Modelo Matemático para Diseño de Rampas en Minería a Cielo Abierto *

Transcripción

1 Modelo Matemático para Diseño de Rampas en Minería a Cielo Abierto * Emilio Molina Department of Mathematical Engineering Jorge Amaya Department of Mathematical Engineering and Center for Mathematical Modeling Nelson Morales Department of Mining Engineering and Advanced Mining Technology Center University of Chile Resumen En este documento técnico se propone un modelo matemático de optimización binaria para el problema de diseño de rampas en una mina a cielo abierto. Se prueba viabilidad y aplicabilidad en casos simples de prueba. * Partially supported by FONDECYT, under Grant

2 1. Introducción Un problema de la minería es la construcción y diseños de rampas en la mina. Una rampa es un camino con cierta inclinación que va de un nivel a otro, entendiéndose un nivel como un conjunto de bloques que se encuentran a la misma altura o profundidad. En este modelo, conceptualizamos también una rampa como un conjunto de bloques adyacentes que comeinza en un nivel y termina en otro inferior. El objetivo de este trabajo es caracterizar matemáticamente dichas rampas tratando de utilizar la notación existente en los problemas de optimización aplicados a la minería. Es por eso que se trabajará con el grafo de precedencias y se construirá un grafo asociado a este, que nos indicará donde podemos construir las rampas. Una vez obtenida esta caracterización se plantearán problemas de optimización de forma de encontrar rampas óptimas en algún sentido. Para este trabajo hemos hecho simplificaciones de manera de partir con un modelo menos complejo y pensar luego en extenderlo. Estas simplificaciones son las siguientes: 1. Las rampas van entre niveles consecutivos. 2. A lo más hay una rampa entre cada par de niveles consecutivos. 3. El pit, es conocido a priori y las rampas se construyen usando bloques a la vista. Una extensión interesante será la determinación simultánea del pit óptimo y de las rampas corespondientes. 4. No se considera la influencia del tiempo, es un problema estático. Considerando todo a lo anterior, a continuación se describe el conjunto de ecuaciones que describe las rampas. 1

3 2. Desarrollo 2.1. Herramientas Matemáticas Se supone entonces conocido el pit, el cual está descrito por un grafo dirigido, es decir un conjunto de bloques y sus correspondientes precedencias. Recordar que el yacimiento que se quiere explotar se divide virtual,ente en cubos de cierta medida y luego se les enumera con los números naturales, generando una discretización e indexación del espacio tridimensional que representa el sitio de interés. Luego se construye un grafo dirigido, llamado grafo de precedencias, donde cada cubo es un nodo y hay un arco de un cubo i a un cubo j si para extraer el cubo i se necesita extraer el cubo j. A este conjunto de arcos se los denota comunmente por A. Como se mencionó antes, existe un pit calculado previamente y se está tratando de construir las rampas, que son secuencias de bloqies a la vista. A este conjunto de bloques que conforman el pit se le denotará por B. Ahora, para abordar el problema de las rampas se construirá un grafo dirigido, de forma semejante al de precedencias. Los nodos serán los mismos que los del grafo de precedencias, o sea que los nodos son los cubos y hay un arco entre el bloque i y el bloque j si desde el bloque i se puede construir una rampa hacia el bloque j. A los arcos de este grafo se les denotará por R. Una vez construido este grafo, para cada arco se construirán los siguientes conjuntos: (i, j) A(R) : P ij = {k B la rampa que va de i a j pasa por k } Como puede haber más de un camino entre los nodos i y j, se considerará el camino más corto entre estos dos bloques. Finalmente, un nivel se definirá como un conjunto de bloques que están a la misma profundidad o altura según se considere el eje de referencia. A estos se los enumerará partiendo desde la superficie y al k ésimo nivel se lo definirá por N k Variables del problema Ocupando la notación antes descrita introducimos ahora las variables con las que se podrá describir las rampas. (i, j) R x ij = i B e i = { 1 si hay una rampa de i a j 0 si no { 1 si i está en una rampa 0 si no 2

