Conjuntos test en optimización entera no lineal. J. Gago M. I. Hartillo J. Puerto J.M. Ucha. Priego de Córdoba, de Septiembre 2013
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- Jesús Benítez Agüero
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1 Conjuntos test en optimización entera no lineal J. Gago M. I. Hartillo J. Puerto J.M. Ucha Priego de Córdoba, de Septiembre 2013
2 Método Walk-Back Programación entera con ayuda del álgebra Recordaremos algunas de las ideas desarrolladas para tratar el siguiente problema (P): mín c x, sujeto a Ax = b g 1 (x) C 1. g m (x) C m, x = (x 1,..., x n ) Z n 0, m 1. con A matriz entera. Se trata de un problema de programación entera no lineal (con función objetivo lineal).
3 Método Walk-Back Publicaciones hasta la fecha Cartera de valores entera An algebraic approach to integer portfolio problems. European Journal of Operational Research 2011 CGHPU. Fiabilidad Exact cost minimization of a series-parallel reliable system with multiple component choices using an algebraic method., Computers and Operations Research 2013 GHPU.
4 Método Walk-Back Tayur, Thomas y Natraj 1995 Nuestra inspiración inicial Tayur, Thomas y Natraj, en An algebraic geometry algorithm for scheduling in presence of setups and correlated demands, [Math. Programming (1995)], presentaron un método para encontrar una solución exacta para un tipo de problema entero con restricción de probabilidad.
5 Método Walk-Back Tayur, Thomas y Natraj 1995 Nuestra inspiración inicial Tayur, Thomas y Natraj, en An algebraic geometry algorithm for scheduling in presence of setups and correlated demands, [Math. Programming (1995)], presentaron un método para encontrar una solución exacta para un tipo de problema entero con restricción de probabilidad. Su método se puede generalizar para cualquier (P) como el descrito anteriormente. Usan una idea de Sturmfels [Gröbner bases and Convex Polytopes] para visitar, de forma ordenada, todos los puntos factibles de un problema de programación lineal entera.
6 Método Walk-Back Tayur, Thomas y Natraj 1995 El método se basa en: El cálculo de un conjunto test (test set) para un subproblema lineal (P L ) de (P). Un proceso de búsqueda inversa (walk-back) para alcanzar, comenzando en el óptimo de (P L ) el óptimo de (P).
7 Método Walk-Back Walk-back simple: conjuntos test Definición Un conjunto G >c Z N es un conjunto test de una familia de IP con matriz A y coste c si para cada punto no óptimo α factible de IP existe g G >c tal que α g es un punto factible y α > c α g, para el punto óptimo β de IP, β g es no factible para todo g G >c.
8 Método Walk-Back Walk-back simple: conjuntos test Definición Un conjunto G >c Z N es un conjunto test de una familia de IP con matriz A y coste c si para cada punto no óptimo α factible de IP existe g G >c tal que α g es un punto factible y α > c α g, para el punto óptimo β de IP, β g es no factible para todo g G >c. Un conjunto test proporciona un método para resolver un IP dado un punto factible: en cada paso, o existe un elemento del conjunto test que mejora al actual, o no hay mejora y estamos en el óptimo.
9 Método Walk-Back Walk-back simple: conjuntos test Conjuntos test algebraicos Los conjuntos test se pueden calcular usando bases de Gröbner de ciertos ideales tóricos asociados a A y c. Este paso puede ser el cuello de botella del problema, pero...
10 Método Walk-Back Walk-back simple: conjuntos test Conjuntos test algebraicos Los conjuntos test se pueden calcular usando bases de Gröbner de ciertos ideales tóricos asociados a A y c. Este paso puede ser el cuello de botella del problema, pero...
11 Método Walk-Back Walk-back simple: conjuntos test Conjuntos test algebraicos Los conjuntos test se pueden calcular usando bases de Gröbner de ciertos ideales tóricos asociados a A y c. Este paso puede ser el cuello de botella del problema, pero... Hemos encontrado muchos problemas para los que el tiempo de cálculo del conjunto test es muy razonable.
