Resolución del problema. Problema: Los puntos extremos no tienen por qué ser enteros

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Blanca López Velázquez
hace 6 años
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1 Resolución del problema Problema: Los puntos extremos no tienen por qué ser enteros Si fueran enteros no habría problema por qué no obtener la envoltura convexa? demasiado costoso Hay unas formulaciones mejores que otras: más fuertes 31

2 Relajaciones lineales y Relación fundamental Visto en clase 32

3 Calidad de la solución: Brecha de suboptimalidad Visto en clase 33

4 Resolución del problema Solución: los métodos más extendidos son 1. Métodos de Planos de Corte: se introducen nuevas restricciones al problema relajado, hasta lograr que la solución óptima del nuevo problema sea entera. Se eliminan algunas soluciones continuas sin eliminar ninguna solución entera. 2. Métodos enumerativos: consisten en enumerar de forma impĺıcita las soluciones y mediante test o cotas para la función objetivo, descartarlas antes de conocerlas expĺıcitamente. El método Branch and Bound (Ramificación y Acotación): divide en problemas menores: ramificación y descarta algunos de ellos: acotación 3. Métodos híbridos: combinan las 2 estrategias anteriores El método Branch and Cut (Ramificación y Corte) 34

5 Resolución: Branch and Bound Método de enumeración impĺıcita: divide en problemas menores: ramificación y descarta algunos de ellos: acotación A veces puede usarse como heurístico, si no se exploran todos los nodos. Si se exploran todos sí se garantiza el óptimo. 35

6 Resolución: Branch and Bound Árbol de enumeración binario y Branch and Bound para problemas binarios: visto en clase 36

7 Resolución: Branch and Bound. Ejemplo problema entero máx2x 1 + 3x 2 5x 1 + 7x x 1 + 9x 2 36 x 1, x 2 Z + Óptimo lineal: (63/17,40/17), z = 14,4707 5x 1 + 7x 2 = 35 Cota: z opt 14,

8 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) Óptimo lineal: (63/17,40/17), z = 14,4707 5x 1 + 7x 2 = 35 Cota: z opt 14,

9 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) 4 x 1 + (4,2.14) z= x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (4,2,14), z = 14,43 Cota: z opt 14,

10 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) 4 x 1 + (4,2.14) z= x 2 + 5x 1 + 7x 2 = 35 Cota: z opt 14,

11 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) 4 x 1 + (4,2.14) z= x x 2 2 (4.19,2) z=14.4 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (4,19,2), z = 14,40 Cota: z opt 14,

12 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) 4 x 1 + (4,2.14) z= x x x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z=14.4 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (5,1,43), z = 14,29 Cota: z opt 14,

13 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) 4 x 1 + (4,2.14) z= x x x x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z=14.4 5x 1 + 7x 2 = 35 Cota: z opt 14,

14 (3.7059,2.3529) Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z= x x 2 1 (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (5,59,1), z = 14,2 Cota: z opt 14,

15 (3.7059,2.3529) Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z= x x 2 1 (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (6,0,71), z = 14,13 6 x 1 + (6,0.71) z=14.13 Cota: z opt 14,

16 (3.7059,2.3529) Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z= x x 2 1 (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 6 x 1 + (6,0.71) z=14.13 x 2 + Cota: z opt 14,

17 (3.7059,2.3529) Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z= x x 2 1 (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (7,0), z = 14 6 x 1 + (6,0.71) z=14.13 x x 2 0 (7,0) z=14 a: z opt 14,4707 Incumbent: 14 z opt 47

18 (3.7059,2.3529) Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z= x x 2 1 (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (5,1), z = 13 6 x x 1 5 (6,0.71) z=14.13 (5,1) z=13 x x 2 0 (7,0) z=14 a: z opt 14,4707 Incumbent: 14 z opt 48

19 (3.7059,2.3529) Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x 2 2 (4.19,2) z= x x 1 4 (5,1.43) z=14.29 (4,2) z=14 2 x x 2 1 (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (4,2), z = 14 6 x x 1 5 (6,0.71) z=14.13 (5,1) z=13 x x 2 0 (7,0) z=14 a: z opt 14,4707 Incumbent: 14 z opt 49

20 (3.7059,2.3529) Ejemplo 1 4 x x 1 3 (4,2.14) z=14.43 x x 2 2 (4.19,2) z= x x 1 4 (5,1.43) z=14.29 (4,2) z=14 (3,2.67) z=14 2 x x 2 1 (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (3,2,67), z = 1 6 x x 1 5 (6,0.71) z=14.13 (5,1) z=13 x x 2 0 (7,0) z=14 a: z opt 14,4707 Incumbent: 14 z opt 50

21 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) 4 x x 1 3 (4,2.14) z= x x 2 2 (4.19,2) z= x x 1 4 (5,1.43) z= x x 2 1 (5.59,1) z=14.2 (4,2) z=14 6 x x 1 5 (6,0.71) z=14.13 (5,1) z=13 (3,2.67) z=14 1 x x 2 0 (7,0) z=14 51

22 Ramificación y acotación 1. Resolver el problema lineal relajado asociado, si la solución es entera: solución óptima, si no es entera, inicializar la cota (best bound), inicializar valor mejor sol. entera (best integer) e ir al paso Ramificación: Crear dos subproblemas a partir de una variable entera x que tome un valor fraccional x, añadiendo una nueva restricción: Binaria: x = 0 y x = 1. Entera: x [x] y x [x + 1]. 3. Acotación: en cada subproblema, determinar una cota de la función objetivo. 52

23 Ramificación y acotación 4. Descarte: Se deja de desarrollar una rama si: la solución es entera: su valor mejora el valor mejor sol. entera? actualizar best integer y comparar con la best bound. la cota de la función objetivo es peor que el valor incumbente, descartar por acotación. el problema lineal asociado es infactible. 5. Si se ha obtenido una solución entera cuyo valor alcanza la best bound, parar, se ha obtenido una solución óptima. Si se ha llegado al final de todas las ramas, parar y escoger como óptima la solución con mejor función objetivo. 53

24 Ramificación y acotación. Comentarios Obtención de buenas cotas. Formulaciones más fuertes dan lugar a mejores cotas Ir aprovechando la información que se va obteniendo al desarrollar el árbol para actualizar la best bound Criterios para obtener cotas: relajación lineal, relajación lagrangiana. Criterios de ramificación: por qué nodo seguir? Escoger el último nodo generado (fácil reoptimizar). Escoger el nodo más prometedor (mejor cota). Criterios de ramificación: por qué variable ramificar? No es una decisión trivial. Depende de la estructura del problema. 54

25 Ramificación y acotación. Comentarios Branch and Bound como heurístico La diferencia entre la mejor cota y el valor de la solución incumbente nos da una idea de la calidad de la solución incumbente. Cómo medir la calidad a partir de esa diferencia? Diferencia absoluta: cuánto es de grande? Diferencia relativa: incumbente cota cota 55

26 Comentarios finales Si el tamaño del problema es muy grande y la estructura es compleja de manejar se pueden utilizar procedimientos heurísticos. Estos procedimientos devuelven una solución cercana al óptimo en un tiempo razonable. Solvers para Programación Entera: CPLEX, LAMPS, OSL, SBB, XA, XPRESS, et. Más información en:

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