Diseño óptimo de estructuras. p. 1/30. mecánicas bajo incertidumbre en las cargas
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- Fernando Antonio Parra Carrizo
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1 Diseño óptimo de estructuras mecánicas bajo incertidumbre en las cargas Felipe Alvarez y Miguel Carrasco II Encuentro Núcleo Científico Milenio Sistemas Complejos de Ingeniería Universidad de Chile de diciembre 23 Diseño óptimo de estructuras. p. 1/3
2 Plan Introducción. Estructuras reticulares y equilibrio mecánico. Minimización de la complacencia. Formulación primal-dual. Inestabilidad de soluciones óptimas Diseño óptimo de estructuras. p. 2/3
3 Plan Introducción. Estructuras reticulares y equilibrio mecánico. Minimización de la complacencia. Formulación primal-dual. Inestabilidad de soluciones óptimas Modelo con cargas aleatorias. Perturbaciones aleatorias en las cargas. Minimización de la complacencia esperada. Ejemplos: distribuciones discretas y continuas. Diseño óptimo de estructuras. p. 2/3
4 Plan Introducción. Estructuras reticulares y equilibrio mecánico. Minimización de la complacencia. Formulación primal-dual. Inestabilidad de soluciones óptimas Modelo con cargas aleatorias. Perturbaciones aleatorias en las cargas. Minimización de la complacencia esperada. Ejemplos: distribuciones discretas y continuas. Aplicaciones y experiencias numéricas. Diseño óptimo de estructuras. p. 2/3
5 Introducción Diseño óptimo de estructuras. p. 3/3
6 Estructuras reticulares Grafo de puntos en unidos por barras delgadas. Diseño óptimo de estructuras. p. 4/3
7 Estructuras reticulares Grafo de puntos en unidos por barras delgadas Diseño óptimo de estructuras. p. 4/3
8 Estructuras reticulares Grafo de puntos en unidos por barras delgadas Problema: diseñar la mejor estructura que soporte una distribución de cargas nodales Diseño óptimo de estructuras. p. 4/3
9 Notaciones : número de nodos (puntos en ). : número de barras. : número de restricciones en los desplazamientos. : grados de libertad. Diseño óptimo de estructuras. p. 5/3
10 Notaciones : número de nodos (puntos en ). : número de barras. : número de restricciones en los desplazamientos. : grados de libertad. Variables de diseño Topología: volumen de las barras. Geometría: posición de los nodos. Diseño óptimo de estructuras. p. 5/3
11 Matriz de rigidez y equilibrio Distribución de cargas: Desplazamientos nodales:.. Diseño óptimo de estructuras. p. 6/3
12 Matriz de rigidez y equilibrio Distribución de cargas: Desplazamientos nodales:.. Ecuación de equilibrio mecánico: Diseño óptimo de estructuras. p. 6/3
13 Matriz de rigidez y equilibrio Distribución de cargas: Desplazamientos nodales:.. Ecuación de equilibrio mecánico: Matriz de rigidez:, Barra -ésima: es el módulo de Young;, la longitud;, el vector director. Diseño óptimo de estructuras. p. 6/3
14 Complacencia Energía potencial: Diseño óptimo de estructuras. p. 7/3
15 Diseño óptimo de estructuras. p. 7/3 Complacencia Energía potencial: Se tiene en cuyo caso,
16 (medida de rigidez). Diseño óptimo de estructuras. p. 7/3 Complacencia Energía potencial: Se tiene en cuyo caso, Complacencia:
17 Problema de diseño Restricciones: equilibrio mecánico, volumen total, posición de ciertos nodos,..... Criterio: maximizar la rigidez. Diseño óptimo de estructuras. p. 8/3
18 Problema de diseño Restricciones: equilibrio mecánico, volumen total, posición de ciertos nodos,..... Criterio: maximizar la rigidez. ( ) Diseño óptimo de estructuras. p. 8/3
19 Simplificación: estructura base Inconvenientes de la variable Altamente no lineal. Difícil de resolver numéricamente. Diseño óptimo de estructuras. p. 9/3
20 Simplificación: estructura base Inconvenientes de la variable Altamente no lineal. Difícil de resolver numéricamente. Estrategia: Eliminamos como variable de diseño. Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras. Problema: aumenta la dimensión pues Diseño óptimo de estructuras. p. 9/3