12 Método Walk-Back Walk-back simple: conjuntos test Conjuntos test algebraicos Los conjuntos test se pueden calcular usando bases de Gröbner de ciertos ideales tóricos asociados a A y c. Este paso puede ser el cuello de botella del problema, pero... Hemos encontrado muchos problemas para los que el tiempo de cálculo del conjunto test es muy razonable. A veces somos capaces de dar una fórmula cerrada los conjuntos test para familias de problemas.
13 Método Walk-Back Desandando el camino... Resolviendo (P) c 0 mejor coste de punto factible y 0 para (P)
14 Método Walk-Back Desandando el camino... Resolviendo (P) c 0 mejor coste de punto factible y 0 para (P) Calculamos β óptimo de (P L ).
15 Método Walk-Back Desandando el camino... Resolviendo (P) c 0 mejor coste de punto factible y 0 para (P) Calculamos β óptimo de (P L ). Si β es factible para (P), es óptimo de (P).
16 Método Walk-Back Desandando el camino... Resolviendo (P) c 0 mejor coste de punto factible y 0 para (P) Calculamos β óptimo de (P L ). Si β es factible para (P), es óptimo de (P). Si β no es factible para (P), usamos el esqueleto reverso G > c.
17 Método Walk-Back Desandando el camino... Resolviendo (P) c 0 mejor coste de punto factible y 0 para (P) Calculamos β óptimo de (P L ). Si β es factible para (P), es óptimo de (P). Si β no es factible para (P), usamos el esqueleto reverso G > c. Para cada γ punto obtenido mediante G > c :
18 Método Walk-Back Desandando el camino... Resolviendo (P) c 0 mejor coste de punto factible y 0 para (P) Calculamos β óptimo de (P L ). Si β es factible para (P), es óptimo de (P). Si β no es factible para (P), usamos el esqueleto reverso G > c. Para cada γ punto obtenido mediante G > c : Si c(γ) > c 0, podamos la rama.
19 Método Walk-Back Desandando el camino... Resolviendo (P) c 0 mejor coste de punto factible y 0 para (P) Calculamos β óptimo de (P L ). Si β es factible para (P), es óptimo de (P). Si β no es factible para (P), usamos el esqueleto reverso G > c. Para cada γ punto obtenido mediante G > c : Si c(γ) > c 0, podamos la rama. Si γ i < 0 podamos la rama.
20 Método Walk-Back Desandando el camino... Resolviendo (P) c 0 mejor coste de punto factible y 0 para (P) Calculamos β óptimo de (P L ). Si β es factible para (P), es óptimo de (P). Si β no es factible para (P), usamos el esqueleto reverso G > c. Para cada γ punto obtenido mediante G > c : Si c(γ) > c 0, podamos la rama. Si γ i < 0 podamos la rama. Si γ es factible para (P), y c(γ) < c 0, actualizamos c 0 e y 0.
21 Método Walk-Back Ventajas e incovenientes de la búsqueda Ventajas La búsqueda inversa nos proporciona de forma ordenada, mediante coste creciente, todos los puntos factibles de (P).
22 Método Walk-Back Ventajas e incovenientes de la búsqueda Ventajas La búsqueda inversa nos proporciona de forma ordenada, mediante coste creciente, todos los puntos factibles de (P). Un nuevo punto factible y 0 que mejore el coste, descarta todos los nodos pendientes de coste mayor o igual.
23 Método Walk-Back Ventajas e incovenientes de la búsqueda Ventajas La búsqueda inversa nos proporciona de forma ordenada, mediante coste creciente, todos los puntos factibles de (P). Un nuevo punto factible y 0 que mejore el coste, descarta todos los nodos pendientes de coste mayor o igual. Incoveniente principal Si los puntos factibles de (P) están muy lejos de β óptimo de (LP), el número de nodos a procesar es enorme. Si acortamos la región de búsqueda añadiendo restricciones lineales, el conjunto test cambia (generalmente se complica).
24 Método Walk-Back Problemas en la enumeración de puntos factibles Básicamente, el método de Walk-back realiza una búsqueda en anchura moviéndose mediante el conjunto test.
