Instituto de Matemática y Física Taller de Matemática 2009 Estudiantes de Enseñanza Media

Transcripción

1 Taller 6 Introducción Desde niños (as) sabemos como dibujar una estrella sin levantar el lápiz ni pasar dos veces por el mismo trazo. Si no la han hecho nunca vean que es posible. Un desafío que muchas veces se plantea consiste en, dibujar sin levantar el lápiz ni pasar dos veces por la misma línea, el siguiente dibujo Conocido como el sobre abierto. Problema 1. Sobre abierto Dibuja el sobre abierto con las condiciones requeridas. De cuantas maneras distintas se puede trazar este dibujo?, Una, dos, más que dos? Problema 2. Sobre cerrado Qué pasa si consideramos un sobre cerrado? Este tipo de problemas se relaciona con el problema que entretenía a los habitantes de Königsberg, Prusia (1770) (actualmente Kalingrado, Rusia), a saber: Por la ciudad pasa el río Pregel y en el río hay dos islas que se conectan con el resto de la ciudad por siete (7) puentes como muestra la figura.

2 Los puentes se muestran entre las líneas negras. La entretención de los habitantes de la ciudad consistía en tratar de encontrar un recorrido que partiera en alguna parte de la ciudad y que pasara por todos los puentes (los 7) sin pasar por ninguno de ellos mas que una vez. Leonard Euler, uno de los mas grandes matemáticos que ha existido, se intereso por el problema cuando vivió en esta ciudad y lo resolvió. Lo primero que se dio cuenta es que en este problema las distancias no tienen ninguna importancia y lo realmente crucial es la manera en que las porciones de tierra están conectadas unas con otras. De esta manera hizo una abstracción del problema, asignando a cada porción de tierra un vértice y a cada puente una arista, obteniendo el siguiente esquema: Problema 3. Una explicación a) Explica como los problemas anteriores se relacionan con este. b) Trata de encontrar un recorrido que realice lo pedido. (Puede ser útil asociar a cada vértice un nombre (por ej. a,b,c, etc. o 1,2,3,tec.) Estas consideraciones llevan a hacer la siguiente definición: Definición Un grafo es un diagrama que consiste de puntos llamados vértices unidos por líneas, llamadas aristas, donde cada arista une exactamente dos vértices.

3 Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices. Ejemplos: Para los dibujos de la primera página tenemos: Problema 4. Dibujando grafos Dibujar los grafos correspondientes al sobre abierto y al cerrado. Como usamos estos esquemas para poder decir algo sobre los problemas que nos interesan. Observamos que en un grafo se pueden contar el número de vértices y el número de aristas. Mas aún podemos contar el numero de aristas que inciden (llegan o salen) de cada vértice. Es natural entonces la siguiente Grado Definición: Si v es un vértice de un grafo entonces su grado, denotado gr(v), es el número de aristas incidentes en él. Ejemplo: c b d a El vértice a tiene grado 1, el vértice b tiene grado 3, los vértices c y d tienen grado 2 c/u. Problema 5. Hallando grados Para los grafos anteriores encuentre los grados. Que puede decir para aquellos donde Ud. puede realizar un dibujo sin levantar el lápiz y sin pasar por una arista más de una vez. Problema 6. Más grados Realice tres dibujos de la manera descrita, asóciele un grafo, vea que puede decir sobre los grados.

