Algoritmos de Aproximación para el problema de Corte de Multicaminos (Multiway Cut)

Transcripción

1 Algoritmos de Aproximación para el problema de Corte de Multicaminos (Multiway Cut) Julián Viera Curso de Algoritmos de Aproximación 2016 Facultad de Ingeniería - IMERL 24 de octubre de 2016

2 Definición del problema MC Aplicaciones del problema MC Complejidad del problema MC Agenda 1 El Problema Multiway Cut (MC)

3 Definición del problema MC Aplicaciones del problema MC Complejidad del problema MC Definición del problema MC Se considera un grafo conexo y no dirigido G = (V,E) con costos positivos asociados a sus aristas c : E R + un conjunto de k terminales S = {s 1, s 2,..., s k } V El problema Multiway Cut consiste en encontar el conjunto de aristas de E de mínimo costo que al ser removidas desconectan entre sí a todos los k vértices terminales de G. Es una generalización del problema de corte mínimo - flujo máximo entre dos vértices de un grafo.

4 Definición del problema MC Aplicaciones del problema MC Complejidad del problema MC Ejemplo de instancia del problema MC (a) Instancia del MC con k = 3 (b) Solución factible con costo = 14 (c) Solución óptima con costo = 7

5 Definición del problema MC Aplicaciones del problema MC Complejidad del problema MC Componentes Conexas asociadas a la solución óptima del MC Al remover las aristas de la solución óptima, el grafo se particiona en exactamente k componentes conexas, con cada una conteniendo un único vértice terminal.

6 Definición del problema MC Aplicaciones del problema MC Complejidad del problema MC Aplicaciones del problema Multiway Cut Minimización de costos de comunicación en sistemas de computación paralelos Asignación óptima de módulos de programa en sistemas multiprocesador Partición óptima de archivos entre nodos de una red Partición óptima de elementos de un circuito en subcircuitos independientes

7 Definición del problema MC Aplicaciones del problema MC Complejidad del problema MC Complejidad del problema Multiway Cut El problema MC es NP-completo para k 3 Para k = 2, el problema MC es equivalente al problema de determinar el flujo máximo - corte mínimo entre 2 vértices de un grafo, y es resoluble con algoritmos de tiempo polinómico (Ford-Fulkerson)

8 Descripción del algoritmo Factor de aproximación del AA 1 Ejemplo extremal del AA 1 Algoritmo combinatorio AA 1 para el Multiway Cut Corte aislante (isolating cut) de un terminal s i : conjunto de aristas de E que al ser removidas desconectan a s i del resto de los terminales de G. Algoritmo AA 1 : 1 Para cada i = 1,..., k determinar el corte aislante de costo mínimo del terminal s i. 2 Descartar el más costoso de estos cortes, y devolver la unión de los demás.

9 Descripción del algoritmo Factor de aproximación del AA 1 Ejemplo extremal del AA 1 AA 1 para el MC 1: Sea S = {s 1, s 2,..., s k } conjunto de vértices terminales de G 2: for i 1 to k do 3: t i contracción de S \{s i } 4: C i corte de costo mínimo s i t i 5: end for 6: Sea c(c 1 ) c(c 2 )... c(c k ) i=k 1 7: return C AA1 = i=1 C i AA 1 fue propuesto por Dahlhaus, Johnson, Papadimitriou, Seymour y Yannakakis en el artículo The complexity of multiway cuts, Symposium on the Theory of Computation (STOC) 1992.

10 Descripción del algoritmo Factor de aproximación del AA 1 Ejemplo extremal del AA 1 Ejemplo del AA 1. Paso 1, cálculo de cortes mínimos. Corte aislante C 1 de costo mínimo para el terminal s 1. c(c 1 ) = 6.

11 Descripción del algoritmo Factor de aproximación del AA 1 Ejemplo extremal del AA 1 Ejemplo del AA 1. Paso 1, cálculo de cortes mínimos. Corte aislante C 2 de costo mínimo para el terminal s 2. c(c 2 ) = 4.

12 Descripción del algoritmo Factor de aproximación del AA 1 Ejemplo extremal del AA 1 Ejemplo del AA 1. Paso 1, cálculo de cortes mínimos. Corte aislante C 3 de costo mínimo para el terminal s 3. c(c 3 ) = 4.

