Matemáticas Discretas TC1003
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- Héctor Belmonte Páez
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1 Matemáticas Discretas TC1003 Grafos: Básicos Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 1/12
2 Grafos: El tema de Teoría de Grafos apareció referenciado por primera vez en 1736 cuando el gran matemático suizo Leonard Euler ( ) publicó un artículo dandole solución.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 2/12
3 Grafos: El tema de Teoría de Grafos apareció referenciado por primera vez en 1736 cuando el gran matemático suizo Leonard Euler ( ) publicó un artículo dandole solución.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 2/12
4 Grafos: resuelto y referido por Euler es una especie de acertijo; en la antigua ciudad de Konisberg de la Prusia del siglo XVIII,m Figura 1: Un grabado antiguo de la ciudad. Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 3/12
5 Grafos: Figura 1: Un puente peatonal hoy en día. resuelto y referido por Euler es una especie de acertijo; en la antigua ciudad de Konisberg de la Prusia del siglo XVIII el problema consistia en recorrer los puentes peatonales que están en el centro de la ciudad de forma tal que,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 3/12
6 Grafos: Figura 1: El grabado con los puentes resaltados. resuelto y referido por Euler es una especie de acertijo; en la antigua ciudad de Konisberg de la Prusia del siglo XVIII el problema consistia en recorrer los puentes peatonales que están en el centro de la ciudad de forma tal que habrá que recorrerlos todos exactamente una vez y regresar al mismo sitio de inicio.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 3/12
7 Grafos: Figura 1: Un modelo de la situación. resuelto y referido por Euler es una especie de acertijo; en la antigua ciudad de Konisberg de la Prusia del siglo XVIII el problema consistia en recorrer los puentes peatonales que están en el centro de la ciudad de forma tal que habrá que recorrerlos todos exactamente una vez y regresar al mismo sitio de inicio.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 3/12
8 Grafos: actual Imagine un compañía que adquiere seis computadoras diferentes. Para armar una red de computadoras no es requerido conectar cada computadora a todas las restantes, más bien un consejo técnico se reune y decide por situaciones técnicas y de seguridad establecer las siguientes conexiones: Que la computadora A esté conectada a las computadoras: B, C,,m D, y E; Que la computadora B esté conectada a las computadoras: A, y C; Que la computadora C esté conectada a las computadoras: A, B, D, y E; Que la computadora D esté conectada a las computadoras: A y C; Que la computadora E esté conectada a las computadoras: A y C; Que la computadora F esté conectada a la computadora: E. Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 4/12
9 Lo anterior podría representarse por medio de un grafo.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 5/12
10 Lo anterior podría representarse por medio de un grafo. Cada computadora se representará por medio de un nodo o vértice (círculo o punto),m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 5/12
11 Lo anterior podría representarse por medio de un grafo. Cada computadora se representará por medio de un nodo o vértice (círculo o punto) y cada conexión entre computadoras se representará por medio de una arista o lado (línea, no necesariamente, recta uniendo los nodos correspondientes),m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 5/12
12 Lo anterior podría representarse por medio de un grafo. Cada computadora se representará por medio de un nodo o vértice (círculo o punto) y cada conexión entre computadoras se representará por medio de una arista o lado (línea, no necesariamente, recta uniendo los nodos correspondientes) B,m A C F E D Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 5/12
13 Grafos: Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos:.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 6/12
14 Grafos: Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Un conjunto V llamado de vértices o nodos.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 6/12
15 Grafos: Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Un conjunto V llamado de vértices o nodos y de otro conjunto E llamado de aristas o lados.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 6/12
16 Grafos: Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Un conjunto V llamado de vértices o nodos y de otro conjunto E llamado de aristas o lados. Asociado a cada elemento de E existe un conjunto de uno o dos vértices que se llamarán extremos del lado.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 6/12
17 Grafos: Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Un conjunto V llamado de vértices o nodos y de otro conjunto E llamado de aristas o lados. Asociado a cada elemento de E existe un conjunto de uno o dos vértices que se llamarán extremos del lado. La correspondencia entre lados y extremos del lado se llamará función lado-extremos.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 6/12