25 Método Walk-Back Problemas en la enumeración de puntos factibles Básicamente, el método de Walk-back realiza una búsqueda en anchura moviéndose mediante el conjunto test. Sturmfels en Gröbner bases and Convex polytopes Para evitar una lista demasiado grande de nodos activos durante el recorrido hacia atrás, es interesante usar la técnica de Avis & Fukuda 1992 (por cierto, pararelizable de forma natural.)
26 Método Walk-Back Mejoras en la búsqueda Procesamiento El tamaño de la lista de nodos activos crece muy rápidamente, en nuestro movimiento entre los puntos factibles de (P L ), mediante el conjunto test: Si los ordenamos por coste, el coste computacional es muy alto.
27 Método Walk-Back Mejoras en la búsqueda Procesamiento El tamaño de la lista de nodos activos crece muy rápidamente, en nuestro movimiento entre los puntos factibles de (P L ), mediante el conjunto test: Si los ordenamos por coste, el coste computacional es muy alto. Se tarda mucho en encontrar los mejores puntos factible para (P).
28 Método Walk-Back Mejoras en la búsqueda Procesamiento El tamaño de la lista de nodos activos crece muy rápidamente, en nuestro movimiento entre los puntos factibles de (P L ), mediante el conjunto test: Si los ordenamos por coste, el coste computacional es muy alto. Se tarda mucho en encontrar los mejores puntos factible para (P). Tenemos que ordenar la lista de pendientes mediante un balance entre coste y factibilidad para (P).
29 Método Walk-Back Notación (P) mín c x x A x B
30 Método Walk-Back Notación (P) mín c x x A x B (P) mín c x Ax = b g 1 (x) C 1. g m (x) C m
31 Método Walk-Back Notación (P) mín c x x A x B (P) mín c x Ax = b g 1 (x) C 1. g m (x) C m (P L ) mín c x x A
32 Método Walk-Back Notación (P) mín c x x A x B (P) mín c x Ax = b g 1 (x) C 1. g m (x) C m (P L ) mín c x x A (P L ) mín c x Ax = b
33 Método Walk-Back Funciones de penalización Función de penalización c p (x) = c(x) + P(x)
34 Método Walk-Back Funciones de penalización Función de penalización c p (x) = c(x) + P(x) P(x) = p(d(x, B)), d distancia de x a B.
35 Método Walk-Back Funciones de penalización Función de penalización c p (x) = c(x) + P(x) P(x) = p(d(x, B)), d distancia de x a B. Si B viene dado por g i (x) C i : P(x) = máx(g i (x) C i, 0)
36 Método Walk-Back Funciones de penalización Función de penalización c p (x) = c(x) + P(x) P(x) = p(d(x, B)), d distancia de x a B. Si B viene dado por g i (x) C i : P(x) = máx(g i (x) C i, 0) c p (x) = c(x) + µp(x) (penalización estática)
37 Método Walk-Back Funciones de penalización Función de penalización c p (x) = c(x) + P(x) P(x) = p(d(x, B)), d distancia de x a B. Si B viene dado por g i (x) C i : P(x) = máx(g i (x) C i, 0) c p (x) = c(x) + µp(x) (penalización estática) r(x) = (máx(g 1 (x) C 1, 0),..., máx(g m (x) C m ), 0)
38 Método Walk-Back Funciones de penalización Función de penalización c p (x) = c(x) + P(x) P(x) = p(d(x, B)), d distancia de x a B. Si B viene dado por g i (x) C i : P(x) = máx(g i (x) C i, 0) c p (x) = c(x) + µp(x) (penalización estática) r(x) = (máx(g 1 (x) C 1, 0),..., máx(g m (x) C m ), 0) c p (x) = c(x) + λ(t) r(x) (penalización adaptativa)
39 Método Walk-Back Funciones de penalización Función de penalización c p (x) = c(x) + P(x) P(x) = p(d(x, B)), d distancia de x a B. Si B viene dado por g i (x) C i : P(x) = máx(g i (x) C i, 0) c p (x) = c(x) + µp(x) (penalización estática) r(x) = (máx(g 1 (x) C 1, 0),..., máx(g m (x) C m ), 0) c p (x) = c(x) + λ(t) r(x) (penalización adaptativa) c p (x) = c(x) (2 D(x))
40 Método Walk-Back Funciones de penalización Función de penalización c p (x) = c(x) + P(x) P(x) = p(d(x, B)), d distancia de x a B. Si B viene dado por g i (x) C i : P(x) = máx(g i (x) C i, 0) c p (x) = c(x) + µp(x) (penalización estática) r(x) = (máx(g 1 (x) C 1, 0),..., máx(g m (x) C m ), 0) c p (x) = c(x) + λ(t) r(x) (penalización adaptativa) c p (x) = c(x) (2 D(x)) D(x) = ( d i (x)) 1/m
