Grafos. CCIR / Depto Matemáticas CB102

Transcripción

1 CB102

2 Conceptos Los grafos son una técnica de modelación de problemas atractiva y útil. Problemas de diferentes áreas pueden ser modelados mediante su uso: redes de transporte de bienes de consumo, redes de computadoras, layout de habitaciones, conexión en circuitos lógicos etc.

5 Historia El tema de Teoría de apareció referenciado por primera vez en 1736 cuando el gran matemático suizo Leonard Euler ( ) publicó un artículo dandole solución a un acertijo.

6 Acertijo El problema resuelto y referido por Euler es una especie de acertijo; en la antigua ciudad de Konisberg de la Prusia del siglo XVIII el problema consistía en recorrer los puentes peatonales que están en el centro de la ciudad de forma tal que habrá que recorrerlos todos exactamente una vez y regresar al mismo sitio de inicio.

10 Digrafo Un grafo dirigido o digrafo G es un par ordenado G = (V, E). V representa un conjunto cuyos elementos se llamarán vértices o nodos y E es un conjunto de pares ordenados de elementos de V. A los elementos de E se les llamará lados o aristas o arcos. Si e = (v, w) es un lado en E diremos que v es su cola y que w es su cabeza, en este caso diremos que e incide en los vértices v y w.

11 Digrafo Un grafo dirigido o digrafo G es un par ordenado G = (V, E). V representa un conjunto cuyos elementos se llamarán vértices o nodos y E es un conjunto de pares ordenados de elementos de V. A los elementos de E se les llamará lados o aristas o arcos. Si e = (v, w) es un lado en E diremos que v es su cola y que w es su cabeza, en este caso diremos que e incide en los vértices v y w. Ejemplo Sea V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definamos como E = (x, y) V V x divide a y y x < y Así G = (V, E) es un digrafo.

12 Digrafo Un grafo dirigido o digrafo G es un par ordenado G = (V, E). V representa un conjunto cuyos elementos se llamarán vértices o nodos y E es un conjunto de pares ordenados de elementos de V. A los elementos de E se les llamará lados o aristas o arcos. Si e = (v, w) es un lado en E diremos que v es su cola y que w es su cabeza, en este caso diremos que e incide en los vértices v y w. Ejemplo Sea V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definamos como E = (x, y) V V x divide a y y x < y Así G = (V, E) es un digrafo

13 Grafo Un grafo no dirigido o grafo G es un par ordenado G = (V, E). V representa un conjunto cuyos elementos se llamarán vértices o nodos y E es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V. A los elementos de E se les llamará lados o aristas o arcos. Si e = {v, w} es un lado en E diremos que v y w son adyacentes. Convención V = n = número de vértices E = m = número de lados

14 Grafo Un grafo no dirigido o grafo G es un par ordenado G = (V, E). V representa un conjunto cuyos elementos se llamarán vértices o nodos y E es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V. A los elementos de E se les llamará lados o aristas o arcos. Si e = {v, w} es un lado en E diremos que v y w son adyacentes. Convención V = n = número de vértices E = m = número de lados Ejemplo Sea V = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} definamos como E = {x, y} x y y tienen factor común en V Así G = (V, E) es un grafo.

15 Grafo Un grafo no dirigido o grafo G es un par ordenado G = (V, E). V representa un conjunto cuyos elementos se llamarán vértices o nodos y E es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V. A los elementos de E se les llamará lados o aristas o arcos. Si e = {v, w} es un lado en E diremos que v y w son adyacentes. Convención V = n = número de vértices E = m = número de lados Ejemplo Sea V = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} definamos como E = {x, y} x y y tienen factor común en V Así G = (V, E) es un grafo

16 Subgrafo Un subgrafo de un grafo G = (V, E) es un grafo G = (V, E ) tal que V V, E E y que cada lado de E conecte vértices que están en E.