21 Simplificación: estructura base Inconvenientes de la variable Altamente no lineal. Difícil de resolver numéricamente. Estrategia: Eliminamos como variable de diseño. Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras. Problema: aumenta la dimensión pues f Diseño óptimo de estructuras. p. 9/3
22 Simplificación: estructura base Inconvenientes de la variable Altamente no lineal. Difícil de resolver numéricamente. Estrategia: Eliminamos como variable de diseño. Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras. Problema: aumenta la dimensión pues f.5 f Diseño óptimo de estructuras. p. 9/3
23 Formulación primal-dual Problema de diseño: ( ) Diseño óptimo de estructuras. p. 1/3
24 Formulación primal-dual Problema de diseño: ( ) El dual de Lagrange de está dado por ( ) Diseño óptimo de estructuras. p. 1/3
25 Formulación primal-dual Problema de diseño: ( ) El dual de Lagrange de está dado por ( ) Método: resolver y recuperar los volúmenes a partir de los multiplicadores. Diseño óptimo de estructuras. p. 1/3
26 Diseño óptimo de estructuras. p. 11/3 Dualidad ( )
27 Diseño óptimo de estructuras. p. 11/3 Dualidad ( ) Pero
28 Dualidad ( ) Pero. Lagrangiano: Diseño óptimo de estructuras. p. 11/3
29 Dualidad ( ) Pero. Lagrangiano: Diseño óptimo de estructuras. p. 11/3
30 Ejemplos (1/2) Y 1.5 f X Diseño óptimo de estructuras. p. 12/3
31 Ejemplos (1/2) Y 1.5 f Y 1.5 f X X Diseño óptimo de estructuras. p. 12/3
32 Ejemplos (2/2) Diseño óptimo de estructuras. p. 13/3
33 Ejemplos (2/2) Diseño óptimo de estructuras. p. 13/3
34 Ejemplos (2/2) Problema: se constata la inestabilidad física de la solución óptima. Volver al plan Diseño óptimo de estructuras. p. 13/3
35 Modelo con cargas aleatorias Diseño óptimo de estructuras. p. 14/3
36 Perturbaciones en las cargas Sea definida por si existe si no t.q. Diseño óptimo de estructuras. p. 15/3
37 Perturbaciones en las cargas Sea definida por si existe si no t.q. El problema de diseño original: ( ) Diseño óptimo de estructuras. p. 15/3
38 Perturbaciones en las cargas Sea definida por si existe si no t.q. El problema de diseño original: ( ) Perturbación aleatoria: Diseño óptimo de estructuras. p. 15/3
39 Modelo estocástico Minimización de la complacencia esperada: ( ) Diseño óptimo de estructuras. p. 16/3
40 Modelo estocástico Minimización de la complacencia esperada: ( ) Sea Se tiene que Diseño óptimo de estructuras. p. 16/3
41 Modelo estocástico Minimización de la complacencia esperada: ( ) Sea Se tiene que es infactible. Si Diseño óptimo de estructuras. p. 16/3
42 Ejemplo: distribución discreta Si entonces donde Diseño óptimo de estructuras. p. 17/3
43 Distribución continua (1/2) Sea v.a. continua con: Media. Matriz de varianza-covarianza. Diseño óptimo de estructuras. p. 18/3
44 Distribución continua (1/2) Sea v.a. continua con: Media. Matriz de varianza-covarianza Entonces. asociada a la media asociada a la dispersión Diseño óptimo de estructuras. p. 18/3
45 Distribución continua (2/2) y -ésima de la columna Sea... Volver al plan Diseño óptimo de estructuras. p. 19/3
46 Distribución continua (2/2) y -ésima de la columna Sea... Se tiene: ) ( ) ( Volver al plan Diseño óptimo de estructuras. p. 19/3
47 Experiencias numéricas Diseño óptimo de estructuras. p. 2/3
48 Ejemplo de juguete Modelo con una distribución de cargas: Diseño óptimo de estructuras. p. 21/3
49 Ejemplo de juguete Modelo con una distribución de cargas: Dos modelos estocásticos: 1.5 (a) (b) Diseño óptimo de estructuras. p. 21/3
50 Torre Diseño óptimo de estructuras. p. 22/3
51 Torre Diseño óptimo de estructuras. p. 22/3
52 Cúpula (1/3) Estructura base: Diseño óptimo de estructuras. p. 23/3
53 Cúpula (2/3) Solución óptima para una carga vertical: Diseño óptimo de estructuras. p. 24/3
54 Cúpula (3/3) Solución óptima con 2 perturbaciones horizontales independientes: Diseño óptimo de estructuras. p. 25/3
55 Otra solución inestable Diseño óptimo de estructuras. p. 26/3
56 Modelo estocástico Diseño óptimo de estructuras. p. 27/3
57 Último ejemplo Z X Y Diseño óptimo de estructuras. p. 28/3
58 f.2 Diseño óptimo de estructuras. p. 29/3
59 Dos modelos estocásticos Volver al plan Diseño óptimo de estructuras. p. 3/3
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