere determinar cuánto material enviar de cada depósito a cada vendedor para minimizar el coste. Este es un problema clásico de optimización llamado el problema del transporte. El siguiente diagrama ilustra el problema: Puesto que cada depósito puede enviar a cada vendedor, hay un total de 48 caminos o arcos de envío posibles, se necesitará 1 variable para cada uno de estos arcos que representen la cantidad enviada. 1

2 Están disponibles los siguientes datos: Depósito (DP) Capacidad Vendedor (V) Demanda coste de envío por unidad (euros): V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 DP DP DP DP DP DP La función objetivo El primer paso para plantear el modelo será construir la función objetivo. MT quiere minimizar el total de los costes de envío. Haremos que la variable CANTIDADij indique la cantidad de mercadería enviada desde el depósito i hacia el vendedor j. Entonces, si tuviéramos que escribir la función objetivo usando variables escalares tendríamos: MIN = 6 *CANTIDAD * CANTIDAD * CANTIDAD * CANTIDAD * CANTIDAD * CANTIDAD 65 + CANTIDAD * CANTIDAD * CANTIDAD 68 ; 2

3 Como se ve, ingresar una fórmula como esta es tedioso y propenso a errores. En un caso mas realista, los vendedores podrían ser miles, y el modelado con variables escalares se vuelve muy problemático. Con una notación matemática, se podría expresar esta ecuación de esta forma: Minimizar ij ( COSTE ij * CANTIDAD ij ) donde la variable CANTIDADij indica la cantidad de mercadería enviada desde el depósito i hacia el vendedor j, y la variable COSTEij indica el coste de envío por unidad. En otras palabras, el objetivo es minimizar la suma de los costes de envío por unidad por la cantidad de mercadería enviada por todos los caminos entre los depósitos y los vendedores. Definición de los Conjuntos LINGO permite definir conjuntos de objetos relacionados en la "sección de conjuntos" (sets section). Esta sección comienza con la palabra clave SETS: y termina con ENDSETS. En el caso del modelo de Mega Transporte, vamos a construir 3 conjuntos, los 2 conjuntos principales: 1. Depósitos 2. Vendedores y un conjunto derivado: 3. Arcos de envío desde cada depósito a cada vendedor Tenemos 6 depósitos DP1, DP2, DP3, DP4, DP5 y DP6, y 8 vendedores V2, V3, V4, V5, V6, V7 y V8. Cada deposito puede proveer una cantidad de materiales que no puede ser excedida (tiene una capacidad) y cada vendedor tiene una demanda que debe ser satisfecha. Se puede definir los conjuntos del problema, escribiendo en LINGO: SETS: DEPOSITOS / DP1 DP2 DP3 DP4 DP5 DP6/: CAPACIDAD; VENDEDORES / V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8/: DEMANDA; ARCOS_ENVIO( DEPOSITOS, VENDEDORES) : COSTE, CANTIDAD; ENDSETS 3

4 La segunda línea dice que el conjunto DEPOSITOS tiene los elementos DP1, DP2, DP3, DP4, DP5 y DP6, cada uno con un atributo llamado CAPACIDAD. Los vendedores se definen en la tercera línea, cada uno con un atributo llamado DEMANDA. El último conjunto, titulado ARCOS_ENVIO representa los 48 caminos entre los depósitos y los vendedores. Cada camino tiene los atributos COSTE y CANTIDAD asociados. La sintaxis para definir este conjunto, difiere de las dos anteriores. Especificando ARCOS_ENVIO(DEPOSITOS, VENDEDORES) estamos diciendo a LINGO que el conjunto ARCOS_ENVIO deriva de DEPOSITOS y VENDEDORES. En este caso, LINGO genera cada par ordenado de (depósitos, vendedores) y cada uno de estos 48 pares ordenados es un elemento del conjunto ARCOS_ENVIO. La función objetivo en LINGO Vamos a expresar la función objetivo Minimizar ij ( COSTE ij * CANTIDAD ij ) en el lenguaje de LINGO:. a) La suma ( ) se puede expresar en LINGO ) b) Los subíndices ij se refieren a los ij elementos del conjunto ARCOS_ENVIO. Entonces la sentencia de LINGO equivalente a ij ( ) es SUM(ARCOS_ENVIO(I,J) : ) c) La sentencia de LINGO para la función objetivo es MIN COSTE(I,J) * CANTIDAD(I,J)); Restricciones El siguiente paso es formular las restricciones. Hay dos conjuntos de restricciones en este modelo: a) El primero garantiza que cada vendedor recibe el número de unidades requerida (restricciones de demanda). b) El segundo conjunto de restricciones asegura que cada depósito no envía mas de lo que tiene (restricciones de capacidad). Comenzando con las restricciones de demanda del Vendedor 1, necesitamos sumar los envíos de todos los i depósitos hacia el Vendedor 1 e igualarlo a la demanda del Vendedor 1: i (CANTIDAD i1 ) = DEMANDA 1 Además de otras 7 restricciones de demanda, para cubrir a los 8 vendedores. Con una notación matemática, se podría expresar todas las restricciones de esta forma: For j=número de vendedor { i (CANTIDAD ij ) = DEMANDAj } Significa: para todos los vendedores, la suma de la CANTIDAD enviada desde cada uno de los 4

