Matemáticas Discretas

Transcripción

1 Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE Matemáticas Discretas Cursos Propedéuticos 2016 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Enrique Muñoz de Cote jemc@inaoep.mx Oficina 8210 Diapositivas basadas en previas iteraciones de: Dr. Enrique Sucar Dr. Luis Villaseñor

2 Grafos p Definiciones básicas p Caminos y ciclos p Grafos eulerianos y hamiltonianos p Isomorfismo p Árboles 2

3 Generalidades p Los grafos son estructuras discretas compuestas por vértices y aristas que conectan pares de esos puntos p Son una abstracción útil para modelar situaciones tales como: n Redes de computadoras n Estructuras de datos n Redes eléctricas y telefónicas n Circuitos eléctricos n Sistemas carreteros n Sistemas de toma de decisiones 3

4 Qué son? p Un grafo es una representación gráfica de objetos y relaciones binarias entre éstos. n Un grafo se representa gráficamente por medio de puntos o pequeños círculos, que designan vértices, y líneas que los unen, que representan las aristas

5 Grafos dirigidos p Un grafo dirigido/dígrafo G = (V, E) consiste de un conjunto de vértices V (o nodos) y un conjunto de aristas (o arcos) dirigidas E V V n Note que las aristas (a, b) tiene una dirección; un vértice fuente/origen a y un vértice terminal b n V={1,2,3,4,5} 2 n E = {(1,3), (2,3), (3,4), (4,3), (5,3), (5,4), (5,5)}

6 Grafos simples p Un grafo no dirigido G = (V,E) sin auto lazos se denomina grafo simple n V={1,2,3,4,5} E = {{1,2}, {1,3}, {2,3}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {2,5}}

7 Definiciones p Si e={u, v} es una arista entonces se dice que los vértices u y v son los extremos de e p Un vértice y una arista son incidentes si el vértice es uno de los extremos de la arista p Dos vértices u y v son adyacentes si {u, v} es una arista 7

8 Representación de grafos simples {1,2} 1 2 {1,3} {2,3} {2,4} {3,4} 3 4 {1,4} 8

9 Ejemplo: vértices p Cuáles vértices son adyacentes a 1? 1 2 e 3 e 1 e 2 e

10 Ejemplo: vértices p Cuáles vértices son adyacentes a 1? p 1 es adyacente a 2 y 3 p 2 es adyacente a 1 y 3 p 3 es adyacente a 1 y 2 p 4 no es adyacente a vértice alguno 1 2 e 3 e 1 e 2 e

11 Ejemplo: vértices p Cuáles aristas son incidentes a 1? p e 1, e 2, e 4 son incidentes a 2 p 2 es incidente con e 1, e 2, e 4 p 3 es incidente con e 2, e 3 p 4 no es incidente con ninguna arista 1 2 e 3 e 1 e 2 e

12 Definiciones p Dos aristas asociadas al mismo par de vértices son aristas paralelas p Una arista incidente en un sólo vértice es un ciclo p Un vértice que no es incidente en ninguna arista es un vértice aislado 12

13 Matriz de adyacencia p Forma de representar grafos y relaciones

14 Ejemplo p Cuál es la matriz de adyacencia del grafo de la figura?

15 Tipos de grafos p Un grafo no dirigido sin auto lazos (un ciclo sobre un mismo vértice) se denomina grafo simple p Un grafo con aristas paralelas (dos aristas pueden conectar un mismo par de vértices) es llamado multigrafo p Un grafo completo es un grafo con arcos entre cada par de vértices p Un grafo pesado es aquel que tiene pesos asociados a nodos y/o arcos 15

16 Grafos completos p Se llama grafo completo en n vértices a un grafo con n vértices v 1, v 2,, v n donde para todo a y b que pertenecen a V existe una arista {a, b}. Este grafo se denota K n, y el número de aristas de K n es n(n-1)/2 Cada par de vértices distintos comparte un arista 16

17 Grados p El grado de un vértice v de un grafo es el número g(v) de aristas incidentes con él. Si g(v) = 0 se dice que v es un vértice aislado n En grafos dirigidos existen grado de entrada y grado de salida p La sucesión de grados de un grafo se obtiene ordenando en forma creciente los grados de todos los vértices 17

18 Ejemplo: grado de un vértice p Cuál es grado del vértice 2? n g(2)= =7 e e 6 e 3 e 2 e 4 e 5 18

19 Ejemplo: grado de un vértice p Cuáles son los grado de entrada y salida de los vértices del grafo mostrado en la figura? n g - (1) = 0 n g - (2) = 3 n g - (3) = 4 n g + (1) = 2 n g + (2) = 3 n g + (3) =