41 Método Walk-Back Funciones de penalización Función de penalización c p (x) = c(x) + P(x) P(x) = p(d(x, B)), d distancia de x a B. Si B viene dado por g i (x) C i : P(x) = máx(g i (x) C i, 0) c p (x) = c(x) + µp(x) (penalización estática) r(x) = (máx(g 1 (x) C 1, 0),..., máx(g m (x) C m ), 0) c p (x) = c(x) + λ(t) r(x) (penalización adaptativa) c p (x) = c(x) (2 D(x)) D(x) = ( d i (x)) 1/m { 1 si gi (x) C i d i (x) = C i si g i (x) > C i g i (x)
42 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Secuenciación de trabajos El problema tratado en Tayur, Thomas y Natraj, es un problema de secuencia de trabajos por lotes a máquinas, para minimizar costes de producción y puesta en marcha.
43 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Secuenciación de trabajos El problema tratado en Tayur, Thomas y Natraj, es un problema de secuencia de trabajos por lotes a máquinas, para minimizar costes de producción y puesta en marcha. Entre las restricciones las hay de capacidad temporal de las máquinas y una restricción de probabilidad para alcanzar la demanda.
44 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Secuenciación de trabajos El problema tratado en Tayur, Thomas y Natraj, es un problema de secuencia de trabajos por lotes a máquinas, para minimizar costes de producción y puesta en marcha. Entre las restricciones las hay de capacidad temporal de las máquinas y una restricción de probabilidad para alcanzar la demanda. Esta última restricción es de probabilidad con la forma: Prob( T x C) γ con T una matriz tecnológica que representa una muestra de demandas. Además hay correlación entre las variables, lo que hace más difícil el problema
45 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo n número de trabajos, indicados por i,
46 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo n número de trabajos, indicados por i, m número de máquinas, indicadas por j,
47 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo n número de trabajos, indicados por i, m número de máquinas, indicadas por j, (D 1,..., D n ) vector aleatorio de demandas,
48 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo n número de trabajos, indicados por i, m número de máquinas, indicadas por j, (D 1,..., D n ) vector aleatorio de demandas, C j capacidad (tiempo) de cada máquina,
49 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo n número de trabajos, indicados por i, m número de máquinas, indicadas por j, (D 1,..., D n ) vector aleatorio de demandas, C j capacidad (tiempo) de cada máquina, ( ˆD 1,..., ˆD n ) vector de medias de la probabilidad de distribución de demanda,
50 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo n número de trabajos, indicados por i, m número de máquinas, indicadas por j, (D 1,..., D n ) vector aleatorio de demandas, C j capacidad (tiempo) de cada máquina, ( ˆD 1,..., ˆD n ) vector de medias de la probabilidad de distribución de demanda, S ij tiempo de puesta en marcha para el trabajo i en máquina j,
51 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo n número de trabajos, indicados por i, m número de máquinas, indicadas por j, (D 1,..., D n ) vector aleatorio de demandas, C j capacidad (tiempo) de cada máquina, ( ˆD 1,..., ˆD n ) vector de medias de la probabilidad de distribución de demanda, S ij tiempo de puesta en marcha para el trabajo i en máquina j, K ij coste de puesta en marcha del trabajo i en máquina j,
52 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo M i tamaño de lote,
53 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo M i tamaño de lote, L ij coste de producción por unidad de i en máquina j,
54 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo M i tamaño de lote, L ij coste de producción por unidad de i en máquina j, L ij = ( ˆD i /M i )L ij,
55 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo M i tamaño de lote, L ij coste de producción por unidad de i en máquina j, L ij = ( ˆD i /M i )L ij, p ij tiempo de proceso de unidad de i en máquina j,
56 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo M i tamaño de lote, L ij coste de producción por unidad de i en máquina j, L ij = ( ˆD i /M i )L ij, p ij tiempo de proceso de unidad de i en máquina j, γ probabilidad de alcanzar la demanda.