13 Descripción del algoritmo Factor de aproximación del AA 1 Ejemplo extremal del AA 1 Ejemplo del AA 1. Paso 2, unión de cortes y descarte.

14 Descripción del algoritmo Factor de aproximación del AA 1 Ejemplo extremal del AA 1 Teorema : El AA 1 tiene factor de aproximación 2(1 1 k ) A: corte multicaminos óptimo de G. A i, i = 1,..., k: corte que separa la componente del terminal s i en la solución óptima A. Se verifica que A = i=k i=1 A i. C i, i = 1,..., k: corte aislante óptimo del AA 1 para s i. c(c 1 ) c(a 1 ) c(c 2 ) c(a 2 ). c(c k ) c(a k ) k c(c i ) i=1 c(c AA1 ) k c(a i ) = 2c(A) = 2OPT i=1 ( 1 1 k ) k i=1 ( c(c i ) ) OPT k QED

15 Descripción del algoritmo Factor de aproximación del AA 1 Ejemplo extremal del AA 1 Un ejemplo extremal (tight) para el AA 1. Solución óptima del MC : k aristas del anillo OPT = k. Solución del AA 1 : k-1 aristas colgantes. c(c AA1 ) = (2 ɛ)(k 1) = (2 ɛ)(1 1 k )k = (2 ɛ)(1 1 k )OPT

16 Descripción del algoritmo Propiedades del AA 2 Factor de aproximación del AA 2 Algoritmo goloso AA 2 para el Multiway Cut Algoritmo AA 2 : 1 Calcular los cortes s i s j de costo mínimo para todos los pares de terminales {s i, s j } que aún estén conectados, y remover del grafo el corte de menor costo, denotado C ij. 2 Repetir el paso 1 hasta que todos los pares de terminales {s i, s j } queden desconectados. 3 Devolver C AA2 = C ij.

17 Descripción del algoritmo Propiedades del AA 2 Factor de aproximación del AA 2 Ejemplo del AA 2 (a) Grafo origen (b) Cortes mínimos entre terminales conectados (c) Selección y remoción del corte mínimo de menor costo (C 13)

18 Descripción del algoritmo Propiedades del AA 2 Factor de aproximación del AA 2 Ejemplo del AA 2 (d) Cortes mínimos entre terminales conectados (e) Selección y remoción del corte mínimo de menor costo (C 12) (f) Devolver C AA2 = C 12 C 13

19 Descripción del algoritmo Propiedades del AA 2 Factor de aproximación del AA 2 Propiedades del AA 2 goloso Sea S = {s 1, s 2,..., s k } el conjunto de vértices terminales. 1 El AA 2 ejecuta exactamente k 1 pasos. C AA2 = h=k 1 h=1 (C ij ) h

20 Descripción del algoritmo Propiedades del AA 2 Factor de aproximación del AA 2 Propiedades del AA 2 goloso Sea S = {s 1, s 2,..., s k } el conjunto de vértices terminales. 1 El AA 2 ejecuta exactamente k 1 pasos. C AA2 = h=k 1 h=1 (C ij ) h 2 s i S, existe al menos otro terminal s j tal que en algún paso de su ejecución el AA 2 va a elegir el corte C ij.

21 Descripción del algoritmo Propiedades del AA 2 Factor de aproximación del AA 2 Propiedades del AA 2 goloso Sea S = {s 1, s 2,..., s k } el conjunto de vértices terminales. 1 El AA 2 ejecuta exactamente k 1 pasos. C AA2 = h=k 1 h=1 (C ij ) h 2 s i S, existe al menos otro terminal s j tal que en algún paso de su ejecución el AA 2 va a elegir el corte C ij. 3 Sean C i el corte aislante de costo mínimo de s i, i = 1,..., k, y C ij cualquiera de los cortes del AA 2 que involucra a s i. Se verifica que c(c ij ) c(c i )

22 Descripción del algoritmo Propiedades del AA 2 Factor de aproximación del AA 2 Grafo de cortes del AA 2 goloso Es el grafo no dirigido G c obtenido a partir de la aplicación del AA 2, cuyos vértices son los terminales de G y en el que hay arista entre dos terminales s i y s j si y solo si AA 2 elige en alguno de sus pasos el corte C ij. Propiedad: El grafo de cortes G c del AA 2 es un árbol. Prueba: por propiedad 2) anterior tiene k vértices de grado mayor o igual a 1. Por propiedad 1) tiene k 1 aristas = es un árbol.