17 Grafo: Subgrafo Un subgrafo de un grafo G = (V, E) es un grafo G = (V, E ) tal que V V, E E y que cada lado de E conecte vértices que están en E. d f e g c a b

18 Grafo:Subgrafo Subgrafo Un subgrafo de un grafo G = (V, E) es un grafo G = (V, E ) tal que V V, E E y que cada lado de E conecte vértices que están en E. d f e g c a b

19 Subgrafo Un grafo se dice grafo completo si para cada par de vértices diferentes hay una arista que los une. K 2 2 1

20 Subgrafo Un grafo se dice grafo completo si para cada par de vértices diferentes hay una arista que los une. K

21 Subgrafo Un grafo se dice grafo completo si para cada par de vértices diferentes hay una arista que los une. 4 K

22 Grafo Subgrafo Una trayectoria de v a w en un grafo G = (V, E) es una sucesión de aristas v 0 v 1, v 1 v 2,..., v k 1 v k d f e g c donde v = v 0 y w = v k. La longitud de la trayectoria es el número de lados k. Una trayectoria es trayectoria simple si todos vértices, excepto quizá el primero y el último, son diferentes. Diremos que un vértice w es alcanzable desde v si existe un trayectoria que inicia en v y que termina en w. a b

23 Grafo Subgrafo Una trayectoria de v a w en un grafo G = (V, E) es una sucesión de aristas v 0 v 1, v 1 v 2,..., v k 1 v k d f e g c donde v = v 0 y w = v k. La longitud de la trayectoria es el número de lados k. Una trayectoria es trayectoria simple si todos vértices, excepto quizá el primero y el último, son diferentes. Diremos que un vértice w es alcanzable desde v si existe un trayectoria que inicia en v y que termina en w. a Trayectoria b ae, ed, df, fe

24 Grafo Subgrafo Una trayectoria de v a w en un grafo G = (V, E) es una sucesión de aristas v 0 v 1, v 1 v 2,..., v k 1 v k d f e g c donde v = v 0 y w = v k. La longitud de la trayectoria es el número de lados k. Una trayectoria es trayectoria simple si todos vértices, excepto quizá el primero y el último, son diferentes. Diremos que un vértice w es alcanzable desde v si existe un trayectoria que inicia en v y que termina en w. a Trayectoria b ed, df, fg

25 Grafo Subgrafo Una trayectoria de v a w en un grafo G = (V, E) es una sucesión de aristas v 0 v 1, v 1 v 2,..., v k 1 v k d f e g c donde v = v 0 y w = v k. La longitud de la trayectoria es el número de lados k. Una trayectoria es trayectoria simple si todos vértices, excepto quizá el primero y el último, son diferentes. Diremos que un vértice w es alcanzable desde v si existe un trayectoria que inicia en v y que termina en w. a b g es alcanzable desde a

26 Grafo Subgrafo Una trayectoria de v a w en un grafo G = (V, E) es una sucesión de aristas v 0 v 1, v 1 v 2,..., v k 1 v k d f e g c donde v = v 0 y w = v k. La longitud de la trayectoria es el número de lados k. Una trayectoria es trayectoria simple si todos vértices, excepto quizá el primero y el último, son diferentes. Diremos que un vértice w es alcanzable desde v si existe un trayectoria que inicia en v y que termina en w. a b c no es alcanzable desde a

27 Un ciclo es una trayectoria simple donde el primero y el último vértice son los mismos. Diremos que un grafo G = (V, E) es conexo, si para cada par de vértices distintos v i y v j en V, existe una trayectoria de v i a v j. Una componente conexa de G es un subgrafo maximal conexo. Camino = Trayectoria.

28 Grafo con Peso Un grafo con peso es un grafo G = (V, E) donde cada lado tiene asignado un número real: si e E, al número asignado a e se le llamará el peso del lado w(e). a d b f 8 7 e c g

29 Grafo Representación: Matriz de Adyacencia Representación: Listas de Adyacencia NULL NULL NULL 5 6 NULL NULL NULL NULL

30 Problemas Clásicos sobre : Instancia: Grafo G = (V, E) Ciclo Euleriano Es posible encontrar una trayectoria donde aparezca cada lado exactamente una vez iniciando y terminando en el mismo vértice?

31 Problemas Clásicos sobre : Instancia: Grafo G = (V, E) Ciclo Hamilton Es posible encontrar una trayectoria donde aparezca cada vértice exactamente una vez iniciando y terminando en el mismo vértice?

32 Problemas Clásicos sobre : Instancia: Grafo G = (V, E) Cubierta por Vértices Mínima Cuál es la cubierta por vértices mínima? Una cubierta por vértices es un conjunto de vértices V tal que todo lado de E tiene al menos un extremo en V.