57 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo M i tamaño de lote, L ij coste de producción por unidad de i en máquina j, L ij = ( ˆD i /M i )L ij, p ij tiempo de proceso de unidad de i en máquina j, γ probabilidad de alcanzar la demanda. z ij variable binaria trabajo i se planifica en j,
58 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo M i tamaño de lote, L ij coste de producción por unidad de i en máquina j, L ij = ( ˆD i /M i )L ij, p ij tiempo de proceso de unidad de i en máquina j, γ probabilidad de alcanzar la demanda. z ij variable binaria trabajo i se planifica en j, y ij multiplos de 1/M i de demanda de producto i planificado en j.
59 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Modelo (SP) minimiza (K ij z ij + L ij y ij ) i j m s.t. y ij = M i, i = 1, 2,..., n, (1) j=1 M i z ij y ij, i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., m, (2) n ( ) n p ij ˆD i /M i y ij + S ij z ij C j, j = 1, 2,..., m, (3) i=1 i=1 { n Prob p ij (D i /M i ) y ij + i=1 i=1 } n S ij z ij C j, j = 1, 2,..., m γ, z ij {0, 1}, y ij {0, 1,..., M i } (5) (4)
60 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Problema relajado (LSP) minimiza i (K ij z ij + L ij y ij ) j s.t. m y ij = M i, i = 1, 2,..., n, (6) j=1 M i z ij y ij, i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., m, (7) z ij {0, 1}, y ij {0, 1,..., M i }. (8)
61 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización Si x es el conjunto de variables y ij, z ij, consideraremos: G 0 (x) = γ g 0 (x), { n } n g 0 (x) = Prob p ij (D i /M i ) y ij + S ij z ij C j, j = 1, 2,..., m, i=1 i=1 G j (x) = g j (x) C j, n ( ) n g j (x) = p ij ˆDi /M i y ij + S ij z ij, j = 1, 2,..., m. i=1 i=1
62 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización La primera función de penalización es: T 0 (x) = c(x) + µp(x)
63 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización La primera función de penalización es: T 0 (x) = c(x) + µp(x) con m P(x) = máx(g j (x), 0). para calcular µ, consideramos j=0
64 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización La primera función de penalización es: T 0 (x) = c(x) + µp(x) con m P(x) = máx(g j (x), 0). j=0 para calcular µ, consideramos p óptimo del problema relajado (LSP),
65 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización La primera función de penalización es: T 0 (x) = c(x) + µp(x) con m P(x) = máx(g j (x), 0). j=0 para calcular µ, consideramos p óptimo del problema relajado (LSP), ρ = G 0 (p), c 0 = c(p)
66 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización La primera función de penalización es: T 0 (x) = c(x) + µp(x) con P(x) = para calcular µ, consideramos m máx(g j (x), 0). j=0 p óptimo del problema relajado (LSP), ρ = G 0 (p), c 0 = c(p) c 1 = i j (K ij + M i L ij )
67 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización La primera función de penalización es: T 0 (x) = c(x) + µp(x) con P(x) = para calcular µ, consideramos m máx(g j (x), 0). j=0 p óptimo del problema relajado (LSP), ρ = G 0 (p), c 0 = c(p) c 1 = i j (K ij + M i L ij ) µ 0 = c 1 c 0, α = log( c 0 ), y µ = αµ 0. ρ µ 0
68 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización La segunda función de penalización es: T 1 (x) = c(x)(2 D(x))
69 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización La segunda función de penalización es: T 1 (x) = c(x)(2 D(x)) Con D(x) = ( m j=0 d j(x)) 1/(m+1) y
70 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización La segunda función de penalización es: T 1 (x) = c(x)(2 D(x)) Con D(x) = ( m j=0 d j(x)) 1/(m+1) y { 1 si g0 (x) γ, d 0 (x) = g 0 (x) γ si g 0 (x) < γ. { 1 sigj (x) C j, d j (x) = C j j = 1, 2,..., m, g j (x) si g j (x) C j.
