GRAFOS CREACIÓN DE ÍNDICES EN GOOGLE DE LOS SITIOS DE LA RED DE INTERNET

Transcripción

1 GRAFOS CREACIÓN DE ÍNDICES EN GOOGLE DE LOS SITIOS DE LA RED DE INTERNET INDICE 1. Introducción 2. Conceptos matemáticos con ejemplos 3. Resolución de ejercicios 4. Ejercicios con Maxima 5. Explicación del modelo ilustrada con un ejemplo 6. Ejercicios propuestos sobre el tema 7. Bibliografía Tania Guzmán García Luis González Varela Alexandre González Rivas

2 1. Introducción La teoría de grafos es una disciplina antigua con muchas aplicaciones modernas. Sus ideales básicos fueron introducidos por el gran matemático suizo Leonhard Euler ( ) en el siglo XVIII. L. Euler utilizó los grafos para resolver el famoso problema de los puentes de Königsberg que se considera el primer trabajo sobre esta materia. Los grafos se emplean para resolver problemas de diversas áreas. Pueden utilizarse, por ejemplo, para determinar si se puede o no implementar un circuito sobre una placa de una sola capa, para estudiar la estructura de una red de Internet, para determinar si dos ordenadores están conectados o no dentro de una red informatizada, para hallar el camino más corto entre dos ciudades en una red de transportes, para trazar rutas de vuelo en un espacio aéreo concreto El primer ejemplo de trabajo con grafos fue este trabajo que surgió para resolver un problema en la ciudad de Königsberg (Rusia). La ciudad estaba dividida en cuatro partes por dos brazos del río Pregel estando conectadas por siete puentes. La pregunta que se hizo L. Euler fue: Es posible recorrer los siete puentes pasando por todos ellos una única vez, partiendo y llegando al mismo sitio? Para intentar resolver este problema representó esquemáticamente las áreas de tierra por puntos y los puentes por líneas conectando esos puntos. El resultado fue el siguiente grafo: B e1 e3 e2 e4 A e6 D e5 e7 C V = {A,B,C,D} E = {e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6,e 7 } e 1 = {A,B} e 7 = {C,D}

3 2. Conceptos matemáticos con ejemplos Grafo. Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. 1 Definición formal. Un grafo es un par G = (V,E), donde V es un conjunto finito no vacío, cuyos elementos se llaman vértices o nodos y, E es una familia, cuyos elementos se llaman aristas. Una rasita es un par no ordenado de vértices de V. 2 Grafo etiquetado con 6 vértices y 7 aristas. Tipos de grafos. Grafos simples. Un grafo simple es un conjunto de vértices y aristas. Las aristas unen pares de vértices, no habiendo dos aristas que conecten el mismo par. Multigrafos. Son grafos que contienen dos aristas que conectan el mismo par de vértices. Pseudografos. Son multigrafos que permiten la existencia de lazos o aristas que unen un vértice consigo mismo. Grafos dirigidos. Son grafos que, indistintamente de si son simples, multigrafos, o pseudografos, tienen aristas con dirección o aristas dirigidas. Los grafos sin aristas dirigidas son grafos no dirigidos Definición recogida en los apuntes de Matemática Discreta de la FIC ( ), tema 5 pág. 100

4 Terminologías o propiedades. Etiquetado. Distinción que se hace a los vértices y/o aristas mediante una marca que los hace unívocamente distinguibles del resto, es decir, asignarle a cada vértice o arista un nombre. Quedan registrados los vértices A y B y la arista que los une como e 1. A e 1 B Adyacencia. Se dice que dos vértices son adyacentes si hay una arista que los conecte entre ellos. A y B son adyacentes. A B Grado de un vértice. El grado de un vértice es un número natural de 0 al infinito que designa el número de aristas le conectan con otros vértices. El grado de A es 2. A B Incidencia. Una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro. E 1 es una arista incidente entre A y B. C A e 1 B Ponderación. Corresponde a una función que a cada arista le asocia un valor (costo, peso, longitud, etc.), para aumentar la expresividad del modelo. El valor ponderado de la arista entre A y B es 6. A 6 Camino. Un camino es una secuencia de aristas que comienzan en un vértice del grafo y recorren parte o la totalidad del grafo conectando vértices adyacentes. E,R,T,Y,U,I es un camino del grafo. 9 B C E R T Y U I