20 Teorema de Euler p En todo grafo G=(V, E) se cumple vεv g(v) = 2 E n Las aristas se pueden contar considerando cuantas son incidentes en cada vértice y sumando todos los números obtenidos. Pero asi cada arista resulta contada dos veces, una para cada uno de sus extremos 20

21 Ejemplos p Si un grafo tiene una sucesión de grados 0, 0, 1, 2, 3, 4, Cuántas aristas tiene? n ( )/2=5 p Existe algún grafo cuya sucesión de grados sea 1, 1, 2, 3, 4? n No, dado que =11 es impar 21

22 Subgrafos p Si G = (V, E) y H = (W, F) son grafos tales que W V y F E, entonces se dice que H es un subgrafo de G y que G es un supergrafo de H. Cada arista de F es incidente con vértices en W 22

23 Ejemplo b b b a c e a c e d d d 23

24 Caminos y ciclos p Un camino es un grafo (no vacio) P = (V, E) con V = {v 0, v 1, v 2,..., v n } y E = {v 0 v 1, v 1 v 2,..., v n 1 v n }. Un camino se representa dando la sucesión v 0 v 1... v n de sus vértices, entendiendo que las aristas son v 0 v 1, v 1 v 2,..., v n 1 v n. A v 0 y v n se les llama extremos del camino. n longitud del camino: n+1 n Camino: Secuencia ordenada de vértices y arcos. n Camino cerrado: Cuyo inicio es igual que el final n Camino simple: Sin aristas repetidas. n Camino elemental: Sin vértices repetidos. 24

25 Caminos y ciclos p Un ciclo de longitud n es un grafo G = (V,E) de orden n 3, con vértices v 0, v 1,..., v n 1 y aristas v 0 v 1, v 1 v 2,..., v n 2 v n 1 y v n 1 v 0. n Ciclo: Camino elemental cerrado. n Circuito: Camino simple cerrado. 25

26 Ejemplo p Camino de a-b n {a, b},{b, d}, {d, c}, {c, e}, {e, d}, {d, b} p Camino de b a f n b c d e c f p Camino de f a a n {f, c}, {c, e}, {e, d}, {d, a} p Camino de c a c n c e d c a d e b c f 26

27 Distancia y diámetro p La distancia d(u, v) entre dos vértices u y v de un grafo es la longitud del camino más corto de u a v. Si no existe ningún camino de u a v entonces d(u, v) =. p El diámetro de G es la máxima distancia entre dos vértices distintos de G y se denota diam(g). 27

28 Grafo conexo p Un grafo G = (V, E) es conexo si para cualquier par de vértices u, y v existe un camino en G que los une, es decir un camino con extremos u y v. Equivalentemente, G es conexo si diam(g) < 28

29 Ejemplo p Sea G=(V, E) un grafo no dirigido en V={a, b, c, d, e, f, g} n El grafo no es conexo n Los dos sub-grafos son conexos a e g b c d f 29

30 Problemas de Caminos y Circuitos p Encontrar si existe un camino entre un par de vértices p Encontrar el camino más corto entre un par de vértices p Encontrar camino que pase por cada arista una sola vez (Euler) p Encontrar circuito que pase por cada vértice una sola vez (Hamilton) 30

31 Camino simple de Euler p Un camino simple de Euler es un camino que pasa por todas las aristas exactamente una sola vez. n Los puentes de Königsberg 31

32 Camino simple de Euler Teorema: p (a) Si un grafo conexo tiene más de dos nodos con grado impar, no existe un camino simple de Euler. p (b) Si existen exactamente dos vértices de grado impar, el grafo se puede recorrer, pero el camino ha de empezar en uno de los dos vértices de grado impar y terminar en el otro. p (c) Si no existen vértices de grado impar, el grafo se puede recorrer. El camino siempre será cerrado. 32

33 Ciclo de Hamilton p Sean G=(V, E) un grafo, se dice que G tiene un ciclo de Hamilton si existe un ciclo en G que incluye todos y cada uno de los vértices en V. 33

34 Ejemplo p En el grafo de la figura, las aristas {a, b}, {b, c}, {c, f}, {f, e}, {e, d}, {d, g}, {g, h} y {h, i} producen una camino de Hamilton a b c d e f g h i 34

35 Existe solución? p Dado un grafo cualquiera, es posible determinar si posee un camino Hamiltoniano? p Es una pregunta muy parecida a la de Euler, así que se esperaría una respuesta del mismo tipo n Sin embargo, se trata de un problema NP-completo (Teorema de Garey-Johnson) 35

36 Grafos bipartitos p Un grafo G=(V, E) se dice que es bipartito si el conjunto de vértices V puede particionarse en dos subconjuntos V 1 y V 2 tales que todas las aristas tengan un extremo en V 1 y el otro en V 2 n Grafos bi-cromáticos: los vértices pueden ser coloreados usando dos colores de tal forma que dos vértices adyacentes no tienen el mismo color 36