23 Descripción del algoritmo Propiedades del AA 2 Factor de aproximación del AA 2 Ordenamiento de las aristas del grafo de cortes G c del AA 2 Propiedad: Existe una función de mapeo F : S S tal las aristas de G c se pueden ordenar como {C 1F (1), C 2F (2),..., C (k 1)F (k 1) } Prueba: por construcción de F. 1: Sean S = {s 1, s 2,..., s k } y C = C AA2 2: Sea G c = (S, C) el grafo de cortes del AA 2 3: while S {s k } do 4: for all s i /grado(s i ) = 1 en G c y i k do 5: Sea j/c ij es la arista de G c que incide en s i = F (i) j 6: G c G c \{s i } 7: end for 8: end while

24 Descripción del algoritmo Propiedades del AA 2 Factor de aproximación del AA 2 Teorema : El AA 2 tiene factor de aproximación 2(1 1 k ) Prueba: C i, i = 1,..., k: corte aislante óptimo del terminal s i. Suponemos sin pérdida de generalidad que c(c 1 ) c(c 2 )... c(c k ) C if (i), i = 1,..., k 1: corte del AA 2 para s i en el ordenamiento de aristas de G c. c(c 1F (1) ) c(c 1 ) c(c 2F (2) ) c(c 2 ). c(c (k 1)F (k 1) ) c(c k 1 ) k 1 k 1 ( c(c AA2 ) = c(c if (i) ) c(c i ) = c(c AA1 ) ) OPT k i=1 i=1

25 Formulación como problema de programación lineal del MC Algoritmo de redondeo aleatorio para el MC Descripción del algoritmo AA 3 Factor de aproximación del AA 3 Modelo de Programación Lineal Entera para el MC Las variables del modelo son distancias binarias d entre todo par de nodos del grafo. c(e)d(u, v) min d(u,v) e=(u,v) E s.a. d(u, v) = d(v, u) 0 u, v V d(u, v) d(u, w) + d(w, v) u, v V d(s i, s j ) = 1 i, j S, i j d(u, v) {0, 1} u, v V

26 Formulación como problema de programación lineal del MC Algoritmo de redondeo aleatorio para el MC Descripción del algoritmo AA 3 Factor de aproximación del AA 3 Modelo Relajado de Programación Lineal para el MC Modelo LP min d(u,v) e=(u,v) E s.a. c(e)d(u, v) d(u, v) = d(v, u) 0 u, v V d(u, v) d(u, w) + d(w, v) u, v V d(s i, s j ) = 1 i, j S, i j 0 d(u, v) 1 u, v V Gap de integralidad de la relajación LP Puede probarse que esta relajación LP para el MC tiene un gap de integralidad de valor 2(1 1 k ).

27 Formulación como problema de programación lineal del MC Algoritmo de redondeo aleatorio para el MC Descripción del algoritmo AA 3 Factor de aproximación del AA 3 Un algoritmo de redondeo aleatorio para el Multiway Cut Algoritmo de redondeo aleatorio para el MC: 1 Resolver el problema relajado LP para obtener una solución del MC óptima fraccionaria. 2 Sortear aleatoriamente un valor de ρ en el intervalo [ 0, 1 2]. 3 Elegir para la solución toda arista (u, v) E / terminal s con d(u, s) ρ d(v, s).

28 Formulación como problema de programación lineal del MC Algoritmo de redondeo aleatorio para el MC Descripción del algoritmo AA 3 Factor de aproximación del AA 3 Valor esperado del algoritmo aleatorio para el MC Propiedad: (u, v) E, la probabilidad de esa arista se elegida por el algoritmo aleatorio esta acotada por 2d(u, v) Prueba (para un terminal dado s): P{se elige (u, v)} 2(d(v, s) d(u, s)) por tener ρ distribución uniforme de densidad 2. d(v, s) d(u, s) d(u, v) por cumplir d la desigualdad triangular. = P{se elige (u, v)} 2d(u, v)