5 Circuito. Cuando existe un camino que empieza y acaba en el mismo vértice. El siguiente grafo contiene el circuito V,B,N,M,V. V B N M Isomorfismo. Si dos grafos son isomorfos sólo varía la apariencia, es decir, que se mantienen las adyacencias, estructura, caminos, ciclos, número de vértices y número de aristas. Los dos grafos son isomorfos. A B E R T C Conexo. Un grafo es conexo si tiene una única componente conexa, es decir, todos los vértices del grafo están relacionados. En el caso contrario sería un grafo disconexo. A B E R T Grafo conexo C Grafo disconexo Y

6 Familias de grafos simples Grafo regular. Un grafo simple es regular si todos sus vértices tienen el mismo grado. Grafo completo. El grafo completo es aquel que tiene exactamente una arista entre cada par de vértices. Grafo complementario. Un grafo complementario es aquel grafo que contiene todos los vértices del original y las aristas que no estás. Grafo original Grafo complementario Grafo bipartito. Un Grafo bipartito se denomina en Teoría de grafos a un grafo no dirigido cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos y teniendo que las aristas siempre unirán vértices de un conjunto con vértices de otro. Grafo bipartito completo. Cumple ambas condiciones.

7 Árboles Definición de árbol. Un árbol es un grafo conexo y sin ciclos o lazos, es decir, un grafo simple. G Un árbol etiquetado con 6 vértices y 5 aristas G Otros ejemplos de árboles Terminologías o propiedades. Definición de bosque. Un árbol es considerado un bosque si sus componentes conexas son árboles. Árbol generador. Un árbol generador de un grafo conexo es un subgrafo conexo con el menor número posible de aristas y con todos los vértices del grafo original. No tiene porque ser único. Árbol generador mínimo. El árbol generador mínimo es un árbol generador construido sobre un grafo conexo ponderado con un criterio de selección de aristas definido por su menor peso. Raíz. Un árbol con raíz es un árbol en el que uno de sus vértices ha sido designado como la raíz y todas las aristas están colocadas alejándose de dicha raíz. Raíz

8 Padre. Se considera padre de un vértice al vértice adyacente superior. Hijo. Se consideran hijos de un vértice a todos los vértices comunicados por una arista y adyacentes que se encuentren por de este. A es padre de B y C o lo que es lo mismo B y C son hijos de A A B C Hoja. Son los vértices que no tienen hijos. En este ejemplo A,B,C,D,E son hojas del árbol. A E D B C Búsqueda en profundidad y búsqueda en profundidad en grafos dirigidos. Búsqueda en profundidad. Una Búsqueda en profundidad es un algoritmo que permite recorrer todos los nodos de un grafo o árbol de manera ordenada, pero no uniforme. Su funcionamiento consiste en ir expandiendo todos y cada uno de los nodos que va localizando, de forma recurrente, en un camino concreto. Cuando ya no quedan más nodos que visitar en dicho camino, regresa, de modo que repite el mismo proceso con cada uno de los hermanos del nodo ya procesado

9 Algoritmo de ejemplo de una búsqueda en profundidad 4 : procedure BP(G: grafo conexo de vértices v 1,v 2, v n ) T:= árbol que consta sólo del vértice v 1 visita(v 1 ) procedure visita(v: vértice de G) for cada vértice w adyacente a v y que no esté en T begin añadir el vértice w y la arista {v,w} a T visita(w) end Búsqueda en profundidad en grafos dirigidos. La búsqueda en grafos dirigidos es muy similar a la búsqueda sobre un grafo no-dirigido, sin embargo, el resultado final no tiene porque ser un árbol generador del grafo original sino que puede ser un bosque. 5 a b c d a d j e i f j g k h l c g b f e h l k Una búsqueda de ejemplo en un grafo dirigido. j 4 Rosen, Kenneth H. Matemática discreta y sus aplicaciones, página Rosen, Kenneth H. Matemática discreta y sus aplicaciones, página 637.

10 3. Resolución de ejercicios

11 4. Ejercicios con Maxima 1. Escribe el nombre del paquete de Maxima que incorpora las funciones relacionadas con Teoría de Grafos. El paquete graphs permite trabajar con estructuras de grafos y digrafos en Maxima. 2. Escribe las funciones de dicho paquete que: Define y crea los grafos. create_graph Devuelve un ciclo de n vértices. cycle_graph Devuelve un camino de n vértices. path_graph Devuelve un árbol aleatorio de n vértices.. random_tree Determina si un grafo es conexo. is_connected (Devuelve true si el grafo gr es conexo y false en caso contrario) Devuelve las componentes conexas de un grafo. connected_components Determina si un grafo es un árbol. is_tree (Devuelve true si es un arbol y false en caso contrario) Devuelve un árbol generador de un grafo.

