Teoría de Grafos I. 2. Describa tres situaciones prácticas en las cuales un grafo pueda ser útil.

Transcripción

1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE COMPUTACION Matemáticas Discretas III (Cód. 6108) Práctica # 1 Teoría de Grafos I 1. Defina y de ejemplos de cada uno de los siguientes conceptos. (a) Multigrafos dirigidos y no dirigidos. (b) Grafo simple. (c) Grado de un vértice; multiplicidad de un par de vértices. (d) Grafo completo; grafo complementario; grafo bipartito. (e) Subgrafo. (f) Camino; camino simple; circuito. (g) Grafo conectado; componentes conectadas; conjunto de corte. (h) Matrices de adyacencia y de incidencia. 2. Describa tres situaciones prácticas en las cuales un grafo pueda ser útil. 3. Considere el siguiente grafo (a) Muestre tres caminos de longitud 5. (b) Muestre tres circuitos. (c) Es este grafo conectado? 4. Se debe planificar un calendario para los cinco equipos de fútbol de una liga. Si cada equipo juega con otros dos, diseñe un calendario usando un grafo. 5. Sea G = <V,A> un grafo no dirigido con x, y V, x y. Demostrar que si existe un camino sin repetir aristas en G de x a y entonces existe un camino simple en G de x a y.

2 6. Sea G = <V,A> un grafo no dirigido sin lazos tal que V = n y A = m. Demuestre que 2m n 2 n. Establezca la desigualdad correspondiente en caso que G sea dirigido. 7. Si x y y son vértices distintos de un grafo no dirigido G, la distancia de x a y se define como la longitud del camino simple más corto de x a y (si x = y, la distancia se define como 0). Determine las distancias de c a cada uno de los vértices en el siguiente grafo. 8. Siete ciudades a, b, c, d, e, f y g están conectadas por un sistema de autopistas como sigue: (1) A22 va de a a c, pasando por b; (2) A23 va de c a d, luego pasa por b y continúa hacia f; (3) A44 va de d por e hacia a; (4) A55 va de f a b, pasando por g y (5) A66 va de g a d. (a) Use vértices para las ciudades y aristas dirigidas para los tramos de autopista de las unen y dibuje un grafo dirigido que modele esta situación. (b) Enumere los caminos simples de g a a. (c) Cuál es el menor número de segmentos de autopista que tendrían que cerrarse para interrumpir el paso de b a d. (d) Es posible salir de la ciudad c y regresar a ella, visitando una sola vez las otras ciudades? (e) Cuál es la repuesta a la pregunta anterior si no es necesario regresa a c? (f) Si se permite visitar una ciudad más de una vez y no es necesario regresar a la ciudad donde se inició el recorrido, es posible comenzar en alguna ciudad y viajar por todas las autopistas exactamente una vez? 9. Sea G = <V,A> un grafo no dirigido sin lazos y sea {a, b} un arco de G. Demuestre que el arco {a, b} es parte de un circuito si y sólo si al eliminarlo (conservando los vértices a y b), G no se vuelve desconectado. 10. De un ejemplo de un grafo conectado G tal que al eliminar cualquier arista de G se obtenga un grafo desconectado.

3 11. Sea G = <V,A> un grafo no dirigido. Definimos una relación R sobre V como: x R y si x = y o si existe un camino simple en G de x a y. Muestre que R es una relación de equivalencia. Describa la partición de V inducida por R. 12. Especifique un grafo no dirigido conectado G con al menos 6 vértices. Muestre dos subgrafos de G y el subconjunto de vértices que induce cada subgrafo. 13. Sea v un vértice de un grafo G = <V,A>. El subgrafo de G denotado G v tiene el conjunto de vértices V1 = V {v} y el conjunto de arcos A1 A tal que A1 contiene todos los arcos en A excepto los incidentes con el vértice v. Es decir, G v es el subgrafo inducido de G generado por V1. De forma similar, si a es un arco del grafo G, definimos el subgrafo G a = <V1, A1> donde A1 = A {a} y V1 = V. Es decir, G a es el subgrafo recubridor de G generado por A1. Considere G el grafo siguiente Muestre los subgrafos (a) (G b) f. (b) (G f) b. (c) (G {b, c}) {g, h} (d) El subgrafo de G generado por V1 = V {b, f} = {a, c, d, e, g, h, i}. 14. Sea G = <V,A> un grafo no dirigido y G1 = <V1, A1> un subgrafo de G En cuáles condiciones G1 no es un subgrafo inducido de G? 15. Si G = <V,A> es un grafo no dirigido, cuántos grafos parciales (subgrafos recubridores) de G son también subgrafos inducidos? 16. Sea G = <V,A> un grafo no dirigido tal que V 2. Si todos los subgrafos inducidos de G son conectados, podemos identificar al grafo G?

4 17. Determine si los siguientes grafos son isomorfos. 18. Encuentre todos los grafos no dirigidos sin lazos no isomorfos con cuatro vértices. Cuántos de estos grafos son conexos? 19. Sea Kn un grafo completo con n vértices. Muestre Kn para 1 n Sea Km,n = <V1, V2, A> un grafo bipartito completo con V1 = m y V2 = n. Muestre K1,1; K1,2; K2,2; K2,3; K3,3; K3, Sea G un grafo no dirigido sin lazos con n vértices y m arcos. Cuántos arcos tiene el complemento Ḡ? 22. Sea f : G1 G2 un isomorfismo de grafos. Si existe un camino simple de longitud 3 entre los vértices a y b de G1, demuestre que en G2 existe un camino simple de longitud 3 entre los vértices f(a) y f(b). 23. Sean G1 y G2 dos grafos no dirigidos sin lazos. Demuestre que G1, G2 son isomorfos si y sólo si Ḡ1 y Ḡ2 son isomorfos. 24. Un grafo no dirigido G es autocomplementario si es isomorfo a su complemento Ḡ. Muestre un ejemplo de un grafo autocomplementario con 4 vértices y otro con 5 vértices. Si un grafo autocomplementario G tiene n vértices cuántos arcos debe tener G? 25. Demostrar que un grafo no dirigido conectado con n vértices debe tener al menos n 1 arcos (n 1). 26. Muestre si es cierto o no que un grafo es bipartito si y sólo si cualquiera de sus arcos forma un conjunto de corte. 27. En un multigrafo no dirigido conectado, un vértice v es un punto de corte si {v} es un conjunto de corte. Demostrar que un vértice v es un punto de corte si y sólo si existen dos vértices x y y tales que cada cadena uniendo x y y pasa a través de v.

5 28. Sea W n un grafo rueda con n vértices. Muestre W n para 3 n Sea C n un grafo ciclo con n vértices. Muestre C n para 3 n Para cuales valores de n es el grafo rueda bipartito? Responda lo mismo para el grafo n-cubo Q n y para el grafo ciclo C n. 31. Demuestre que en todo grafo con al menos 2 vértices, deben haber 2 vértices con el mismo grado. 32. Cuántos vértices y cuántas aristas tienen los siguientes grafos? (a) K n (b) C n (c) W n (d) K m,n (e) Q n 33. Consiga el número de caminos entre los vértices a y e del grafo del ejercicio 3 de longitud 2, 3 y Consiga el número de caminos entre los vértices c y h del grafo del ejercicio 7 de longitud 2, 3 y Consiga el número de caminos de longitud 2, 3, 4 y 5 entre cualquier par de vértices de los grafos K 4 y K 3,3. GDMDIII. Octubre 2012