18 Grafos: Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Un conjunto V llamado de vértices o nodos y de otro conjunto E llamado de aristas o lados. Asociado a cada elemento de E existe un conjunto de uno o dos vértices que se llamarán extremos del lado. La correspondencia entre lados y extremos del lado se llamará función lado-extremos. Un lado que sólo tiene un vértice asociado en el conjunto de vértices extremos se dice ciclo o loop.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 6/12
19 Grafos: Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Un conjunto V llamado de vértices o nodos y de otro conjunto E llamado de aristas o lados. Asociado a cada elemento de E existe un conjunto de uno o dos vértices que se llamarán extremos del lado. La correspondencia entre lados y extremos del lado se llamará función lado-extremos. Un lado que sólo tiene un vértice asociado en el conjunto de vértices extremos se dice ciclo o loop. Dos lados que tiene el mismo conjunto de vértices extremos se dicen lados paralelos.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 6/12
20 Grafos: v 2 e 3 e 1 e 2 v 3 v 4 e 4 e 5 v 5 v 6 e 6 v 7,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 7/12
21 Grafos: v 2 e 3 e 1 e 2 v 3 v 4 e 4 e 5 v 5 v 6 e 6 v 7,m Conjunto de vértices: {,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6,v 7 } Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 7/12
22 Grafos: v 2 e 3 e 1 e 2 v 3 v 4 e 4 e 5 v 5 v 6 e 6 v 7,m Conjunto de vértices: {,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6,v 7 } Conjunto de lados: {e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 } Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 7/12
23 Grafos: v 2 e 3 e 1 e 2 v 3 v 4 e 4 e 5 v 5 v 6 e 6 v 7,m Conjunto de vértices: {,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6,v 7 } Conjunto de lados: {e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 } Lados Paralelos: e 2 y e 3 Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 7/12
24 Grafos: v 2 e 3 e 1 e 2 v 3 v 4 e 4 e 5 v 5 v 6 e 6 v 7,m Conjunto de vértices: {,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6,v 7 } Conjunto de lados: {e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 } Lados Paralelos: e 2 y e 3 Lazos o Cíclos: e 5 Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 7/12
25 Grafos: v 2 e 3 e 1 e 2 v 3 v 4 e 4 e 5 v 5 v 6 e 6 v 7,m Conjunto de vértices: {,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6,v 7 } Conjunto de lados: {e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 } Lados Paralelos: e 2 y e 3 Lazos o Cíclos: e 5 Vértices aislados: v 5 Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 7/12
26 Grafos: v 2 e 3 e 1 e 2 v 3 v 4 e 4 e 5 v 5 v 6 e 6 v 7,m Conjunto de vértices: {,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6,v 7 } Conjunto de lados: {e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 } Lados Paralelos: e 2 y e 3 Lazos o Cíclos: e 5 Vértices aislados: v 5 Vértices adyacentes: y v 4, v 2 y v 3, v 3 y v 4, v 6 y v 7, y v 4 es adyacente con él mismo. Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 7/12
27 Definición: Un es un grafo que no tiene ciclos ni lados paralelos. Ejemplos,m G 1 G 2 G 3 v 2 v 2 v 3 v 2 v 4 G 4 v 2 v 4 v 3 v 3 Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 8/12
28 Grafo Completo con n vértices: Definición: Sea n un entero positivo. Un Grafo Completo con n vértices es un grafo simple donde todos los vértices están conectados por un lado:.,m Ejemplos v 4 v 2 v 2 v 2 v 4 v 5 v 3 v 3 v 3 v 2 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 9/12
29 Grafo Completo Bipartita:,m Definición: Sean n y m dos enteros positivos (iguales o diferentes). Un Grafo Completo Bipartita en (n,m) vértices es un grafo simple con vértices, v 2,...,v n, w 1, w 2,...,w m tal que los únicos lados son los lados que conectan todos los vértices v i con todos los vértices w j :,m.,m Ejemplos v 3 v 3 w 3 w 2 v 2 w 2 v 2 v 2 w 2 w 1 w 1 w 1 K 2,2 K 3,2 Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 10/12 K 3,3
30 El grado de un vértice Definición: Sea G un grafo y v un vértice de G. El grado de v es el número de lados que indicen en v (Los ciclos cuentan doble). Se simboliza por. El grado total de G es la suma de los grados de todos los vértices de G. Se simboliza por deg(g). Ejemplo En el grafo G:,m a f b e c d Se tiene deg(a) = 4, deg(b) = 2, deg(c) = 4, deg(d) = 2, deg(e) = 4, deg(f) = 0, y deg(g) = 16 Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 11/12
31 Básicos en Grafos Sea G = (V,E) un grafo, entonces se cumple: La suma de todos los grados de los vértices de G es igual a dos veces el número de lados. La suma de los grados de los vértices da un número par. El número de vértices que tienen grado impar en el grafo G es un número par.,m Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 12/12
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