33 Problemas Clásicos sobre : Instancia: Grafo G = (V, E) Máximo Clique Cuál es subgrafo de G que a su vez un grafo completo maximo?

34 Problemas Clásicos sobre : Instancia: Grafo G = (V, E) Conjunto Independiente Máximo Cuál es el máximo conjunto independiente de vértices de G? Un conjunto de vértices de un grafo se dice independiente si entre dos pares cualquiera del conjunto no existe un lado que los una.

35 Problemas Clásicos sobre : Instancia: Grafo G = (V, E) Coloreo de Cuál es el coloreo de G tal que c(v ) es mínimo? Un coloreo de G es una función que a cada vértice de V le asigna un entero positivo tal que dos vértices adyacentes tiene un diferente color asignado.

36 Búsqueda Primero en Profundidad int DFS(GRAFO grafo,int v) { int w; int entro=0; TDA ADYACENTE *adyacentes; MarcarDescubierto(v); adyacentes = grafo[v]; printf( Entrando al nodo %d,v); while (adyacentes!= NULL) { entro =0; w = adyacentes nodo; adyacentes = adyacentes next; if (!(DescubiertoQ(w)) ) { entro=1; DFS(grafo,w); } if (entro) printf( Regresando al nodo %d,v); } return (1); }

37 Ejemplo v 1 = A,adyacentes={B, F } A D B G F C E

38 Ejemplo v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} A D B G F C E

39 Ejemplo A D v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} v 3 = C,adyacentes={} B G F C E

40 Ejemplo A D v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} v 3 = C,adyacentes={} B G F C E

41 Ejemplo A D v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} v 3 = C,adyacentes={} v 4 = D,adyacentes={A, C} B G F C E

42 Ejemplo A B D G v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} v 3 = C,adyacentes={} v 4 = D,adyacentes={A, C} v 5 = A,visitado F C E

43 Ejemplo A B D G v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} v 3 = C,adyacentes={} v 4 = D,adyacentes={A, C} v 5 = A,visitado F C E

44 Ejemplo A B D G v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} v 3 = C,adyacentes={} v 4 = D,adyacentes={A, C} v 5 = A,visitado v 6 = C,visitado F C E

48 Ejemplo A F B C D E G v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} v 3 = C,adyacentes={} v 4 = D,adyacentes={A, C} v 5 = A,visitado v 6 = C,visitado v 7 = F,adyacentes={A, C}

49 Ejemplo A F B C D E G v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} v 3 = C,adyacentes={} v 4 = D,adyacentes={A, C} v 5 = A,visitado v 6 = C,visitado v 7 = F,adyacentes={A, C} v 8 = A,visitado

50 Ejemplo A F B C D E G v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} v 3 = C,adyacentes={} v 4 = D,adyacentes={A, C} v 5 = A,visitado v 6 = C,visitado v 7 = F,adyacentes={A, C} v 8 = A,visitado

51 Ejemplo A F B C D E G v 1 = A,adyacentes={B, F } v 2 = B,adyacentes={C, D} v 3 = C,adyacentes={} v 4 = D,adyacentes={A, C} v 5 = A,visitado v 6 = C,visitado v 7 = F,adyacentes={A, C} v 8 = A,visitado v 9 = C,visitado

54 Determinación de Componentes Conexas Determinar los subgrafos de un grafo que son maximalmente conexos. Aplicado en Grafo Dirigido: Hacerlo simétrico en el caso no dirigido. Código de los tres colores: Color blanco para nodos que no han sido visitados. Color gris para nodos cuyos hijos están siendo procesados. Color negros para nodos cuyos hijos fueron procesados.

55 Componentes Conexas int CompCon(GRAFO grafo,int n, int cc[]) { int nc=0; for (v=1; v n ; v++) color[v]=blanco; for (v=1; v n ; v++) if (color[v] == BLANCO) CompConA(grafo,color,v,++nc); return nc; int CompConA(GRAFO grafo,int color[], int v, int ncc, int cc[]) color[v] = GRIS; cc[v] = ncc; adyacentes = grafo[v]; while (adyacentes!= NULL) w = adyacentes nodo; adyacentes = adyacentes next; if ( color[w] == BLANCO) ) CompConA(grafo,color,w,ncc,cc); color[v] = NEGRO; return (1);