Hamilton, Euler y Dijkstra

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE COMPUTACION Matemáticas Discretas III (Cód. 6108) Práctica # 2 Hamilton, Euler y Dijkstra 1. Sea G = <V,A> un multigrafo no dirigido donde V = {v1,..., vn}. Para v V, sea d(v) el grado del vértice v. Muestre que d(v1) d(vn) = 2 A. 2. Demostrar que en todo multigrafo no dirigido, el número de vértices de grado impar es par. 3. Un multigrafo no dirigido G = <V,A> en el cual cada vértice tiene el mismo grado k se denomina k-regular. Es posible tener un multigrafo 6-regular con 9 arcos? 4. Dada la siguiente figura, determine si es posible recorrer todos los puentes sin repetir ninguno de ellos: 5. Un multigrafo no dirigido sin vértices aislados G tiene un circuito euleriano si existe un circuito en G que recorre cada arco de G exactamente una vez. Demostrar que G tiene un circuito euleriano si y sólo si G es conectado y todo vértice de G tiene grado par. 6. Sea G = <V,A> un multigrafo no dirigido sin vértices aislados. Un camino euleriano en G es un camino que recorre cada arco de A exactamente una vez. Demostrar que se puede construir un camino euleriano en G si y sólo si G es conectado y tiene exactamente dos vértices de grado impar. 7. Sea G = <V,A> un multigrafo. Un circuito hamiltoniano en G es un circuito C en G que contiene cada vértice en V. Demuestre que la longitud de C es V.

2 8. Sea G = <V,A> un multigrafo. Un camino hamiltoniano en G es un camino simple en G que contiene todos los vértices en V. Demuestre que si C es un circuito hamiltoniano en G entonces al eliminar un arco en C se obtiene un camino hamiltoniano en G. Muestre dos ejemplos de grafos que tengan camino hamiltoniano pero no circuito hamiltoniano. 9. Encuentre un ciclo hamiltoniano, si existe, para cada grafo siguiente. Si el grafo no contiene un ciclo hamiltoniano, determine si tiene un camino hamiltoniano. Además, determine si los grafos contienen circuito euleriano. 10. Sea G = <V,A> un multigrafo dirigido sin vértices aislados. Para x V, sean d+(x) el grado de salida del vértice x y d-(x) su grado de entrada. Demostrar que G tiene un circuito euleriano dirigido si y sólo si G es conexo y para todo x V se cumple que d+(x) = d (x). 11. Sea un torneo K * n un grafo dirigido completo con n vértices. Es decir, para cualquier par de vértices distintos x y y, exactamente uno de los arcos (x, y) o (y, x) está en K * n. Demostrar que todo torneo siempre contiene un camino hamiltoniano dirigido. 12. En un torneo de ajedrez cada jugador se enfrenta con cada uno de los demás jugadores exactamente una vez. Utilice un grafo dirigido para clasificar a los jugadores según el resultado del torneo. Cómo se aplica el teorema del ejercicio anterior a esta situación? 13. Sea G = <V,A> un grafo no dirigido sin lazos. Suponga que V = n 2. Sea d(x) el grado del vértice x V. Demostrar que si x, y V, x y, se cumple que d(x) + d(y) n 1 entonces G tiene un camino hamiltoniano. 14. Sea G = <V,A> un grafo no dirigido sin lazos tal que V = n 2. Demostrar que si x V, d(x) (n 1)/2 entonces G tiene un camino hamiltoniano. 15. Muestre un ejemplo de un grafo conectado tal que (a) no tenga circuitos eulerianos ni circuitos hamiltonianos; (b) tenga un circuito euleriano pero no tenga circuitos hamiltonianos; (c) tenga un circuito hamiltoniano pero no un circuito euleriano; (d) tenga un circuito hamiltoniano y un circuito euleriano. 16. Caracterice el tipo de grafo en el cual (a) un circuito euleriano es también un circuito hamiltoniano; (b) un camino euleriano es también un camino hamiltoniano.

3 17. Para que valores de n los siguientes grafos tienen un circuito euleriano? (a) K n (b) C n (c) W n (d) Q n. 18. Determine si los siguientes grafos tienen circuito o camino euleriano, de tener alguno de estos, construirlo. 19. Determine si los siguientes grafos tienen circuito o camino hamiltoniano, de tener alguno de estos, indicarlo.

4 20. Cuál es el objetivo del algoritmo de Dijkstra? 21. Mencione tres situaciones donde es conveniente utilizar este algoritmo. 22. Sea G = (V, A) el siguiente grafo ponderado: Calcule la distancia más corta del vértice a a cada uno de los otros vértices del grafo aplicando el algoritmo de Dijkstra. 23. Mediante el algoritmo de Dijkstra calcule la distancia más corta del vértice a a los vértices c y f en el siguiente grafo ponderado. 24. Sea G = (V, A) el siguiente grafo ponderado: Calcule el camino más corto desde el vértice d a todos los demás vértices del grafo. Indique el camino más corto desde el vértice d al vértice b.

5 25. Mediante el algoritmo de Dijkstra indique el camino más corto del vértice a cada uno de los vértices del grafo ponderado G = ( V, A ) siguiente: GDMDIII. Octubre 2012