4 Otras definiciones Definición: Un recorrido en un grafo es una sucesión de vértices y aristas alternadas, que comienza con un vértice y termina con otro vértice: v 1 e 1 v 2 e 2.e k v k El vértice v 1 se llama inicio y v k se llama final. Exigimos además que las aristas sean distintas Definición: Un circuito es un recorrido que comienza y termina en el mismo vértice. Definición: Un recorrido es de Euler si es un recorrido que pasa por todos las aristas del grafo Definición: Un circuito es de Euler si es un circuito que es un recorrido de Euler Con estas definiciones vemos que nuestro problema de trazar un dibujo se reduce a encontrar un recorrido que pase por todas las aristas del grafo correspondiente. Observe el grafo siguiente: Problema 7. Un grafo especial Considerar el grafo anterior. Compruebe que es posible realizar este dibujo (con las reglas = sin levantar el lápiz y sin pasar 2 veces por la misma arista). Sirve cualquier vértice como inicio? Se puede dibujar trazando un circuito? Al estudiar el problema de los puentes de Königsbeg, Euler concluyó que para encontrar el camino que pasara por todos los puentes y sin repetirse ninguno se debería tener que en cada vértice interior (esto es diferente al de partida y llegada) al que se llegara debería haber una manera de salir de ese vértice por otra arista (= puente) que no hubiese sido usado. Resumiendo si se llega a un vértice vía una arista se debería salir del vértice vía otra arista no usada. Por lo tanto, siempre que cada vértice interior tiene grado par sería posible salir de ese vértice usando una arista no usada. Euler también se dio cuenta que si el recorrido empieza y terminan en vértices distintos, estos vértices deben tener grado impar. Problema 8. Razonando Usando el razonamiento de Euler compruebe que es imposible realizar un recorrido que pase por todos los puentes de Königsbeg con las condiciones planteadas. Compruebe que es imposible para el sobre cerrado y que si es posible para el sobre abierto. Qué puede decir del sobre abierto en ambos extremos.?

5 Problema 9. Para los grafos completa la tabla siguiente Grafo Cantidad de vértices de grado impar Cantidad de vértices de grado par Hay recorrido de Euler =RE Hay circuito de Euler =CE 1 2 Se puede demostrar lo siguiente: 3 4 Teorema 1. Un grafo conexo G admite un circuito de Euler si y solo si todo vértice tiene grado par. Además, un grafo conexo tiene un recorrido de Euler si y solo si tiene exactamente dos vértices de grado impar. Conexo significa que el grafo cosiste de una sola pieza, esto es siempre dos vértices están unidos por un recorrido Problema 10. Circuitos de Euler Encontrar todos los circuitos de Euler para el sobre abierto. Como encontrar un circuito de Euler para un grafo que lo permite.

6 Algoritmo de Fleury. Si G es un grafo euleriano siempre es posible seguir la siguiente construcción de un circuito euleriano. Se empieza por un vértice arbitrario y se recorren las aristas arbitrariamente sometida a dos condiciones: 1) Se borran las aristas a medida que son atravesadas, obteniendo un nuevo grafo 2) Solo se recorre una arista de separación (del grafo resultante si no queda otra alternativa, repetir. Pasos Grafo marcado Grafo reducido Elegir cualquier vértice (ej. F) Ir def a C (Elección arbitraria) Ir de C a D (arbitrario) Ir de D a A (arbitrario)

7 Ir de A a C (No se puede elegir ir a B: es una arista de separación del grafo resultante, y hay 2 otras opciones, elegimos una de ellas) El resto del recorrido es obvio y el recorrido completo es (F, C, D, A, C, E, A, B, D, F) Problema 11. Para los siguientes grafos, usando el algoritmo de Fleury, encuentre un circuito de Euler. Grafos aparecen en diversos contextos, un resultado interesante es el llamado Teorema del saludo. Teorema 2 La suma de los grados de los vértices es igual al doble del número de aristas Demostración Al realizar la suma de los grados de todos los vértices, como cada arista tiene 2 extremos se cuenta exactamente 2 veces. Por tanto la suma de los grados de los vértices es igual al doble del número de aristas Problema 12. Supongamos que en una reunión se encuentran 5 personas, las que se saludan mutuamente, (dándose la mano o besos, etc.) Modele esta situación en un grafo. Cuántos saludos se realizaron? Qué pasa si el número de personas es 6,7, 8? Hay una formula general? Ayuda, trate de usar el Teorema anterior. Problema 13. Supongamos que en una clase hay 30 estudiantes. Se afirma que 9 de los estudiantes tienen 3 amigos (de la clase) cada uno, once de los alumnos tienen 4 amigos cada uno y que diez estudiantes tienen 5 amigos cada uno. Es esto posible? Problema 14..

8 Supongamos que cada uno de los 102 estudiantes de Algebra I, tiene al menos 68 conocidos en el curso de Algebra I. Pruebe que hay al menos cuatro estudiantes que tienen el mismo número de conocidos. Problema 15.. Michael viene llegando de Never-Never-Land dice que vio un lago encantado donde hay 7 islas donde a cada una de ellas llevaban 1, 3 o 5 puentes. es cierto que al menos uno de estos puentes llevaba a la orilla del lago? Con los grafos podemos representar entre muchas otras cosas los sólidos Platónicos.