71 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Funciones de penalización La segunda función de penalización es: T 1 (x) = c(x)(2 D(x)) Con D(x) = ( m j=0 d j(x)) 1/(m+1) y { 1 si g0 (x) γ, d 0 (x) = g 0 (x) γ si g 0 (x) < γ. { 1 sigj (x) C j, d j (x) = C j j = 1, 2,..., m, g j (x) si g j (x) C j.
72 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Resultados computacionales Cuadro : 4 máquinas, 7 trabajos, M = 2, modelo original Walk-back Penalty T 0 Total Óptimo Total Óptimo γ T Nodos T Nodos T Nodos T Nodos 0, , , , , , , , , , , , , , , ,956 Max NNP Max 6194, ,960 Max NNP Max 14397, ,980 Max NNP Max NNP
73 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Resultados computacionales Cuadro : 4 máquinas, 7 trabajos, M = 2, modelo original Walk-back Penalty T 1 Total Óptimo Total Óptimo γ T Nodos T Nodos T Nodos T Nodos 0, , , , , , , , , , , , , , , ,956 Max NNP Max 239, ,960 Max NNP Max 5614, ,980 Max NNP Max NNP
74 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Mejora del modelo El modelo original admite una desigualdad lineal adicional z ij y ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m. (9)
75 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Mejora del modelo El modelo original admite una desigualdad lineal adicional z ij y ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m. (9) Añadir esta restricción disminuye el espacio de búsqueda
76 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Mejora del modelo El modelo original admite una desigualdad lineal adicional z ij y ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m. (9) Añadir esta restricción disminuye el espacio de búsqueda El cálculo de la base de Gröbner del modelo lineal mejorado sigue siendo muy rápido (menos de 1 s)
77 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Resultados computacionales Cuadro : 4 máquinas, 7 trabajos, M = 2, modelo mejorado Walk-back Penalty T 0 Total Óptimo Total Óptimo γ T Nodos T Nodos T Nodos T Nodos 0,888 3, , , , ,900 3, , , , ,932 5, , , ,1 63 0, , , , , , , , , , ,980 Max NNP 6355, ,7 3360
78 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Resultados computacionales Cuadro : 4 máquinas, 7 trabajos, M = 2, modelo mejorado Walk-back Penalty T 1 Total Óptimo Total Óptimo γ T Nodos T Nodos T Nodos T Nodos 0,888 3, , , ,1 97 0,900 3, , , ,2 97 0,932 5, , , ,1 63 0, , , , , , , , , , ,980 Max NNP 6316, ,5 9905
79 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Comparativa con otros resolutores Otros resolutores El resolutor Couenne devuelve el mensaje System error y para la ejecución sin devolver ningún punto.
80 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Comparativa con otros resolutores Otros resolutores El resolutor Couenne devuelve el mensaje System error y para la ejecución sin devolver ningún punto. Baron devuelve un punto que no es factible para la restricción de probabilidad, y no proporciona ningún mensaje sobre ello.
81 Aplicaciones: Secuenciación de trabajos Comparativa con otros resolutores Otros resolutores El resolutor Couenne devuelve el mensaje System error y para la ejecución sin devolver ningún punto. Baron devuelve un punto que no es factible para la restricción de probabilidad, y no proporciona ningún mensaje sobre ello. Bonmin no trata problemas con región factible no convexa, pero podría devolver (como heurístico) un punto factible. Sin embargo, el proceso acaba con un punto no factible para la restricción de probabilidad.
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