12 min_edge_cut Dibuja un grafo. draw_graph 3. Utilizando Maxima: Crea los grafos de los ejercicios del Rosen, pág. 509: 3, 4, 5, 7, 8. Rosen, pág. 538: Ejercicios 3, 4, 5, 6. Rosen, pág : Ejercicio 1. Obtén un árbol generador para cada uno los grafos de los ejercicios del Rosen, pág. 638: 2, 3, 13. /* [wxmaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/ /* [ Created with wxmaxima version ] */ load(graphs);

13 "EJERCICIO 3"; g:create_graph([1,2,3,4], [[1,2],[2,3],[1,3],[2,4]])$ print_graph(g)$ draw_graphs(g); "EJERCICIO 4"; "EJERCICIO 5"; "EJERCICIO 7"; "EJERCICIO 8"; "EJERCICIO 3 PAG 538"; g:create_graph([1,2,3], [[1,2],[2,3]])$

14 print_graph(g)$ is_connected(g); g:create_graph([1,2,3,4],[[1,4],[3,4]])$ print_graph(g)$ is_connected(g); "EJERCICIO 4 PAG 538"; load(graphs)4 g:create_graph([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[[1,2],[1, 3],[2,8],[3,7],[3,9],[4,8],[4,10],[5,9],[5,11],[6,10] ])$ print_graph(g)$ is_connected(g); "EJERCICIO 5 PAG 538"; g:create_graph([1,2,3,4,5,6],[[1,5],[1,3],[2,6],[2,4 ],[3,5],[4,6]])$ print_graph(g)$ is_connected(g);

15 "EJERCICIO 6 PAG 538"; "3"; g:create_graph([1,2,3], [[1,2],[2,3]])$ print_graph(g)$ connected_components(g); g:create_graph([1,2,3,4],[[1,4],[3,4]])$ print_graph(g)$ connected_components(g); "4"; load(graphs)4 g:create_graph([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[[1,2],[1, 3],[2,8],[3,7],[3,9],[4,8],[4,10],[5,9],[5,11],[6,10] ])$ print_graph(g)$ connected_components(g);

16 "5"; g:create_graph([1,2,3,4,5,6],[[1,5],[1,3],[2,6],[2,4 ],[3,5],[4,6]])$ print_graph(g)$ connected_components(g); "EJERCICIO 1 pag 598"; "a"; g:create_graph([1,2,3,4,5,6],[[1,4],[2,4],[2,5],[3,5 ],[3,6]])$ print_graph(g)$ is_tree(g); "b"; g:create_graph([1,2,3,4,5,6],[[1,4],[2,4],[3,5],[3,6 ]])$

17 print_graph(g)$ is_tree(g); "c"; g:create_graph([1,2,3,4,5,6],[[1,4],[2,5],[2,3],[3,6 ],[4,5]])$ print_graph(g)$ is_tree(g); "d"; g:create_graph([1,2,3,4,5,6],[[1,4],[2,4],[2,5],[3,5 ],[3,6],[4,5]])$ print_graph(g)$ is_tree(g); "e"; g:create_graph([1,2,3,4,5,6,7],[[1,4],[2,4],[3,4],[5,4],[6,4],[7,4]])$

18 print_graph(g)$ is_tree(g); "f"; g:create_graph([1,2,3,4,5,6],[[1,4],[1,6],[2,4],[2,5 ],[3,5],[3,6]])$ print_graph(g)$ is_tree(g); /* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */ "Created with wxmaxima"$