29 Formulación como problema de programación lineal del MC Algoritmo de redondeo aleatorio para el MC Descripción del algoritmo AA 3 Factor de aproximación del AA 3 Valor esperado del algoritmo aleatorio para el MC Propiedad: (u, v) E, la probabilidad de esa arista se elegida por el algoritmo aleatorio esta acotada por 2d(u, v) Prueba (para un terminal dado s): P{se elige (u, v)} 2(d(v, s) d(u, s)) por tener ρ distribución uniforme de densidad 2. d(v, s) d(u, s) d(u, v) por cumplir d la desigualdad triangular. = P{se elige (u, v)} 2d(u, v) Teorema: El valor esperado del costo del corte C aleat elegido está acotado por 2OPT f Prueba: E [c(c aleat )] = c(e)p{e} c(e)2d(u, v) = 2OPT f e E e=(u,v) E

30 Formulación como problema de programación lineal del MC Algoritmo de redondeo aleatorio para el MC Descripción del algoritmo AA 3 Factor de aproximación del AA 3 Algoritmo de redondeo AA 3 para el Multiway Cut 1 Resolver el problema relajado LP para obtener una solución del MC óptima fraccionaria. 2 Para cada terminal s i, i = 1,..., k elegir ρ i en el intervalo ( 0, 1 ) 2 de forma de minimizar el costo de las aristas que atraviesan la frontera de la bola B d (s i, ρ i ). Estas aristas forman un corte aislante C i para s i. 3 Descartar el más costoso de estos cortes, y devolver la unión de los (k 1) cortes restantes.

31 Formulación como problema de programación lineal del MC Algoritmo de redondeo aleatorio para el MC Descripción del algoritmo AA 3 Factor de aproximación del AA 3 Teorema: El AA 3 tiene factor de aproximación 2(1 1 k ) Prueba: C i : corte de costo mínimo del AA 3 para el terminal s i. C = i=k i=1 costoso. C i : solución del AA 3 sin descartar el corte más C AA3 : corte solución del AA 3. C aleat : corte solución del algoritmo aleatorio. k c(c) = c(c i ) mín c(c aleat ) E [c(c aleat )] 2OPT f ρ i=1( c(c AA3 ) 1 1 ) ( c(c) ) OPT f QED k k

32 AA con mejores factores para el MC Un resultado de inaproximabilidad para el MC AA con mejores factores para el MC Algoritmo de factor k de Callinescu, Karloff y Rabani. Presentan la relajación CKR en el artículo An improved Approximation Algorithm for Multiway Cut, ACM Symposium on the Theory of Computation 1998, pp

33 AA con mejores factores para el MC Un resultado de inaproximabilidad para el MC AA con mejores factores para el MC Algoritmo de factor k de Callinescu, Karloff y Rabani. Presentan la relajación CKR en el artículo An improved Approximation Algorithm for Multiway Cut, ACM Symposium on the Theory of Computation 1998, pp Algoritmo de factor 1,3438 de Karger, Klein, Stein, Thorup y Young. Presentado en el artículo Rounding Algorithms for a Geometric Embedding of Minimum Multiway Cut, Journal Mathematics of Operations Research 29, 2004.

34 AA con mejores factores para el MC Un resultado de inaproximabilidad para el MC AA con mejores factores para el MC Algoritmo de factor k de Callinescu, Karloff y Rabani. Presentan la relajación CKR en el artículo An improved Approximation Algorithm for Multiway Cut, ACM Symposium on the Theory of Computation 1998, pp Algoritmo de factor 1,3438 de Karger, Klein, Stein, Thorup y Young. Presentado en el artículo Rounding Algorithms for a Geometric Embedding of Minimum Multiway Cut, Journal Mathematics of Operations Research 29, Algoritmo de factor 1,2965 de Sharma y Vondrak. Presentado en el artículo Multiway Cuts, Pairwise Realizable Distributions and Descending Thresholds, 2014.

35 AA con mejores factores para el MC Un resultado de inaproximabilidad para el MC Un resultado de inaproximabilidad para el MC Gap de Integralidad del Multiway Cut para la relajación CKR Freund y Karloff probaron en 2000 que MC tiene un gap de 8 integralidad de k 3, para la relajación CKR k 1 UG-hardness Manokaran et al. demostraron en 2008 que si la conjetura UGC (Unique Games Conjecture) es verdadera, es NP-hard hallar un factor de aproximación para el MC mejor que el gap de integralidad de la relajación CKR = la UG-hardness de MC es 8 7 ɛ 1,1428.

36 AA con mejores factores para el MC Un resultado de inaproximabilidad para el MC FIN Muchas gracias.