5 depósitos a ese vendedor debe ser igual a la demanda correspondiente del vendedor. En LINGO la sentencia correspondiente queda VENDEDORES( DEPOSITOS( I): CANTIDAD( I, J)) = DEMANDA( J)); Esta sentencia reemplaza a las 8 restricciones de demanda. Nótese la gran similitud con la notación matemática. De manera análoga pueden expresarse las restricciones de DEPOSITOS( VENDEDORES( J): CANTIDAD( I, J) )<= CAPACIDAD( I)); Equivale a: para cada miembro del conjunto DEPOSITOS, la suma del CANTIDAD enviado a cada vendedor desde ese depósito, debe ser menor o igual a la capacidad del depósito. El modelo completo MODEL: MIN ARCOS_ENVIO( I, J): COST( I, J) * CANTIDAD( I, VENDEDORES( J): DEPOSITOS( I): CANTIDAD( I, J)) = DEMANDA( DEPOSITOS( I): VENDEDORES( J): CANTIDAD( I, J)) <= CAPACIDAD( I)); END 5

6 Ingreso de datos LINGO permite al usuario aislar los datos en una sección separada del modelo. Con los datos independientes del modelo, es mucho mas fácil hacer cambios, y hay menos oportunidad de cometer errores. La sección de datos comienza con la sentencia DATA: y finaliza con ENDDATA. En el ejemplo de Mega Transporte, tenemos la siguiente sección de datos: DATA: CAPACIDAD = ; DEMANDA = ; COSTE = ; ENDDATA Observe que: los atributos CAPACIDAD del conjunto DEPOSITOS y DEMANDA de VENDEDORES se inicializan de forma directa. El atributo COSTE del conjunto bidimensional ARCOS_ENVIO es un poco mas oscuro. Cuando LINGO inicializa una matriz multidimensional, incrementa el índice exterior mas rápidamente, en este caso COSTE(DP1, V1) se inicializa primero, seguido de COSTE(DP1, V2) hasta COSTE(DP1, V8). Después se inicializará COSTE(DP2, V1), y así sucesivamente. 6

7 Poniendo juntas las secciones de datos, de conjuntos, la función objetivo y las restricciones, el modelo queda como sigue: MODEL:! Un problema de transporte con 6 depósitos y 8 vendedores ; SETS: DEPOSITOS/ DP1 DP2 DP3 DP4 DP5 DP6/: CAPACIDAD; VENDEDORES/ V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8/: DEMANDA; ARCOS_ENVIO (DEPOSITOS, VENDEDORES):COSTE, CANTIDAD; ENDSETS!El objetivo; [Objetivo] MIN ARCOS_ENVIO( I, J): COSTE( I, J) * CANTIDAD( I, J));!Restricción de VENDEDORES( J): [ DEPOSITOS( I): CANTIDAD( I, J)) = DEMANDA( J));!Restricción de DEPOSITOS( I): VENDEDORES( J): CANTIDAD( I, J)) <= CAPACIDAD( I));!Los datos; DATA: CAPACIDAD = ; DEMANDA = ; COSTE = ; ENDDATA END 7

8 Ejercicio 1 Escribir el modelo completo en el archivo LINGO del ejercicio 1. Nota: los nombres de las restricciones de demanda y de capacidad se debe poner entre el bucle FOR y antes de la suma SUM! (Hay un nombre para cada índice i del FOR y para cada restricción) Ejercicio 2 Resolver el modelo usando LINGO para determinar la cantidad óptima de material para enviar desde cada depósito hacia cada vendedor. a) Cuál es el coste óptimo de envíos? (664 euros) b) Cuánto material se debe enviar cada depósito hacia cada vendedor en el caso óptimo? c) Cuáles son las restricciones activas en el modelo? Noviembre 2006 María Zakynthinaki 8

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