19 5. Explicación del modelo ilustrada con un ejemplo Conceptos previos. El grafo de red. La Red de Internet se puede representar por medio de un grafo dirigido en el que cada página web está representada por un vértice y en el que una arista comienza en la página a y termina en la b si hay un enlace en la página a que conduce a la b.[ ] 6 a b Ejemplo de un grafo de red Arañas web. Para indexar los sitios de la red de Internet, buscadores como Google, Hotbot y Lycos exploran sistemáticamente la Red comenzando en sitios conocidos. Estos buscadores utilizar los contenidos. Las arañas web utilizan tanto la búsqueda en anchura como en profundidad para crear índices. [ ] 7 Otra definición. Una araña web (o araña de la web) es un programa que inspecciona las páginas del World Wide Web de forma metódica y automatizada. Uno de los usos más frecuentes que se les da consiste en crear una copia de todas las páginas web visitadas para su procesado posterior por un motor de búsqueda que indexa las páginas proporcionando un sistema de búsquedas rápido. Las arañas web suelen ser bots (el tipo más usado de éstos). Las arañas web comienzan visitando una lista de URL s, identifica los hiperenlaces en dichas páginas y los añade a la lista de URL s a visitar de manera recurrente de acuerdo a determinado conjunto de reglas. 6 Rosen, Kenneth H. Matemática discreta y sus aplicaciones, página Rosen, Kenneth H. Matemática discreta y sus aplicaciones, página 637.

20 La operación normal es que se le da al programa un grupo de direcciones iniciales, la araña descarga estas direcciones, analiza las páginas y busca enlaces a páginas nuevas. Luego descarga estas páginas nuevas, analiza sus enlaces, y así sucesivamente. 8 Ejemplo de búsqueda en profundidad en un grafo dirigido. Partiendo del siguiente grafo explicaremos una búsqueda en profundidad 9 : a b c d e f g h i j k l Elegimos empezar por el vértice a para mantener un orden alfabético, podría empezarse por cualquier vértice del árbol en este caso, en otro árbol en el que la raíz fuera más clara debería ser el vértice raíz el primero. Siguiendo las aristas dirigidas de a nos encontramos con los siguientes caminos: 1) (a,b,c,g) y (a,b,f,e) lo que nos da como resultado el siguiente árbol: c g a b f e De a la arista dirigida nos lleva a b, de b, tenemos dos caminos, escogemos primero por orden alfabético ir a c y de este vértice a g; como no tenemos más caminos, volvemos a b y continuamos de b a f y de f a e. Nuevamente no tenemos por donde seguir. Esta parte está completa Rosen, Kenneth H. Matemática discreta y sus aplicaciones, página 632.

21 Ahora elegimos el vértice d, nuevamente por orden alfabético para continuar nuestra búsqueda. El camino resultante es (d,h,l,k,j). d h Esta vez es mucho más sencillo encontrar el camino, de d a h, de h a l, de l a k y de k a j. l k j j El único vértice no recogido por nuestros dos árboles es i, para este resultado de una búsqueda los árboles son los mostrados; una búsqueda que comenzara en otro vértice daría lugar a otros árboles.

22 6. Ejercicios propuestos sobre el tema 1.- De que tipo son los siguientes grafos. a) e) A B b) C D f) E R T c) Y g) d) a b c d e f g h h) i j k l

23 2.- Partiendo del siguiente árbol indica: a b c d e f g h i j a) Cuál es el vértice raíz? b) Qué vértices son hojas? c) Qué vértices son hijos de b? d) Qué vértice es padre de d? e) Cuáles son hermanos de e? f) Qué vértices son los antecesores de j? g) Cuáles son los posibles caminos de árbol?

24 3.- En un juego de ordenador en 2D, los usuarios gestionan una ciudad, diseñando y estructurando sus recursos e infraestructuras. Un amigo nuestro que juega a ese juego se ha encontrado con un problema que no consigue solucionar, tiene que enviar agua, luz y gas a seis viviendas desde las distintas estaciones que se la proporcionan pero no encuentra la manera de hacerlo. Serías capaz de ayudarle teniendo en cuenta que el mundo es un plano y por lo tanto las tuberías y los cables no se pueden cruzar? Luz Agua Gas

25 7. Bibliografía Rosen, Kenneth H. Matemática discreta y sus aplicaciones. Edición 5ª. McGraw-Hill, 2004 (Hay varios ejemplares disponibles en la biblioteca del Campus). García Merayo, Félix Matemática discreta. Edición 2ª ed. Paraninfo, D.L Kolman, Bernard Estructuras de matemáticas discretas para la computación. Edición 3ª. Prentice Hall, Apuntes de Matemática Discreta de la Facultad de informática de Coruña ( ) Poli Abascal Fuentes, Teoría de Grafos. Introducción a la Teoría de Grafos de Reinaldo Giudici Espinoza y Angeles Bris Lluch, editorial Equinoccio, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela, Un ejemplo de búsqueda en profundidad en grafos no dirigidos: es&u= kipedia.org/wiki/depth-first_search