4 i B y i = { 1 si i es extraído 0 si no 2.3. Modelo Matemático Con todo lo anterior, es posible plantear un modelo matemático para el problema. Las variables e i son las que nos dirán por donde pasan las rampas y por lo tanto son las más importantes para el problema. A continuación se presentan las ecuaciones y se describe que representa cada una. 1. k {2,..., profundidad(mina)} (i,j) R i N k j N k+1 x ij 1 Esta condición modela que entre cada par de niveles consecutivos, existe a lo más una rampa. Se puede cambiar la desigualdad por una igualdad para asegurarse que no se quede estancado en algunos niveles. 2. (j, l) R j / N 1 i (i,j) R x ij x jl 0 Esta condición plantea conexidad entre las rampas. 3. (i, j) R l P ij x i j e l Esta condición dice que si hay una rampa entre i y j entonces todos los bloques que están en el camino de i a j están en la rampa. 4. l B e l (i,j) R l P ij Esta ecuación modela el hecho que si hay una rampa que pasa por el bloque l entonces entre todos los caminos que contienen a l, sólo uno está siendo contado. x ij 5. (i, j) A e i y j y i y j Estas son las ecuaciones de precedencias del conjunto de bloques. 6. (i, j) R l / P ij tal que hay un camino de i o j a l en el grafo de precendencias: x i j + e l 1 3

5 7. i B l B tal que hay un camino de i o j a k en el grafo de precendencias: y i + e l 1 Estas dos ecuaciones modelan que bajo una rampa no puede haber vacío o sea que si un bloque está en una rampa, no se puede seguir cavando desde ahí. De forma reciproca, si ha hay un bloque que está en una rampa, se debió sacar los bloques que están sobre él según el grafo de precedencias. Este modelo ya es posible probarlo en algún problema de optimización Función objetivo Una vez encontradas las restricciones del problema, el siguiente paso es ocuparlo en un problema de optimización. Para esto hay que pensar en lo que se quiere optimizar. Dos ideas surgen en esta etapa, pero es posible proponer otras. La primera persigue minimizar el costo y la segunda minimizar la longitud del camino (número de bloques involucrados). Con esta función objetivo se está maximizando el beneficio de crear las rampas: max i B y i b i donde b i representa el beneficio de extraer el bloque i Con esta función se está tratando de extraer la menor cantidad de cubos posibles: min i B y i 4

6 3. Aplicación numérica Se trabajó un ejemplo sencillo de 3 niveles, con distintos posibilidades de rampas. Para el problema de optimización usamos la primera función objetivo recién descrita, es decir, intentamos minimizar el costo: max i B y i b i cumpliendo las restricciones de rampas del modelo. Los beneficios se consideraron negativos y la mayoría del mismo valor, para que cuando se variara algún beneficio, la rampa siguiera el camino predestinado en este caso test. A continuación se presentan dos casos que fueron programados y su resultado gráfico. El primer ejemplo es un pit de 3 niveles y donde hay solo un cubo en la parte superior para partir. La opción es poder moverse a la derecha o a la izquierda. Aquí se muestra la imagen del resultado obtenido cuando se le da valores más negativos a la izquierda y luego a la derecha. En rojo se ve el camino que seguiría la rampa. El segundo ejemplo es el mismo pit pero ahora se puede partir de dos cubos en la parte superior y los posibles caminos se cruzan. El programa logra reconocer qué caminos seguir y no se devuelve en el caso que se crucen posibles rampas. Más abajo se presenta gráficamente los resultados obtenidos en estos casos. 5

7 4. Conclusiones Se logró plantear un modelo que caracteriza las rampas y que es lineal (esto último es bastante útil al momento de optimizar numéricamente). En la programación de este modelo se hizo en Python, que no es el lenguaje más apropiado para este caso, pero permite rápidamente chequear la viabilidad de ste tipo de modelos. Este modelo propuesto es aplicable a caso de un pits conexo y estáticos. El caso dinámico, que corresponde a la generación simultánea de la secuencia de pits a lo largo del tiempo, conjuntamente con las rampas, es más ambicioso y será abordado en un futuro próximo. 6

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